北京市东城区高三数学上学期期中试题 理（含解析）.doc

20115-2016学年北京市东城区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合a=xr|1x1，b=xr|（x2）（x+1）0，则ab=( )a（0，2）b（1，1）c（，1）（2，+）d（，1）（0，+）2下列函数中，是奇函数的为( )ay=x3+2x2by=sinxcy=2xdy=ln|x|3已知函数y=，那么( )a函数的单调递减区间为（，1），（1，+）b函数的单调递减区间为（，1（1，+）c函数的单调递增区间为（，1），（1，+）d函数的单调递增区间为（，1（1，+）4函数y=cos2x的图象的一条对称轴方程是( )ax=bx=cx=dx=5在等差数列an中，a1=1，a4=49，前n项和sn=100，则公差d和项数n为( )ad=12，n=4bd=18，n=2cd=16，n=3dd=16，n=46已知，为第一象限的两个角，则“”是“sinsin”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件7定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），对于任意x1，x20，+），0（x2x1），则( )af（1）f（2）f（3）bf（3）f（1）f（2）cf（2）f（1）f（3）df（3）f（2）f（1）8函数y=cos2（x）+sin2（x+）1是( )a周期为的函数b周期为的函数c周期为的函数d周期为2的函数9设f（x）=lnx，ab0，m=f（），n=f（），r=f（a）+f（b），则下列关系式中正确的是( )an=rmbn=rmcm=rndm=rn10曲线f（x）=在点（1，f（1）处的切线方程是( )ax=1by=cx+y=1dxy=111已知定义在r上的函数f（x）的图象如图，则xf（x）0的解集为( )a（，0）（1，2）b（1，2）c（，1）d（，1）（2，+）12已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是( )买小包装实惠；买大包装实惠；卖3小包比卖1大包盈利多；卖1大包比卖3小包盈利多abcd二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）13函数y=log（3x2）的定义域是_14已知，则sin=_15在数列an中，=2，a1=，则a1+a2+a3+an=_16若过曲线f（x）=xlnx上的点p的切线斜率为2，则点p的坐标为_17将函数y=cosx+sinx（xr）的图象向左平移m（m0）的长度单位后所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是_18设函数f（x）=，当a=0时，f（x）的值域为_；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是_三、解答题（本大题共4小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19如图所示，函数f（x）的定义域为1，2，f（x）的图象为折线ab，bc（）求f（x）的解析式；（）解不等式f（x）x220已知函数f（x）=2sin（x+）（），其图象经过（，2）（）求f（x）的表达式；（）求函数f（x）在区间，2上的最大值和最小值21设数列an是前n项和sn=an1（nn*）（）求a1a2；（）求证：数列an为等比数列22已知函数f（x）=x3ax23a2x+b（a，br）（）若曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=1，求a，b的值；（）求f（x）的单调区间及极值20115-2016学年北京市东城区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合a=xr|1x1，b=xr|（x2）（x+1）0，则ab=( )a（0，2）b（1，1）c（，1）（2，+）d（，1）（0，+）【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合【分析】求解一元二次不等式化简集合b，再利用交集运算即可得出ab【解答】解：由a=xr|1x1，b=xr|（x2）（x+1）0=xr|1x2，则ab=xr|1x1xr|1x2=（1，1）故选：b【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2下列函数中，是奇函数的为( )ay=x3+2x2by=sinxcy=2xdy=ln|x|【考点】函数奇偶性的判断 【专题】函数的性质及应用【分析】根据奇函数的定义，证明f（x）=f（x）成立即可【解答】解：af（x）=（x）3+2（x）2=x3+2x2f（x），所以函数不是奇函数bf（x）=sin（x）=sinx=f（x），所以函数是奇函数cf（x）=2xf（x），所以函数不是奇函数df（x）=ln|x|=ln|x|=f（x）f（x），所以函数是偶函数不是奇函数故选b【点评】本题主要考查函数奇偶性性的判断，利用奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法3已知函数y=，那么( )a函数的单调递减区间为（，1），（1，+）b函数的单调递减区间为（，1（1，+）c函数的单调递增区间为（，1），（1，+）d函数的单调递增区间为（，1（1，+）【考点】函数单调性的判断与证明 【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】函数y=可看作y=向右平移1个单位得到，由y=的单调性可得【解答】解：函数y=可看作y=向右平移1个单位得到，y=在（，0）和（0，+）单调递减，y=在（，1）和（1，+）单调递减，故选：a【点评】本题考查函数的单调性，利用已知函数的单调性和图象平移是解决问题的关键，属基础题4函数y=cos2x的图象的一条对称轴方程是( )ax=bx=cx=dx=【考点】余弦函数的对称性 【专题】计算题；数形结合；函数思想；三角函数的图像与性质【分析】由2x=k，kz，可求得y=cos2x的对称轴方程，再对k赋值即可【解答】解：由2x=k，kz，得x=（kz），函数y=cos2x的对称轴方程为x=（kz），令k=1，得x=，函数y=cos2x的一条对称轴方程为x=，故选：a【点评】本题考查余弦函数的对称性，属于中档题5在等差数列an中，a1=1，a4=49，前n项和sn=100，则公差d和项数n为( )ad=12，n=4bd=18，n=2cd=16，n=3dd=16，n=4【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质 【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出【解答】解：等差数列an中，a1=1，a4=49，前n项和sn=100，解得d=16，n=4故选：d【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6已知，为第一象限的两个角，则“”是“sinsin”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：角，的终边在第一象限，当=+2，=，满足，但sin=sin，则sinsin不成立，即充分性不成立，若当=，=+2，满足sinsin，但不成立，即必要性不成立，故“”是“sinsin”的既不必要也不充分条件，故选：d【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础7定义在r上的函数f（x）满足f（x）=f（x），对于任意x1，x20，+），0（x2x1），则( )af（1）f（2）f（3）bf（3）f（1）f（2）cf（2）f（1）f（3）df（3）f（2）f（1）【考点】函数单调性的性质 【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，然后结合函数的单调性进行判断即可【解答】解：由f（x）=f（x），得f（x）为偶函数，对于任意x1，x20，+），0，则当x0时，f（x）为减函数，则f（3）f（2）f（1），即f（3）f（2）f（1），故选：d【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键8函数y=cos2（x）+sin2（x+）1是( )a周期为的函数b周期为的函数c周期为的函数d周期为2的函数【考点】两角和与差的正弦函数 【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值【分析】由三角函数公式化简已知函数，由周期公式可得【解答】解：由三角函数公式化简可得y=cos2（x）+sin2（x+）1=+1=cos（2x）cos（2x+）=（cos2x+sin2x）（cos2xsin2x）=sin2x，函数的周期为t=，故选：c【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性，属基础题9设f（x）=lnx，ab0，m=f（），n=f（），r=f（a）+f（b），则下列关系式中正确的是( )an=rmbn=rmcm=rndm=rn【考点】对数值大小的比较 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】利用指数的运算性质、指数函数的单调性、基本不等式的性质即可得出【解答】解：f（x）=lnx，ab0，m=f（）=（lna+lnb），n=f（）=ln=m，r=f（a）+f（b）=m，nm=r故选：c【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10曲线f（x）=在点（1，f（1）处的切线方程是( )ax=1by=cx+y=1dxy=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】方程思想；导数的概念及应用【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程【解答】解：f（x）=的导数为f（x）=，在点（1，f（1）处的切线斜率为k=0，切点为（1，），即有在点（1，f（1）处的切线方程为y=故选b【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的求法，属于基础题11已知定义在r上的函数f（x）的图象如图，则xf（x）0的解集为( )a（，0）（1，2）b（1，2）c（，1）d（，1）（2，+）【考点】函数的单调性与导数的关系；导数的运算 【专题】数形结合；转化思想；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】根据函数单调性和导数之间的关系进行求解即可【解答】解：不等式xf（x）0等价为当x0时，f（x）0，即x0时，函数递增，此时1x2，或者当x0时，f（x）0，即x0时，函数递减，此时x0，综上1x2或x0，即不等式的解集为（，0）（1，2），故选：a【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键12已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是( )买小包装实惠；买大包装实惠；卖3小包比卖1大包盈利多；卖1大包比卖3小包盈利多abcd【考点】根据实际问题选择函数类型；归纳推理 【专题】阅读型；转化法；函数的性质及应用【分析】分别求出大包装和小包装每100克的价格进行比较，以及卖1大包和3小包的盈利即可得到结论【解答】解：大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故正确，卖1大包装盈利8.40.71.83=2.3元，卖1小包装盈利30.51.8=0.7，则卖3小包盈利0.73=2.1元，则卖1大包比卖3小包盈利多故正确，故选：d【点评】本题主要考查函数模型的应用，比较基础二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）13函数y=log（3x2）的定义域是（，+）【考点】函数的定义域及其求法 【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：由题意得：3x20，解得：x，故答案为：（，+）【点评】本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题14已知，则sin=【考点】同角三角函数间的基本关系 【专题】计算题【分析】由，求出，得到，再由sin=tancos能求出结果【解答】解：，sin=tancos=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数的关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换15在数列an中，=2，a1=，则a1+a2+a3+an=【考点】数列的求和 【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】由等比数列的定义可得数列an为首项为，公比为2的等比数列，运用等比数列的求和公式计算即可得到所求【解答】解：=2，a1=，可得数列an为首项为，公比为2的等比数列，即有a1+a2+a3+an=（2n1）故答案为：（2n1）【点评】本题考查等比数列的定义和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题16若过曲线f（x）=xlnx上的点p的切线斜率为2，则点p的坐标为（e，e）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用【分析】设切点p（m，n），求出函数导数，由导数的几何意义，即可得到切线的斜率，解方程可得m，n的值【解答】解：设切点p（m，n），f（x）=xlnx的导数为f（x）=1+lnx，在点p处的切线斜率为1+lnm=2，解得m=e，可得n=mlnm=elne=e故答案为：（e，e）【点评】本题考查的导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导是解题的关键，属于基础题17将函数y=cosx+sinx（xr）的图象向左平移m（m0）的长度单位后所得到的图象关于原点对称，则m的最小值是【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=asin（x+）的图象变换 【专题】数形结合；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用函数y=asin（x+）的图象变换规律、正弦函数的图象的对称性，求得 m=k，kz，可得m的最小值【解答】解：函数y=cosx+sinx=2sin（x+） 的图象向左平移m（m0）的长度单位后，得到y=2sin（x+m+） 的图象再根据所得到的图象关于原点对称，可得m+=k，即 m=k，kz，则m的最小值为，故答案为：【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题18设函数f（x）=，当a=0时，f（x）的值域为0，+）；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是a【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值域 【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由分段函数可得，分段函数值域，从而得到函数的值域；再由分段函数分别确定方程的根的个数即可【解答】解：当a=0时，x1时，f（x）=；当x1时，011；故f（x）的值域为0，+）；解：当x1时，f（x）有一个零点x=1，故当x1时，f（x）还有一个零点，即a=0有解，a；故实数a的取值范围是a故答案为：0，+），a【点评】本题考查了分段函数的应用及函数的零点的求法及应用三、解答题（本大题共4小题，共60分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19如图所示，函数f（x）的定义域为1，2，f（x）的图象为折线ab，bc（）求f（x）的解析式；（）解不等式f（x）x2【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题；函数思想；解题方法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（）利用函数的图象，直接求解分段函数的解析式（）利用分段函数，列出不等式组，求解即可【解答】解：（）由题意可知：a（1，0），b（0，2），c（2，0）f（x）；（）不等式f（x）x2即：或，解得1或0x1不等式的解集为：x|1【点评】本题考查分段函数的应用，函数的解析式的求法，不等式组的解法，考查计算能力20已知函数f（x）=2sin（x+）（），其图象经过（，2）（）求f（x）的表达式；（）求函数f（x）在区间，2上的最大值和最小值【考点】三角函数的最值；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】（）由题意结合可得值；（）由x，2，结合三角函数的值域可得【解答】解：（）由题意可得f（）=2sin（+）=2，结合可得=，f（x）的表达式为：f（x）=2sin（x+）；（）由（）可得f（x）=2sin（x+）=2sin（x+），x，2，x+，当x+=即x=2时，函数取最大值；当x+=即x=时，函数取最小值2【点评】本题考查三角函数的最值和解析式的求解，属基础题21设数列an是前n项和sn=an1（nn*）（）求a1a2；（）求证：数列an为等比数列【考点】数列递推式 【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列【分析】（）根据数列的递推关系即可求a1a2；（）根据等比数列的定义即可证明数列an为等比数列【解答】解：（）sn=an1，当n=1时，a1=a11，得a1=2，当n=2时，s2=a21，即a1+a2=a21，即a2=1a1=1（2）=1，则a2=2，则a1a2=22=4（）证明：当n2时，an=snsn1=an1（an11）=anan1，即an=an1，则an=an1，即=1，即数列an为公比q=1的等比数列【点评】本题主要考查等比数列的证明，利用数列的递推关系是解决本题的关键