高中数学 第一章 导数及其应用 1.2.21.2.3 函数的和、差、积、商的导数 简单复合函数的导数课件 苏教版选修22.ppt

1 2 2函数的和 差 积 商的导数1 2 3简单复合函数的导数 第1章1 2导数的运算 1 理解函数的和 差 积 商的求导法则 2 掌握求导法则的证明过程 能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 3 能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一导数运算法则 答案 f x g x f x g x f x g x g x 0 思考 1 函数g x c f x c为常数 的导数是什么 答案 答案g x cf x 2 若两个函数可导 则它们的和 差 积 商 商的情况下分母不为0 可导吗 反之如何 答案若两个函数可导 则它们的和 差 积 商 商的情况下分母不为0 必可导 若两个函数均不可导 则它们的和 差 积 商不一定不可导 则f x g x 在x 0处均不可导 但它们的和f x g x sinx cosx在x 0处可导 3 导数的和 差 运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗 答案导数的和 差 运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立 两个函数和 差 的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况 即 f1 x f2 x f3 x fn x f 1 x f 2 x f 3 x f n x 答案 知识点二复合函数的导数 思考设函数y f u u g v v x 如何求函数y f g x 的导数 答案y x y u u v v x x的函数 y f g x yu ux y对u 的导数与u对x的导数的乘积 答案 返回 题型探究重点突破 解析答案 题型一导数运算法则的应用例1求下列函数的导数 2 y lgx ex 解析答案 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 在对较复杂函数求导时 应利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形 如 把乘积的形式展开 分式形式变为和或差的形式 根式化为分数指数幂等 化简后再求导 这样可以减少计算量 解析答案 跟踪训练1求下列函数的导数 1 y x4 3x2 5x 6 解y x4 3x2 5x 6 x4 3x2 5x 6 4x3 6x 5 2 y x tanx 解析答案 3 y x 1 x 2 x 3 解方法一y x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 2 x 1 x 3 x 1 x 2 2x 3 x 3 x2 3x 2 3x2 12x 11 方法二 x 1 x 2 x 3 x2 3x 2 x 3 x3 6x2 11x 6 y x 1 x 2 x 3 x3 6x2 11x 6 3x2 12x 11 解析答案 解析答案 题型二复合函数求导法则的应用例2求下列函数的导数 1 y 1 cos2x 3 解y 1 cos2x 3 2cos2x 3 8cos6x y 48cos5x cosx 48cos5x sinx 48sinxcos5x 解析答案 解设 则 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 求复合函数的导数的步骤 解析答案 跟踪训练2求下列函数的导数 1 y 2x 1 5 解设u 2x 1 则y u5 y x y u u x u5 2x 1 5u4 2 10u4 10 2x 1 4 解设u 1 3x 则y u 4 y x y u u x u 4 1 3x 解析答案 解设u 1 3x 则 y x y u u x 解析答案 t x t u u x 解析答案 5 y lg 2x2 3x 1 解设u 2x2 3x 1 则y lgu 解析答案 题型三导数几何意义的应用例3 1 曲线y x 3lnx 1 在点 1 1 处的切线方程是 解析利用求导法则与求导公式可得y 3lnx 1 x 3lnx 4 k切 y x 1 4 切线方程为y 1 4 x 1 即4x y 3 0 4x y 3 0 2 已知函数f x k为常数 e 2 71828 是自然对数的底数 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 则k的值为 由于曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与x轴平行 f 1 0 k 1 1 反思与感悟 反思与感悟 涉及导数几何意义的问题 可根据导数公式和运算法则 快速求得函数的导数 代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率 这样比利用导数定义要快捷得多 解析答案 跟踪训练3 1 若曲线y x3 ax在 0 0 处的切线方程为2x y 0 则实数a的值为 解析曲线y x3 ax的切线斜率k y 3x2 a 又曲线在坐标原点处的切线方程为2x y 0 3 02 a 2 故a 2 2 解析答案 2 若函数f x 在x a处的导数值与函数值互为相反数 则a的值为 由题意知f a f a 0 易错易混 因对复合函数的层次划分不清导致求导时出现错误 例4求函数y sinnxcosnx的导数 错解y sinnx cosnx sinnx cosnx nsinn 1x cosnx sinnx sinnx 错因分析在第二步中 忽略了对中间变量sinx和nx进行求导 正解y sinnx cosnx sinnx cosnx nsinn 1x sinx cosnx sinnx sinnx nx nsinn 1x cosx cosnx sinnx sinnx n nsinn 1x cosxcosnx sinxsinnx nsinn 1xcos n 1 x nsinn 1x cosnx sinnxsinnx 解析答案 返回 防范措施 在求解复合函数的导数时 不能机械地套用公式 应理清层次 逐层正确使用求导法则求解 返回 防范措施 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 已知f x ax3 3x2 2 若f 1 4 则a的值为 解析因f x 3ax2 6x 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 4 已知函数f x asinx bx3 4 a r b r f x 为f x 的导函数 则f 2014 f 2014 f 2015 f 2015 的值为 解析f x acosx 3bx2 f x acos x 3b x 2 f x f x 为偶函数 f 2015 f 2015 0 f 2014 f 2014 asin2014 b 20143 4 asin 2014 b 2014 3 4 8 f 2014 f 2014 f 2015 f 2015 8 8 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 曲线y x lnx在点 1 1 处的切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 直线y 2x 1与曲线y ax2 a 2 x 1相切 a 0 当a 0时 曲线变为直线y 2x 1 与已知直线平行 由 a2 8a 0 解得a 8 8 课堂小