（计算数学专业论文）二维npr余弦调制滤波器组设计算法.pdf

摘要 二维( t w d d i m e n s i o n a l ，2 d ) 多速率滤波器组已被广泛应用于图像压缩、计 算机视觉和纹理识别与分类等领域。针对实际中的应用，我们希望滤波器组具有 某些特性，如线性相位、不可分离和非均匀等。本文重点研究了2 一d 近似重构( n p r ) 余弦调制滤波器组的设计。论文的工作主要有以下两个部分： 第一部分，提出了一种基于余弦调制的2 d 线性相位近似重构( l p - n p r ) 滤 波器组的设计方法。我们首先采用p a d ! 【s m c c l e l l a l l 算法来设计原型滤波器，经一 类新余弦调制，能得到具有线性相位( l p ) 特性的卜dn p r 滤波器组；然后利用 树状结构，将所设计的两个1 dl p - n p r 滤波器组级联成一个可分离的2 一d 滤波器 组，借助单位模变换，可构造出不可分离2 dl p 滤波器组，其系统满足n p r 要求。 最后实验结果表明此方法是可行的，所设计的滤波器组可达到令人满意的重构精 度。 第二部分，在许多实际应用中，人们希望对信号( 或图像) 分析时，在不同的 频率段有不同的分辨率，所以要求滤波器所占的带宽是非均匀的。本文利用尺度 算法，对2 d 非均匀滤波器组结构分析，结合单位模变换，我们提出了一种简单 的2 d 不可分离非均匀滤波器组设计方法，在一定的约束条件下，整个系统可实 现n p r 。实验结果说明了该方法的有效性。 关键词：2 加滤波器组近似重构线性相位单位模变换非均匀滤波器组 a b s t r a c t t w o d i m e n s i o n a l ( 2 一d ) m u l t i r a t e6 l t e rb m 【sh a v e b e e nu s e dw i d e l yi ni m a g e c o m p r e s s i o n ，c o m p u t e rv i s i o na n dt e x t u r ed i s c r i m i n a t i o n a 1 1 dc l a s s i f i c a t i o n ，e t c i n p r a c t i c a l 印p l i c a t i o n s ，w ed e s i r et h a t2 一df i l t e rb a i 】k sh a v es o m ep r o p e r t i e s ，s u c h a s l i n e a rp h a s e ，n o n s e p a r a b l ea n dn o n m l i f o m ， 2 dc o s i n em o d u l a t e df i l t e rb a i 墩sw i t h d i s s e r t a t i o nc o n s i s t so f “op a r t s e t c 。1 1 1 i sp a p e rm a i n l y 咖d i e st h ed e s 咖o f n e a r l yp e 疵c tr e c o n s t m c t i o n ( n p r ) s p a r to n ep r e s e n t sad e s i g nm e t h o do f2 一d1 i n e a rp h a s en e a r l yp e 疵c tr e c o n s t l l u c t i o n ( l p 栅r ) f i l t e rb a l l l ( sb a s e do nc o s i n em o d u l 撕o n f i r s t l y ，t h ep a r k s m c c l e l l a l l a l g o r i t l l i l li sa d o p t e df o rd e s i 罂l i l l gt h ep r o t o 够p ef i l t e r a n dm e n ，b ye m p l o y i n gan e w c l a s so fc o s i n em o d u l a t i o n ，1 一dn p rf i l t e rb n a l 【s 谢ll i n e a rp h a s e ( l p ) p r o p e r t yc a i lb e o b t a i n e d n e x t ，w ec a s c a d e 铆o1 一dl p - n p r f i l t e rb a i 墩si nt l l ef o 珊o f 仃e es t r u c n 聆t o d e s i 印as 印a r a 【b l e2 - df i l t e rb a l l l 【s f i l l a l l y ，谢m 廿l eu i l i m o d u l a rt m s f o m a t i o n ，a n o n s e p 锄a b l e2 dl pf i l t e rb m 山si sc o n s t r u c t e d ，w 1 1 i c hm e e t st l l er e q u i r e m e n to fn p r e x p e r i m e n t a lr e s u l t si 1 1 d i c a t et l l ep r o p o s e dm e t h o di sf i e a s i b l e ，a l l dm ed e s i g n e df i l t e r b a n k sc a no b t a i nt l l es a t i s 矽i n gr e c o n s t n l c t i v ep r e c i s i o n 1 1 1p a nt w o ，i 1 1m a 】哕p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，o n e sd e s i r ct h ed i 虢r e n t 舶q u e n c y b a l l d sh a v ed i 虢r e n tr e s o l u t i o nw h e na i l a l y s i n gt h es i 弘a j so ri m a g e s s of i l t e rb a i l l ( sa r e r e q u dt oh a v en o n u i l i f o r n l 缸g u e n c yt i l n g b 2 l s e do nt l l es c 2 l l i n ga l g o r i t l 姗，w e a n a l v s et 1 1 es t r u c t u r eo ft h e2 dn o n u l l i f o mf i l t e rb 甜出s f u r r t h e r ，u s i n gt h eu n i m o d u l a r 把a i l s f o m l a t i o n ，w eg i v eas i m p l em e t h o df o rd e s i g n i n g2 - dn o n s 印撕b l en o n l u l i f o 彻 f i l t e rb a r l l ( s i ns o m ec o n s 仰i n e dc o n d i t i o n s ，t l l e 、h o l es y s t e ma c l l i e v e sn p r f i n a l l y ， a ne x 锄p l ei sg i v e nt od e m o n s t r a t et h eg i v e nm e m o d k e ) 啊o r d ：2 一d 饲t e r b a n l s n 嘲r 眵p e m c t1 1 e c o s t 加c t i o n l i n e a rp h a s e u n i l n o d u l a rt r a n s f | o m a t i o nn o n u n i f o mf i l t e rb a n k s 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在导 师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注 和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果； 也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明 并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：燃 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名： 塞继日期丛翌：查： 导师签名： 醐爿诅一 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多速率滤波器组概述 在信息化时代的今天，如何有效地存储、传输、处理数字信号是人们研究的 热点问题。多速率信号处理作为数字信号处理的一个重要分支，给我们提供了一 个灵活实用的信号处理解决方法。 多速率数字信号处理发展始于2 0 世纪7 0 年代中期，在3 0 多年的发展过程中， 多速率滤波器组的研究经历了从最初的基础理论分析到各种理论的丰富完善，发 展到现在已经产生了多种多速率滤波器组理论、结构和设计方法，其应用也从最 初的语音子带编码( s u b b a l l dc o d i n g ，s b c ) 领域扩展到数字通信、图像压缩、视 频压缩、雷达、噪声消除及天线系统等许多领域【l 3 1 。在如此广泛应用的同时，也 极大地促进了多速率滤波器组理论的发展，促使越来越多的国内外学者和广大科 技人员开始关注多速率滤波器组的设计与应用研究。 多速率是指在一个信息处理系统中，存在着多个不同的数据处理速率，即多 速率系统中必然包含被处理信号采样率的变换过程：变大或变小。在多速率系统 中，存在两个基本的组成单元，即下采样器和上采样器，如图1 1 所示。通过上m 采样器可以使信号的采样率降低m 倍，类似的，通过个三采样器可以使信号的采 样率增加三倍，根据实际应用中的不同要求，这些采样率应用到多速率系统中。 塑l 叶瓦似塑l l 可瓦1 尘) 图1 1 多速率信号处理的组成单元 2 0 世纪8 0 年代中后期，以子带编码为主要应用背景的完全重构滤波器组理论 的产生和发展，使得滤波器组理论及其应用研究成为信号处理领域的一个活跃方 向。多速率滤波器组的基本结构如下图1 2 所示，它也被称为“分析合成 滤波 器组系统。图中的e ( z ) ( o f m 一1 ) 称为分析滤波器组，g ，( z ) ( o f m 一1 ) 称为 综合滤波器组，山k 和个k 分别是下、上采样器【5 】。 2 二维n p r 余弦调制滤波器组设计算法 图1 2 m 通道滤波器组结构 多速率信号处理领域中最基础最重要的模块就是多速率滤波器组。多速率滤 波器组的基本思想是将输入的全带信号进行频带分解，即将信号分解成位于不同 频带上的子带信号，然后在子带域根据应用场合的不同进行相应处理，最后再由 各个经过处理的子带重构信号。在如图1 2 所示中，输入信号x ( z ) 经分析滤波器 组e ( z ) 及其级联的下采样器分解成为m 道不同频带的子带信号，子带信号经过综 合滤波器组g ( z ) 及其级联的上采样器最后合成为输入信号的重构信号j ( z ) 。信号 分解是由分析滤波器组来完成，最终的合成过程是由综合滤波器组完成的。分析 和综合滤波器组中分别含有下采样器和上采样器，用于改变采样速率，同时也可 以用于去掉冗余信息，这就是一个典型的多速率滤波器组。 在子带滤波器组中，如果圣( 刀) = 蹦( 刀一) ，式中c 和是常数，即重构信号叠( 刀) 是输入信号x ( 甩) 的延迟乘以一个常数，这时该系统就称为完全重构( p e 疵c t r e c o n s 仃u c t i o n ，简称p r ) 滤波器组。一般地讲，对信号完全重构是需要满足一定约 束条件的，所以很多情况下信号的失真是很难避免的，在图1 2 的系统中，输出信 号碧( z ) 对输入信号x 0 ) 的失真主要源自于以下三个方面【4 ，5 】： ( 1 ) 混叠失真：这是由于分析滤波器组和综合滤波器组的频带不能完全分开， 即由上、下采样所产生的混叠和镜像所引起的失真； ( 2 ) 幅度失真：由分析和综合滤波器幅频特性的波动性产生的误差，从而引起 的失真称为“幅度失真； ( 3 ) 相位失真：由滤波器相频特性的非线性产生的失真称为“相位失真 。因 此我们在滤波器组设计时的首要任务就是减小甚至消除各种失真现象。各种各样 的滤波器组理论与设计都是围绕着如何消除失真、得到更好处理性能展开的。 1 2 多速率滤波器组的发展 1 2 1 1 d 滤波器组理论的发展 早在2 0 世纪7 0 年代中期，子带数字信号处理的概念就被提出来了【6 - 7 1 ，主要 第一章绪论 目的是为了减少计算复杂度、减少传输速率和节约存储单元。1 9 8 0 年j o l l l l s t o n 提 出了一种两通道正交镜像滤波器组1 8 1 ( q u a d r a t u r em i n 0 rf i l t e r ，简称q m f ) ，它可以 完全消除混叠失真和相位失真，只存在微小的幅度失真。之后，子带滤波器组才 开始逐渐受到人们的关注。1 9 8 1 年，n u s s n a _ u m e r 给出了两通道近似重构q m f 的 设计方法【9 】。1 9 8 6 年，w 6 0 d s 将2 dq m f 成功应用于图像子带编码1 1 0 j 。 1 9 8 6 年，s m i t h 和b 锄w e l 提出了共轭正交滤波器组l 1 ( c o n j u g a t eq u a d r a t l l r e m i n 0 rf i l t e r ，简称c q f ) ，首次实现了完全重构。在1 9 8 7 年，滤波器组的发展取 得重大突破：d y a n a t h a l l 系统地提出了m 通道滤波器组理论引，引入了多相位 ( p o l y p h a s e ) 分解的方法，极大的简化了滤波器组的设计，为滤波器组的实现提供了 一种可靠的结构。特别是d y a i l a t h a i l 又提出了无损( l o s t l e s s ) 系统的格型( l a t t i c e ) 结构应用于设计完全重构的正交滤波器组，该结构可以实现功率互补的滤波器组， 大大简化了滤波器的优化设计【1 3 1 。这些理论都对滤波器组的理论和应用发展产生 了重大的影响。 在19 9 2 年，k o i l p i l l a i 给出了余弦调制滤波器组【1 4 j ( c o s i n e r n o d u l a t e df i l t e r b a i l k s ， 简称c m f b s ) 的m 带滤波器组的完全重构条件，并用l a t t i c e 结构实现了。n g u y e n t q 提出了m 带双正交滤波器组【1 5 】，1 9 9 9 年，h e l l e r 提出了调制滤波器组的一般 理论框架【l6 1 。这些工作不但极大的推动了子带滤波器组理论的研究，同时还为后 续的深入研究提供了丰富的理论基础。 2 0 世纪8 0 年代末到9 0 年代中后期，小波分析研究成为热点。小波变换与多 速率滤波器组有着非常紧密的联系【1 7 - 1 9 1 。在19 9 3 年，s t e 彘n 【1 明等人在肘通道正交 滤波器组的基础上提出了k 阶正则m 带小波的理论，相对于二带小波，m 带小波 可以更紧凑的更细致的表示信号。 在图像和语音信号处理领域，线性相位是一种非常重要的性质，所以设计满 足线性相位的滤波器组也成为人们研究的热点之一。n g u y e n 和v r a i d y a n a _ t l l a i l 【2 咄u 在1 9 9 0 年提出了m 带线性相位滤波器组，还相应的给出了一种格型分解算法。 之后，滤波器组呈现出多元化的发展趋势，非均匀滤波器组也成为新的研究 热点。1 9 8 9 年，h o a l l g 和v 萄d y a n a t h a i l 提出了非均匀滤波器组的理论1 2 2 j 。1 9 9 1 年， n a y e b i 等人提出了非均匀滤波器组的设计方法。l i j 、n g u y e nt q 和1 锄伽a t a i l as 等人提出了近似重构的非均匀滤波器组设计方法【2 3 】。1 9 9 9 年，s o n yj 阐明了非均 匀滤波器组的一些新结论，并指出了有待进一步解决的问题瞄j 。到后来，c h a i ls c 等人不断完善完全重构非均匀滤波器组理论和设计方法【2 5 1 。到目前，非均匀滤波 器组理论和设计已基本成熟。在本文最后一章中，我们提出了一种简单的2 dn p r 非均匀滤波器组设计方法。 4 二维n p r 余弦调制滤波器组设计算法 1 2 22 d 滤波器组理论的发展 2 一d 滤波器组理论是在1 d 滤波器组理论的基础上而不断发展的，已经取得了 一定的研究成果，但还处于发展中，特别是在应用上，其理论还不够完善。下面 主要阐述一下2 dc m f b s 的理论发展与研究现状。 p rc m f b s 的设计与实现跟其它滤波器组相比，具有许多优点：c m f b s 设计 方法简单，实现复杂度低，整个系统的设计问题可归结为对原型滤波器的优化设 计。自1 9 9 3 年开始，随着1 dc m f b s 理论的成熟与发展，众多学者对其向2 。d 情况的推广进行了深入的研究，从而引发了2 dc m f b s 的研究热潮。c h a i l 【2 6 j 在 1 9 9 4 年首先提出了一种具有p r 特性的2 一d 不可分离矩形采样c m f b s ，其原型滤 波器是不可分离的，但调制函数具有可分离性，因此整个设计过程和完全重构条 件都较为简单。 在1 9 9 5 年，i l ( e h a r a 【2 刀通过构造一种新的采样矩阵的方法，实现了具有p r 特 性的2 dc m f b s 设计，该方法中的分析和综合滤波器均由一个2 d 线性相位 ( l i n e a rp l 粥e ，l p ) 的、具有平行四边形支撑域( p a r a l l e l o g r 锄s u p p o r t ) 的f i r 原型滤波器经过余弦调制所得。然而，由于该方法中滤波器的通带支撑域布局 ( c o n f i g u r a t i o n ) 的非容许性( n o n - p e 珊i s s i b i l i t y ) ，使得所设计的原型滤波器及分 析和综合滤波器都不具有较低的阻带衰减。y p l i n 和p p ：v a i d y a l l a t h a l l 【2 7 乏9 】等人给 出了更为一般性的设计2 dc m f b s 的方法和结论，其通过限制原型滤波器的多相 分解元以实现仿酉( p a r a m l i t 撕n e s s ) 特性【3 0 】和p r 特性。上述c m f b s 中的滤波器 支撑域均由两个平行四边形( n v o - p a r a l l e l o g r a m ) 构成，在1 9 9 6 年，他们又给出 了一种滤波器的支撑域由四个平行四边形( f o u r - p a r a l l e l o g r 锄) 构成的c m f b s 的 设计方法【3 1 1 。 1 9 9 9 年，i k e h a r a 提出了另外一种滤波器支撑域由两个三角形构成的c m f b s 的设计方法【3 引，很好地解决了文献 2 7 】中的非容许性问题，并给出了完全重构条件， 其推导过程也与文献 2 7 类似。 考虑到图像压缩编码和图像处理等实际应用问题，在设计2 d 滤波器组时， 除了p r 特性之外，l p 特性也是一个重要的衡量标准。在1 9 9 6 年，y p l i n 和 p p v 越d y a l l a t h a i l 提出了一种设计2 dl pp rc m f b s 的方法【3 3 】，该方法中的每个分 析滤波器的支撑域都包括两个相同的平行四边形，其仿酉特性完全由原型滤波器 多相分解元的能量互补对的关系所决定。t n a g a i 和m i k e h a r a 提出了一种由两个 子系统( 一个子系统由余弦调制实现，另外一个则由正弦调制实现) 构成的可实 现l p 和p r 特性的c m f b s 系统1 3 4 】。如何设计具有l p 和p r 特性的2 dc m f b s ， 仍然是当前2 d 多速率系统领域中尚未很好解决的一个问题。在很大程度上，这 依赖于1 dl p p rc m f b s 理论更进一步的发展和完善。 第一章绪论 在应用方面，子带滤波器组最早是用在语音压缩编码中，各种滤波器组多数 是围绕提高编码效率，降低滤波器组时延，减小恢复信号的混叠成分和相位失真 及幅度失真的目的出现的。滤波器组在编码、通信、雷达等诸多领域得到广泛的 应用。1 9 9 8 年，s o m a i l 和v a i d y a i l a t h a n 提出了最优正交子带编码器的理论1 3 5 】。同 年，飚r a c 又给出了子带编码中最优双正交滤波器组的一些研究成果1 3 6 j ，2 0 0 1 年， a l d ( 砌【a r a n 和v 撕d y a n a t l l a n 又提出了正交子带编码器优化的一般理论框架1 3 7 】。在 通信方面，a k a n s u 、k o i l p i l l a i 、h e t l i n g 等人都做了大量的颇有意义的工作【3 5 。引。 1 3 本文的主要工作 本文的主要工作是围绕2 d 滤波器组的理论与设计展开的，我们在设计滤波 器组时，主要考虑到两个方面的要求：第一，完全重构或近似完全重构，即尽可 能无失真地恢复原始信号；第二，要求比较好的子带滤波器性能，包括较小的过 渡带、较小的通带波动和较大的阻带衰减。在2 d 滤波器组的发展过程中，尽管 该领域已经取得了非常显著的成就和突破，但是有关2 dl pp r 滤波器组理论和 设计问题至今仍然尚未很好地得以解决，这在很大程度上依赖于1 dl pp r 滤波器 组的理论的更进一步发展和完善。同时，不可分离2 d 滤波器组的实际应用问题 ( 如在图像与视频处理领域) 也没有得到应有的重视。此外，在语音子带编码和 自适应子带滤波等应用方面，非均匀滤波器组相对于均匀频带划分的滤波器组具 有更好的性能。但是对2 一d 非均匀滤波器组，目前还没有给出一种好的设计方法。 本论文的工作正是基于这两方面的考虑而展开的。 本论文的主要研究内容包括两部分： 首先，本文重点研究了2 dl p n p r 余弦调制滤波器组的设计方法。2 d 滤波 器组通常用于图像处理中，而图像子带编码希望滤波器组同时也具有l p 特性。本 文提出了一种基于余弦调制的2 dl p - n p r 滤波器组的设计方法。该方法将单位模 变换技术与2 d 可分离滤波器组相结合，从而把设计问题简化为1 dl p n p r 滤波 器组的设计。我们利用p a r k s m c c l e l l a l l 算法来设计原型滤波器，经一类新的余弦 调制【6 2 1 ，得到具有l p n p r 特性的1 一d 滤波器组；然后结合树状结构和单位模变 换，构造出不可分离2 dl p 滤波器组，整个系统可实现n p r 。同时给出一个例子， 验证该方法的可行性，适用于2 d 图像( 或信号) 处理的分解和重构。 其次，提出了一种简单的2 一dn p r 非均匀滤波器组设计方法，所获得的系统 是不可分离的。根据计算机代数几何中的2 d 仿射变换与2 d 傅里叶变换相结合， 得到了一种尺度算法嘟】，基于这种算法，对2 d 四通道非均匀p r 滤波器组结构进 行分析，并结合单位模变换，我们可以实获得不可分离2 d 非均匀滤波器组，在 一定约束条件下，整个系统可实现n p r 。最后仿真实验表明该设计方法的有效性， 6 二维n p r 余弦调制滤波器组设计算法 能得到了较为满意的效果。 具体各章节的安排如下： 第二章：概述了2 d 多速率系统的理论基础知识。主要包括2 d 下采样、2 一d 上采样、2 d 多相分解理论以及n o b l e 恒等式等内容，这是后续章节的基础。 第三章：系统地阐述了2 d 滤波器组的基本理论，以及讨论了几种不同类型 滤波器组的结构和设计方法。 第四章：提出了一种基于余弦调制的2 dl p n p r 滤波器组的设计方法。该方 法利用一类新的余弦调制系统，并结合树状结构和单位模变换实现了具有l p 特性 的2 d 不可分离滤波器组，该系统满足n p r 要求。 第五章：对一种尺度算法和p r 非均匀滤波器组结构进行分析，同时借助单位 模变换，我们提出了一种简单的不可分离2 d 非均匀滤波器组设计方法，该滤波 器组满足n p r 特性。 总结与展望：简要总结了论文所做的工作，并阐述了下一步的工作方向。 第二章2 一d 多速率系统理论基础 7 第二章2 一d 多速率系统理论基础 本章是关于2 d 多速率系统和滤波器组的基础理论知识，是后面各章节的基 础。 我们首先简单介绍一下多维多速率信号处理理论中常用的符号和预备知识。 在本论文中，集合、向量和矩阵均采用黑体字母，如z 表示m 维的复向量 z = 【气，刁，锄一。】7 ；n 表示m 维的整数向量n = ，啊，一，】1 。定义： z - = 毋希搬= 兀z ! ；，f ；z 。= z 正，z d 2 一，z “ 7 ，其中d 是一个m m 整数矩阵， d ；为矩阵d 的第f 个列向量。a r 和a 分别表示矩阵a 的转置矩阵和共扼转置矩 阵。i m 代表m m 的单位矩阵。多维信号x ( n ) 的z 变换、傅里叶变换( f o u r i e r 仃a i l s f o 咖) 分别定义为： x ( z ) = x ( n 江，x ( ) = x ( n 弦一加 ( 2 1 ) t e ae a 这里，一n = 【一嘞，一，一一。】，= 【，q ，一。】2 ，a 代表所有m 维整数向量 集合。 2 12 一d 采样率变换 同1 d 多速率系统类似，在2 d 多速率系统中，也有下采样( d o 啪s 锄p l i n g ) 、 上采样( u p s a l l l p l i n g ) 等基本操作，这样做的目的是为了满足系统中各处需要不同 的抽样率，以利于图像或信号的处理、编码、传输和存储，有时是为了节省计算 工作量。 2 1 12 一d 采样与l a n i c e 2 d 多速率系统中的采样比1 d 系统更为复杂，它包括两个基本的部分：采样 矩阵和采样格型( l a t t i c e ) 。一个2 d 采样矩阵m 是一个2 2 的整数非奇异矩阵， 其采样率为该矩阵行列式的绝对值，记为，( m ) = i d e t ( m ) l 。采样格型定义为一组由 m 生成的整数向量集合： 以丁( m ) = m n ，n a ) ( 2 - 2 ) a 代表所有2 d 整数向量的集合。显然，该集合是一包含无限多个2 d 整数向量 8 二维n p r 余弦调制滤波器组设计算法 的离散集合。图2 给出了由对角矩阵。= 三呈 和梅花型矩阵q = 二。： 作为采 样矩阵所生成的格型。 图2 1 ( a ) 由d 生成的格型，( b ) 由矿生成的格型，( c ) 由q 生成的格型 从上图可以看出，若采样矩阵为一对角阵，则采样格型是可分离的，如图2 1 ( a ) 、 ( b ) 所示。否则，采样格型是不可分离的，如图2 1 ( c ) 所示。 与采样矩阵m 密切相关的另一个重要概念，是由m 生成的向量集，我们记为 巨( m ) ，e ( m ) 定义为具有n = m x ，x o ，1 ) 2 形式的整数向量集合。显然，它所包含 的整数向量个数等于采样率j ( m ) 。图2 2 给出了由采样矩阵m = r，1i 生成的 l l lj e c m ，这里置c m ，= ( 三) ，( ? ，( 三 。 图2 2 由m 生成的点( m ) 在设计2 d 滤波器组时，有时我们希望滤波器具有平行四边形支撑域，于是 引进了对称平行六面体( s y m m e t r i cp a r a l l e l e p i p e d ) 彤仍( m ) 这一概念，即由采样 矩阵m 生成的j s ! 肋( m ) ： 褂( m ) = m x ，x 卜1 ，1 ) 2 ( 2 - 3 ) 由采样矩阵m = l ；- ：1i 生成的肼。( m ) 如图2 - 3 ( a ) 所示。 特别地，若采样矩阵为m = 置黝，根据渤( m ) 的定义，册( 艚。 可以表示为 一万m l l + m 2 i q 万) n 一万m 1 2 + m 2 2 q 万 ( 2 - 4 ) 第章2 d 多速率系统理论基础 由采样矩阵m 生成的卵d 似m 。) 如图23 ( b ) 所示 堤 0000000 岁艺是。 g ooo 托o o o ooo ( b ) 图23 ( a ) 由m 生成的卵d ( m ) ，( b ) 由m 生成的印d ( z m 。，) 2 122d 下采样 在1 d 多速率系统中，当信号的采样率远大于两倍信号带宽时，可以通过下 采样( d o w n s a l l l p l i n g ) 过程降低信号的采样率，离散信号z ( ”) 的时倍采样过程就 是每隔 ，点保留一点数据，即采样后的信号y ( 砷= x ( 埘t ) 。同样地，在2 一d 情况 电是这样考虑的，但更复杂些。我们借助采样矩阵和l 甜i c e ，可以将下来样的概 念从1 d 引申到2 d 情况。 对于非奇异2 2 矩阵m ，下采样操作定义为： y ( ) = ，( m )( 2 - 5 ) 其中n 为2 d 向量。这一操作过程町用如图24 ( a ) 描述。下采样操作过程实质上是： 输出信号y ( n ) 是将输入信号z ( 皿) 不落在“丁( m ) 上的点丢弃，而将落在e r ( m ) 上 的点经过重新排列所得，这一过程如图24 ( b ) 所示。 塑l 一了i 卜霉j ( a ) ( b ) 0 h n ) 叫皇! 型卜叫堕l _ y ( ) ( c ) 矧24 ( a ) 2 - d 下采样，( b ) 2 d 下采样操作示意翻( c ) 2 df 采样器( d e c 帅m o r ) 二维n p r 余弦调制滤波器纽疆计算法 2 一d 下采样操作的输入输出关系在z 域和频域上分别表示为： m 卜志暑州一p 1 2 “，。 b 。、 h 哪2 志。三，州盯北伪 上式中共有，( m ) 项。其中，x ( m 叮m ) 为输入信号油) 的频谱“拉仲”项。当k ，0 时，其余各项为( ) “拉伸项”的频移项。我们把k 0 各项称为混叠项( a l a s j n g ) 。 当且仅当这此混叠项均为0 时，才有可能从输出信号中恢复原始输入信号。凼此， 通常会采用抗混霍滤波器( 也称抽取滤波器) 先对输入信号进行预滤波( 带限) 以保证输出信号的完全恢复，如图24 ( c ) 所示。 213 2d 上采样 与信号的下采样过程相对应的是上采样( u p s 咖p i i n g ) 过程，如果需要把几个 窄带信号复合在一起构成一个带宽信号，则需要信号的上采样过程。 对于非奇异2 2 矩阵m ，上采样操作定义为： m ，= p 。三竺 p ， 如图25 ( a ) 所示。 “)叫t m _ _ + y ( n ) ( a ) 州n ) z 一 ，一一， o 一 ( n ) ht m - _ + ，( z ) r ( n 1 ( c ) i 笙| 25 ( a ) 2 一d 上采样，( b ) 2 _ d 上采样操作示意瞄，( c ) 2 d 上采样器( i n 唧o l a 研) 在上采样过程中，输出信号“n ) 实质上是将输入信号，( n ) 落在由m 所生成的 _ 斗o 吣+ o _ ： ， f土lj十ll 第| 章2 一d 多速率系统理论基础 删r ( m ) 上的备点进行重排列，对不在埘r ( m ) 上的点置0 所得。如图25 ( b ) 所示。 2 一d 上采样操作的输入输出关系在z 域和频域上分别表示为 y ( z ) = 肖( z ”x y ( ) = ( m 7 )( 2 - 8 ) 由上式可知，输出信号频谱r 佃) 是将输入信号x ( m ) 进行压缩、旋转后得到。y 佃) 以2 巾i _ 7 为周期，其信号经过匕采样后，会产q 二，( m ) 一1 个镜像( i m 8 9 e ) 。图26 r 1 描述了信号经由2 - d 上采样所产生的镜像。这里，m 2 j ；i 1l 由于j ( m ) = 3 所 以会产牛2 个镜像。 f 1 r )1 cb f y f 、 ( b ) 图2 6 ( a ) 输入信号频谱，( b ) 经1 m 采样后输出信号频谱( 拽红色和蓝色部分为镜像) 冈此，通常在e 采样操作之后级联一个抗镜像滤被器( 也称插值滤波器) 以消除 由上采样引起的镜像，如图25 ( c 1 所示。 2 2n o b l e 等式 在2 巾多速率系统，我们经常用到几个重要的等式，主要包括级联的下采样 f 采样等式( 简称d di d “d 母) 、上采样一上采样等式( 简称u ui d e n t 时) 以及 上采样下采样交换等式( s w 8 p p i “gi d 舶t i t y ) ，如图27 所示。 岖亟卜岖旦霸- z 咂面升一 ( a ) 叫! 丛，厂_ 叫：丝； 一；吨竺：丝r 一 ( b ) 啦亘卜咂驴z 咽亘卜哑司+ ( c ) 目2 7 ( a ) d d i d e m i 砂( b ) u u i d e n t 畸，( c ) s w a p p n g i d e m i 可 此外，还有滤波器与栗样操作的几个级联等式，如图2 ，8 所示。 1 2 二维n p r 余弦调制滤波器组设计算法 岖囫 _ 吐弘三匦习_ 咂一 ( a ) 岖适卜虻p 三匝困_ 恒弘 ( b ) 屯匦 _ 吐巫叫巫d 一三岖驴( c ) 图2 8 ( a ) d fi d e n t i t y ，( b ) f ul d e n t i t ) ，( c ) u f di d e n t i t y 这意味着，一个下m 采样器和一个滤波器日( z ) 级联等效于日( z m ) 和一个下 m 采样器级联，简称为d fi d e n t 蚵；一个滤波器日( z ) 和一个上m 采样器级联等效 于一个上m 采样器和一个日( z m ) 滤波器的级联，简称为f ui d e n t 时；一个上m 采 样器、一个滤波器h ( z ) 和一个m 下采样器相级联等效于磊( z ) ，简称为u f d i d e n t 时。磊( z ) 为日( z ) 的1 y p e l 第一项多相分解元，对于多相分解元，详见2 3 小 节。采样器与多相分解元相关的几个等效式，可用如图2 9 描述，其中e ，( z ) 为h ( z ) 的t y p e l 多相分解元，r ，( z ) 为日( z ) 的聊e 2 多相分解元。 岖五卜吐p 叱匦卜吒一 川 i 岖 珈巫卜吲 专 i ； 专 ( a ) ( b ) 图2 9 ( a ) f di d e n t i t y ，( b ) u fi d e n t i t ) r 特别地，应用于可分离到不可分离滤波器组转换的单位模变换等式，可用如 图2 1 0 表示，u 是其行列式为1 的整数矩阵，我们称为单位模矩阵。上述所有等 式的证明本论文不予给出，有兴趣的读者可参考文献 3 0 ，3 9 ，4 0 ，4 1 】。 _ 虹卜暑_ 咂一 叫扩雨基一山u 一，卜 叫个u 卜_ + 基叫山u r 叫( 匝卜吨p 兰叫( 匝 _ 吨p 兰i 图2 1 0 单位模变换等式 第二章2 d 多速率系统理论基础 2 3 多相分解表示 2 3 1 卜d 信号的多相分量表示 在1 d 情况下，离散信号的多相表示定义为若干个不同相位的离散采样信号 之和。信号的多相分量有两种表示形式：t y p e l 和t y p e 2 ，下面分别进行阐述。 对给定的一个信号x ( 刀) 和一个正整数m ，则信号的t y p e l 多相表示可定义为 q ( 刀) = x ( 施+ 七) ，后= 0 ，1 ，m 一1 。下面给出了x ( 刀) 的t y p e l 多相分量表示的z 变 换： ，一l ，一l 彳( z ) = ( 刀) z 一胁“= z 以吃( 刀) ( z 肘) ” ( 2 9 ) n = 田盘= on = 七= 0 令 & ( z ) = x ( 胁+ 七弦= 吼( 挖) z ” ( 2 1 0 ) = 。= 则x ( z ) 可变为： ，一l x ( z ) = z 础最( ) ( 2 1 1 ) 七= o 式( 2 1 1 ) 中的( z ) 称为信号的1 y p e l 多相元素。 对给定的一个信号x ( 门) 和正整数m ，则信号的t y p e 2 多相分量表示可以定义 为( 疗) = x ( 砌+ m 一1 一七) ，七= 0 ，1 ，m 一1 。信号的聊e 2 多相表示的z 变换： x ( z ) = ( ，z 弦一枷d = z 州+ 咯( 疗) ( ) 卅 ( 2 - 1 2 ) n = t = o t = o”= o 令 + i ( z ) = x ( 施+ m 一1 一七弦一= ( 刀) z 1 ( 2 - 1 3 ) 则x ( z ) 可变为： ”“2 。 式( 2 1 4 ) 中的+ 。( ) 称为信号的聊e 2 多相元素。 2 3 22 一d 多相分解表示 ( 2 - 1 4 ) 在2 d 情况下，多相分解理论依然成立。对于一个2 一d 信号x ( n ) ，可以分解 为( m ) 个下采样信号之和： _ ( n ) = x ( m n + k a k j 已( m )舡1 5 ) x ，( n ) = x ( m n k ，) ，k ，e ( m ) z 垆p 2 、 上式中，一( n ) 为x ( n ) 的多相元( p o l y p h a s ec o m p o n e n t ) 。事实上，( n ) 是对 、， 吖 z ，七一 4 一七一m z 脚 = 、， z ，l 1 4 二维n p r 余弦调制滤波器组设计算法 x ( n + k ，) 和z ( n k ，) 的下m 采样，分别称为信号z ( n ) 的t y p e l 和t y p e 2 多相表示。 下面给出信号x ( n ) 的t y p e l 和t y p e 2 的多相表示在频域上的形式： x ( ) = p 一归飞一( m7 1 ) 乃矽p 1 k ，5 三 ，( 2 1 6 ) x ( ) = p 归飞一( m7 ) 聊p 2 k j e 三( m ) 式( 2 - 1 5 ) 对应的z 变换为： 彳( z ) = z 一( z m ) 聊订 k ，6 三m ( 2 1 7 ) x ( z ) = z k 7 一( z m ) 舡2 、7 k ，e 三( m ) 图2 1 1 给出了传递函数日( z ) 经多相分解后的等效示意图。其中，e ，( z ) 和r ，( z ) 分 别为日( z ) 的t y p e l 和t y p e 2 多相元，s = ，( m ) 一l ，k ，e ( m ) 。 i 垭涩 刮 专；i 上 ( a ) ( b ) 图2 1 1 ( a ) t y p e1 多相分解，( b ) t y p e 2 多相分解 第三章2 一d 滤波器组 第三章2 一d 滤波器组 2 d 多速率滤波器组在整个滤波器组设计中占着很重要的地位，这类滤波器组 适用于二维图像( 或信号) 处理，其效果很理想。相对1 d 情况下，2 一d 滤波器组 的设计更复杂，设计过程中考虑的因素更多。 3 12 一d 滤波器组设计 3 1 1 滤波器组的结构分析 一个典型的2 一d i m i 通道均匀最大抽取滤波器组的基本结构如图3 1 所示。 x 协 风( ) m m 油) 个m 卜_ 叫e ( 国) | ； ；? l 互圈卜呕丑玉丛生砸 叫互囹出洄) 图3 1i m i 通道均匀最大抽取滤波器组 在该滤波器组结构中，采样矩阵为m ，由i m l 个分析滤波器e ( ) 将输入信号 x ( ) 在2 d 频率平面上分解成l m l