（凝聚态物理专业论文）低维系统的最子纠缠与量子相变.pdf

华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 i 摘 要 摘 要 近年来，低维量子系统引起了极其广泛的关注。随着科技的进步，以前停留在 理论上的一些物理模型，人们现在已经可以在实验室制备出来，进而研究它们的各 种量子效应。比如人们在化合物 cu3(co3)2(oh)2的磁化过程中观测到了 1/3 磁化平 台，而该化合物的磁性粒子间的相互作用可以用准一维棱型链来描述。此外，人们 还在化合物 cu3(p2o6oh)2的磁化过程中观测到了磁化平台，并用一维三聚体链模型 对这个化合物进行了模拟，得到了很好的结果。 在低维量子系统中， 量子相变(qpt)现象占有重要的地位。 这种相变发生在零温， 往往伴随着观测量的奇异性和关联长度的发散。具有 1/3 磁化平台现象的低维系统， 是研究量子相变的优良载体。在本文，我们将重点研究准一维棱型链以及一维三聚 体链等典型的低维系统中的量子相变行为。此外，量子纠缠也是近年来引起特别关 注的一个物理量。量子纠缠本来是量子通讯中的物理量，后来被借鉴到凝聚态领域， 并得到了广泛的应用。量子纠缠的一个重要应用是它可以用来寻找量子系统的量子 相变点。我们使用密度矩阵重整化群方法（dmrg）以及一些解析推导方法，详细 研究了这些一维量子系统中的量子纠缠与量子相变。 首先，我们深入讨论了零温下量子纠缠的奇异点与量子相变的关系。在一个三 聚化的铁磁-铁磁-反铁磁量子 heisenberg 链中，随着外加磁场的变化，当磁场经过某 个阈值的时候，系统的纠缠由大迅速地变小。这个阈值正好是这个三聚体的量子相 变点。我们向系统中引入了一个微小的掺杂，发现阈值从量子相变点移开。更重要 的是，随着掺杂浓度的增大，阈值线性地增加，表现出了良好的可控性。这样，整 个系统的行为就像一个纠缠态的开关，这个开关由外加磁场驱动，而阈值点则由掺 杂调控。这个理论模型提供了一种有效的调控系统纠缠状态的方式，可能在量子通 讯和量子信息领域有重要的应用。此外，我们还计算了横场 ising 模型、正 n 面体模 型以及棱形链模型的量子纠缠，详细地研究了量子纠缠的奇异点和量子相变点的关 系，探明了两者出现不一致的各种原因，对量子纠缠的性质有了更加深入的认识。 基于量子转移矩阵重整化群方法（tmrg） ，我们提出一种计算有限温度下（准） 一维量子系统的热纠缠的算法。该算法重建了有限温度下双粒子的约化密度矩阵， 然后所有的量子纠缠都可以从这个密度矩阵算出。 我们研究了两个具有 1/3 磁化平台 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 ii 特性的量子模型：棱形链模型和三聚体模型。对于棱形链模型，我们研究了各向异 性对系统磁化平台和对应的纠缠平台的影响，发现量子纠缠可以提供一些通过研究 宏观热力学量所不能得到的信息。对于三聚体模型，我们计算了双粒子纠缠的温度 依赖，发现了一个阈值温度，当系统的温度高于这个阈值温度时，系统的纠缠消失。 有趣的是，这个阈值温度并不受外加磁场的影响。此外，我们在 trotter 空间考虑了 量子纠缠的尺寸效应。随着系统在 trotter 空间的增长（对应于实空间中系统的降温 过程） ，量子纠缠在临界点附近收敛得很缓慢，而在非临界区域则迅速收敛。这种 trotter 空间的尺寸效应，可以作为一种确定量子相变点的新的指示器。 作为 dmrg 的另一种表述形式，矩阵积态(mps)近年来研究得很热。基于矩阵 积理论，人们可以方便的处理准一维量子系统的基态以及时间演化等性质。人们发 现矩阵积系统中的量子相变跟传统的量子相变有很大的不同，比如，前者的基态能 量是解析的，而后者的能量是奇异的。我们发现，矩阵积系统在相图上总是选择了 一条特别的路径来穿过相变点。正是由于这条路径的特殊性，矩阵积态量子相 变具有许多不同于传统量子相变的性质。我们提出了一个路径方程，这个方程可以 用来理解矩阵积态-量子相变和传统量子相变的不同行为。此外，通过解这个方程， 我们可以直接求出系统的相变点，这比传统的计算转移矩阵的方法简便得多。这个 方程就像是矩阵积态-量子相变的路径选择定则。进一步，我们发现矩阵积态的观测 量的奇异点跟它在相图上路径的转折点一致，而不一定是相图上的边界点。这样， 在矩阵积态-量子相变中可能根本没有传统相变的发生。 张量积态，或者又叫做投影的纠缠对态（peps） ，是矩阵积态的二维推广，已经 被用来处理二维量子系统的基态和时间演化等问题。在本文中，我们提出了基于张 量的二维 peps 对称性方程。这些方程可以用来： （1）判断某个给定的 peps 是否具 有某种对称性，或者（2）帮助我们构造出具有预定的对称性的 peps。进一步，我 们发现 peps 对称性方程的解可以用具有相同对称性的一维矩阵积态对称性方程的 解来表达，这样，我们可以通过熟悉的矩阵积态来构造相对而言不太熟悉的张量积 态。 作为两个例子，我们研究了一个自旋 1 的平面正方网格和一个自旋 1/2 的双层网 格。这些模型的量子纠缠使用 dmrg 方法算出。通过分析量子纠缠，在某些特定情 况下我们可以给出张量积态的紧致表达式。 关键词：关键词： 低维量子系统，密度矩阵重整化群，量子转移矩阵重整化群，量子相变， 量子纠缠，矩阵积态，张量积态 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 iii abstract low-dimensional quantum spin systems have been intriguing subjects in several decades. among many achievements in this area, the phenomenon of the topological quantization of magnetization, especially the 1/3 magnetization plateau for the diamond chain and the trimerized chain, has been studied in many papers. for example, the thermodynamic properties of spin-1/2 diamond chains have been studied in many papers. the reason why these lattice models have attracted so much attention is not only that the magnetization plateaus in these models reveal interesting quantum effect, but also that they are not toy models. a magnetization plateau has been observed experimentally in cu3(co3)2(oh)2, which is regarded as a model substance of diamond chain, and for the spin-1/2 trimer chain compound cu3(p2o6oh)2, a plateau has also been observed. in all these low-dimensional systems, quantum phase transitions(qpt) take a very important position. these transitions take place at zero temperature, accompanied by dramatic changes in the nature of the systems. the magnetization plateau can be explained by qpt theory. in addition, the quantum entanglement has also attracted much interest in recent years. its non-local connotation is regarded as a valuable resource in quantum communication and information processing, and provides new perspectives for various many-body systems. in this thesis, we investigate in detail the qpts and the quantum entanglement in the diamond chain model and the trimer chain model. for a trimerized ferromagnet(fm)-fm-antiferromagnet(af) quantum heisenberg chain, when the external magnetic field exceeds some threshold, the system jumps from a high entangled state to an unentangled state. the threshold is just the quantum phase transition (qpt) point for a pure trimerized chain, and it will shift away from the qpt point when a micro doping is introduced into the chain. more importantly, we find that with the variation of the intensity of doping, the threshold increases linearly, and shows good controllability. it acts as a controllable entanglement switch, which is driven by the magnetic field and its threshold is controlled by doping. it brings up an effective way to modulate the quantum entanglement, and it will be significant in quantum communication 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 iv and information processing. in most cases, the nonanalytic point of the ground-state entanglement can be used to identify a quantum phase transition (qpt). while in some cases, for example, the concurrence may show a singularity in a non-critical region. in addition, in a doping model the entanglement can be influenced by the defect, thus the singularity can be changed. the reason why the singularity can derive away from the qpt point is investigated systematically, and some rules to re-build the one-to-one correspondence between qpt and the nonanalytic point of the entanglement. for example, the definition of the concurrence should be extended to minus region; for complex systems, one could use the “entanglement structure” instead of some single measure of the entanglement to detect the position of the qpt. based on transfer-matrix density matrix renormalization group method (tmrg), a general procedure to calculate the finite-temperature pairwise entanglement of low-dimensional quantum chains is proposed. the reduced pairwise density matrix is reconstructed with tmrg, and measures of quantum entanglement can be calculated from the pairwise density matrix. the finite-temperature entanglement of the diamond chain model and the spin trimerized model, which are two typical models revealing 1/3 plateaus in the magnetization curves, is calculated. for the diamond chain model, the anisotropy coefficient is found to have a great effect on the appearance of the magnetization plateau, and the plateau disappears when =0.5. moreover, our results show that the pairwise entanglement can provide information complementary to that obtained from bulk properties. for the trimerized model, the temperature dependence of the pairwise entanglement is calculated, and the threshold temperature tc, above which the thermal entanglement vanishes, is found to be independent of the external magnetic field b. in addition, the scaling behavior of the thermal entanglement is calculated in the trotter space. with the augmentation of the system in the trotter direction, we find that the low-temperature entanglement shows obvious variation in the vicinity of quantum phase transition (qpt) point bc and converges fast in non-critical regions, which provides a new way to identify qpt of 1d quantum systems. recent years, a variant formula for dmrg is established with the help of 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 v matrix-product theory, and the new theory is used to deal with the ground-state wave-function and the time-evolution of one-dimensional systems. a matrix product system(mps) chooses a special path in the phase diagram to undergo a quantum phase transition(qpt), and shows different behaviors compared with a traditional qpt, such as the symmetry behavior of some physical observables described in this thesis. an equation is established, which (i) helps one to understand the special behaviors of a mps-qpts, and (ii) can be used to detect the qpt point of a matrix product state(mps), much simpler than usual procedures of calculating the transfer matrix or density matrix of the system. furthermore, the discontinuity of the derivative of an observable is found to be connected directly to the turning point in the path of the mps, but not the phase boundary point in the phase diagram, though the two are in accordance with each other in many cases. tensor product state, or the so called projected entangled-pair state (peps), is the direct two-dimensional extension of mps, and can be used to investigate two-dimensional quantum systems. we propose tensor-based symmetry equations for two-dimensional (2d) pepss, which can be used to construct pepss with predetermined symmetries. in addition, we find that one of the solutions of peps-symmetry-equation can be expressed as the dyadic product of one-dimensional (1d) matrix product states (mpss), thus one can construct pepss through mpss. the theory is applied to construct a spin-1 square lattice and a spin-1/2 two-layer model. the quantum entanglement of these models is calculated by the vertical density matrix algorithm, a variation of density matrix renormalization group method (dmrg). in some cases, the simple forms of the pepss are figured out with the help of the analysis of the quantum entanglement of the states. key words：low-dimensional quantum system，dmrg，tmrg， quantum phase transition，quantum entanglement，matrix product state， projected entangled-pair state 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本论文属于 保密， 在年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 1 1.1. 绪 论 绪 论 1.1. 低维量子系统 低维量子系统在凝聚态领域中具有重要的地位1-11。 常见的低维量子系统按照维 度可以分为零维系统、一维系统和二维系统。比如，纳米尺度的结构通常可以看成 是零维的。量子点就是一种零维系统12。量子点看起来像是一个大分子，但是，跟 自然界中的分子不同的是，量子点中的电子数是可以通过实验调控的。无论是从基 础物理的角度还是其潜在的应用前景来讲，研究量子点都是很有意义的。一维（或 者准一维）量子系统是最常见的低维系统。在一维量子系统中，即便粒子间的相互 作用很小，系统也展现出跟单个粒子（零维系统）完全不同的性质。量子线就是一 种常见的一维系统13-14。在量子线中，电子在一个方向上是自由运动的，而在另外 两个方向上受到了约束。自旋链是另一类常见的低维系统。在某些磁性材料中，有 相互作用的磁性单元在材料中线性排列，这样，人们就从中提取出自旋链模型来研 究这些系统的磁性质。在材料中，涉及到表面、界面的时候，人们则提出了二维模 型来研究相应的性质15-16。比如，具有反铁磁的 cuo 面的高温超导体的出现，激起 了人们研究二维 heisenberg 系统的热情。 1.2. 典型的（准）一维拓扑结构 在本文的前半部分，我们将重点研究准一维的量子自旋系统，所以，我们在本 节简要介绍下常见的（准）一维拓扑结构。 最简单的是如图 1.1(a)所示的周期为 1 的一维链。 在这个模型中， 奇数格点和偶 数格点没有本质的不同。当奇数格点和偶数格点不同的时候，系统的周期变为 2，如 图 1.1（b）所示，又称之为二聚体模型。事实上，zigzag 模型就是一种锯齿状的二 聚体模型。 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 2 图 1.1 (a)周期为 1 的一维链的示意图。(b)周期为 2 的一维链的示意图，又称之为二聚化 链。在本节的图例中，我们用 图 1.1 (a)周期为 1 的一维链的示意图。(b)周期为 2 的一维链的示意图，又称之为二聚化 链。在本节的图例中，我们用 表示第几个原胞，用表示第几个原胞，用区分一个原胞中的不同格点。 区分一个原胞中的不同格点。 稍微复杂一点的是梯子模型。梯子模型可以看成是几条一维链耦合得到的，通 常把每条链叫做梯子的一个 leg。图 1.2 表示的是有两条链耦合得到的，文献中也叫 做 2-leg 梯子模型。也有人研究多条链耦合得到的模型，叫做-leg 梯子模型。梯子 模型可以有很多变种。比如图 1.2(a)中的梯子是由相同的一维链耦合而成的，而图 1.2(b)中的梯子则是由两条不同的链耦合而成的。再比如，像图 1.1(b)那样引入奇偶 不同的格点，可以衍生出更加复杂的模型。 图 1.2 由两条一维链耦合得到的准一维梯子模型。在梯子模型中，上、下两条链称之为 leg；每个原胞称之为一个rung，每个rung由上下leg的格点 图 1.2 由两条一维链耦合得到的准一维梯子模型。在梯子模型中，上、下两条链称之为 leg；每个原胞称之为一个rung，每个rung由上下leg的格点 和和 组成。(a)中的梯子是由两条 相同的一维链耦合而成的，(b)中的梯子是由两条不同的一维链耦合而成的 组成。(a)中的梯子是由两条 相同的一维链耦合而成的，(b)中的梯子是由两条不同的一维链耦合而成的 三聚体链和棱形链则是每个原胞含有 3 个格点的准一维模型，其拓扑结构分别 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 3 如图 1.3（a）和（b）所示。当这两个模型上每个格点是自旋为 的粒子的时候，系 统的磁化曲线上可能出现一个 1/3 的平台。这种分数量子效应引起了广泛的关注。后 文将对这些系统进行详细的研究。 棱形模型也可以有各种变体。图 1.3(b)中的拓扑结构人为地绘制得比较对称。 事实上，稍微改变一下粒子间相互作用的相对强弱，都可能衍生出一个有意义的物 理模型。比如，如果格点 和格点 间的相互作用为零，则棱形链退化成如图 1.4 所 示的 zigzag 模型，其中，格点 转变成 zigzag 链的侧基。 图 1.3 每个原胞包含 3 个格点的准一维模型。(a)是周期为 3 的一维链状模型，或者称之 为三聚体模型。(b)是棱形链模型 图 1.3 每个原胞包含 3 个格点的准一维模型。(a)是周期为 3 的一维链状模型，或者称之 为三聚体模型。(b)是棱形链模型 图 1.4 带侧基的 zigzag 模型。这个模型可以看成是图 1.3(b)中的棱形链模型退化得到 的。每个原胞仍然含有三个格点 图 1.4 带侧基的 zigzag 模型。这个模型可以看成是图 1.3(b)中的棱形链模型退化得到 的。每个原胞仍然含有三个格点 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 4 1.3. 粒子间的相互作用 上节讨论的是系统的拓扑结构。要描述一个系统的哈密顿量，拓扑结构仅仅只 是第一步，也是相对简单的一步。第二个步是确定系统中各个粒子间的相互作用形 式。 我们主要研究的是自旋系统。 在自旋系统中， 常见的相互作用模型有 heisenberg 相互作用模型和 hubbard 模型等。 ? heisenberg 模型 heisenberg 模型中，自旋是局域在格点上的，常用来描述一些绝缘体。 首先，只考虑两体相互作用，则两个粒子间的 heisenberg 相互作用加上外加磁 场作用 可以用算符表示成： (1.1) 当时，哈密顿量退化为 (1.2) 称之为各向同性的 heisenberg 模型，否则，称之为各向异性的。 有时候，人们关心的是一些更加简单的情形，比如，则哈密 顿量退化为 (1.3) 这个模型称之为横场 ising 模型。 再比如当 方向和 方向同性时，令，则哈密顿量退 化成为 (1.4) 这种相互作用称之为相互作用。 更复杂的情形下，人们会关心多体相互作用。比如，在一维链中，当考虑次近 邻时，哈密顿量中将增加类似下面的三体算符： (1.5) 类似的，也有人研究四体作用算符。比如，在自旋梯子中，有时候人们会考虑 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 5 两个相邻的 rung 间的四体相互作用，如图 1.5 所示，四体相互作用使得系统的哈密 顿量增加了下面的项： (1.6) 其中，四体算符 的作用是使得两个相邻的 rung 上的四个格点逆时针旋 转，的作用是使得两个相邻的 rung 上的四个格点顺时针旋转： (1.7) (1.8) 事实上，这两个旋转算符可以写成双线性和双二次自旋算符的和： 图 1.5 梯子模型中相邻的两个 rung 间可以引入四体算符图 1.5 梯子模型中相邻的两个 rung 间可以引入四体算符 ? hubbard 模型 hubbard 模型是固体物理中用于研究绝缘体和导体间的转变的模型，它包含两 项：粒子的动能项和粒子间的势能项，一般用算符描述成： (1.9) 其中，含 的项是相邻格点间的跳跃能， 又称之为“跳跃积分” 。 项是同一个 格点上自旋不同的粒子间的排斥能。 和 是费米子产生湮灭算符。也有人研究每个 格点上是波色子的情况，相应的模型称之为“bose-hubbard”模型。 当温度足够低，周期势中的粒子全都处于最低的布洛赫能带，这时，hubbard 模 型往往是很好的近似。hubbard 模型只考虑了最近邻相互作用。也有人研究具有次近 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 6 邻耦合的模型，被称为“extended-hubbard”模型。 1.4. 量子相变 上两节分别介绍了低维系统的拓扑结构和耦合形式。由这两者结合，将产生多 种多样的低维量子系统。这些低维量子系统具有很多有趣的性质，其中，最引起人 们关注的一个就是量子相变17-26。量子相变发生在零温，本节，我们将简要介绍量 子相变的基本概念。 考虑一个哈密顿量，其中， 是一个无量纲的参数。一般而言，的基态 能量是一个光滑的、解析的函数，但是有时候会有例外。比如，假设由两部分 组成17： (1.10) 其中，和对易，且不随 变化。这样，和可以同时对角化，得到相应 的最低能级分别为和，对应着本征态和。随着 的变化，的基态将在 本征态和间选择产生， 而选择更小的那个。 假设当时， 更小，而当时更小，则在临界点，系统的基态能量出现奇异点， 临界点就成为系统的量子相变点。在时，基态为，在时，基态 为，这样，当 跨越临界点时，系统就发生了量子相变。 在量子相变点有很多奇异的性质。比如，观测量出现奇异性、关联长度发散等 等。需要指出的是，传统的量子相变的定义是基态能量的奇异点，但有时候量子相 变的定义被扩展了。比如，在本文后半部分将讲到的矩阵积系统中，基态能量保持 为零，但是观测量出现了奇异性，对应的奇异点，人们往往也称之为矩阵积态-量子 相变点。 1.5. 量子纠缠 近年来，低维系统的众多物性中，量子纠缠27引起了特别的关注。量子纠缠本 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 7 来是量子通讯中的物理量28。后来，人们把它借鉴到凝聚态领域，并得到了广泛的 应用29-71。 1.5.1.1.5.1. 纠缠的定义 纠缠的定义 首先，我们简单介绍常见的纠缠的定义。 ? 并协度并协度30 并协度在（准）一维量子自旋系统中被广泛使用。它描述的是两个自旋为 1/2 的粒子间的纠缠，可以用于纯态，也可以用于混合态。记两粒子的密度矩阵为 ，并 定义一个与其共轭的自旋翻转算符为： (1.11) 由 和 相乘得到一个非厄米矩阵，求出的四个本征值 i ，并把 i 按照降序 排列，则并协度可由下面的公式给出： (1.12) (1.13) 并协度最基本的性质是：两粒子间没有纠缠的时候，并协度为零，纠缠最大的 时候，并协度为 1。在后文中，我们有时候并不区分与。 ? 纠缠熵纠缠熵49 纠缠熵是另一种广泛应用的量子纠缠。它适用于任意自旋的系统，描述的是系 统中的某个子系统 与其它部分 间的纠缠。纠缠熵的定义式是 (1.14) 其中是 个格点组成的子系统 的约化密度矩阵。 当等于零时， 这个子系统 与总体系的其他部分 之间是没有纠缠的。当每个格点上有 个自由度时，的最大 值是。 在一维系统中，人们常常关注纠缠熵随着系统增长的变化。比如，有些算法容 易计算一维链的左边个格点的约化密度矩阵，则计算出的相应的纠缠熵往往 叫做块熵49。有时候，链的中间一个或者两个格点的约化密度矩阵和容易算出， 则计算出相应的纠缠熵往往称之为单点熵或者双点熵48。 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 8 在图 1.6 中我们形象地表示了并协度和纠缠熵的物理意义。需要指出，并协度 和双点纠缠熵是不同的。并协度刻画的是两点之间的纠缠，而双点纠缠熵刻画的 是两点子系统与其环境的纠缠。 图 1.6 (a)并协度和(b)纠缠熵的示意图 图 1.6 (a)并协度和(b)纠缠熵的示意图 1.5.2.1.5.2. 纠缠与相变的关系 纠缠与相变的关系 量子纠缠引起广泛关注的一个原因是，量子纠缠也可以像一般的物理观测量一 样指示系统的量子相变47-71。 ? 尺寸效应尺寸效应43-46 块熵有一个重要的性质，使得它可以帮助人们寻找量子相变点：在非相变区域， 随着系统的增长，块熵迅速收敛；而在相变点附近，随着系统的增长，块熵呈现对 数增长的趋势。 ? 奇异性奇异性 密度矩阵的每个矩阵元都是一个有物理意义的量，所以一般而言，它们都应该 在量子相变点表现奇异性。而量子纠缠也都是由密度矩阵计算出来的，所以，各种 纠缠量也应该在相变点表现奇异性47-51。需要指出，对于有限系统，有时候这种奇 异性会退化成一个光滑的极值。 1.6. 数值算法：密度矩阵重整化群方法 多体量子系统一般难以精确求解，于是人们逐渐发展出各种数值算法。对于准 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 9 一维量子系统，密度矩阵重整化群(dmrg)方法是最有效的方法之一。dmrg 是由 美国物理学家史提芬怀特提出的72-74，被广泛用来计算一维的 hubbard 模型、t-j 模型以及 heisenberg 模型。 其最大的优点是， 可以很精确的求解一些尺寸很大的 （准） 一维链。量子多体物理主要的困难之处就在于系统希尔伯特空间的维度随着系统的 尺寸呈指数成长，例如，一个单格点自由度为 、长度为 的一维系统，其 hilbert 空 间维度大小为。dmrg 算法通过迭代来逐渐增大系统的长度。 迭代算法的关键有两点： （1）第 n+2 步的求解必须与第 n 步相同，这样才能循 环计算。 （2）每一步都有足够高的精度。 图 1.7 dmrg 迭代示意图。系统的长度随着每次迭代增加 2 图 1.7 dmrg 迭代示意图。系统的长度随着每次迭代增加 2 首先，如图 1.7 所示，对于一个长度为的系统，我们把它分成四个部 分，则整个系统的哈密顿量为： (1.15) 其中，包含了子系统 和格点 两部分的哈密顿量，包含了中间两个格点 和 的相互作用，包含了子系统 和格点 两部分的哈密顿量。 现在， 在系统的中间增加两个格点 和 ， 使得系统的大小增加为。 为了跟 个格点的哈密顿量“形似” ，我们写作： (1.16) 其中， (1.17) (1.18) 需要指出的是，在式(1.15)中，设子系统 （ ）的 hilbert 空间的维度为，这 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 10 样，算符（）的大小为；而在式(1.16)中，子系统 （ ）的 hilbert 空间的维度为，这样，算符（）的大小为。如果只是按照这个 过程，每一步的计算都是精确的，但是，hilbert 空间维度指数增长，这个迭代过程 在极为有限的几步后就会达到计算机运算能力的极限，所以，有必要进行近似处理， 从而保证计算量不随着迭代的进行而增大。一个办法是用某个与的大小相同的算 符来近似地表示： (1.19) (1.20) 其中，和是大小为的约化矩阵，这样，经过近似后的就具有 跟完全相同的维度了。 现在的问题就是寻找约化算符和。 dmrg 算法提出了一种精度足够高的构 造约化算符和的方法。 首先， 求出的基态波函数， 再由计算出和两 个子块的约化密度矩阵和： (1.21) (1.22) 将和对角化，得到本征值，对应的本征态组成算符和。用前个 最大的本征值对应的本征态即可组成约化矩阵和了。 现在从观测量平均值的角度简要地说明这个算法的合理性。 任取定义在子系统 中的算符 ，约化过程中，其平均值为： 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 11 对于非临界系统， 密度矩阵的本征值谱随着 迅速衰减， 这样， 保留最大的 个就是最优的了。需要指出，对于临界系统，由于不会迅速衰减，dmrg 会失 效。 需要指出的是，dmrg 还有很多其它的应用。比如后文会涉及的有限温度下的量 子转移矩阵重整化群方法（tmrg）79-83。这些算法解决的物理问题不同，实现的 过程也不尽相同，但是，它们处理的都是（准）一维周期性的链状结构。量子转移 矩阵，也是由重复的小单元链状排列求得的，所以，计算思想其实是完全一样的， 不再详细介绍。 1.7. 矩阵积态 本节，我们将介绍波函数的另外一种表述形式：矩阵积态(mps)表述84-105。该 表述将波函数表述成局域矩阵的矩阵积，可以方便地处理一维无限大系统，也可以 有效而准确地研究一维系统的时间演化行为。更重要的是，mps 的二维推广，张量 积态，又称为投影的纠缠对态(peps)，可以自然地用来处理二维量子系统106-112。 1.7.1.1.7.1. 矩阵积态的定义 矩阵积态的定义 理解矩阵积态的一个有益而直观的方式是通过所谓价键图像： 考虑个格点在空 间中排成环的形状，每个格点关联了两个 维的“虚拟”自旋。假设每对相邻（但不 属于同一个格点）的两个自旋处于最大纠缠态 (1.23) 则系统的量子态为： (1.24) 然后，我们对每个格点进行下面的投影： (1.25) 我们使用希腊符号表示“虚拟”系统的自由度。我们把系数看成是某个 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 12 矩阵在基矢集下的矩阵元，则通过将投影算符作用在每个格点上，最终可 以算出系统的波函数在每个自由基矢前的系数由矩阵积给 出。一般而言，纠缠态的维度以及投影算符是与位置相关的，这样，我们把每 个格点的局域矩阵写成一个的矩阵的形式。这样，系统的量子态即可 写成下面的形式： (1.26) 并称之为矩阵积态。事实上，只要价键的维度足够大，任何量子态都可以写成这 种形式。很多时候，价键的维度的最大值往往很小。我们往往研究的是 平移不变的矩阵积态，这样，局域矩阵及其维度都与格点位置 无关，这样， 只用给出一组局域矩阵即可确定该量子态。 1.7.2.1.7.2. 转移矩阵方法 转移矩阵方法 矩阵积态的物理性质通常使用转移矩阵方法算出99。系统的转移矩阵由下式给 出： (1.27) 由 可以计算出矩阵积态的归一化因子 ： (1.28) 此外，可以证明，对于定义在某个原胞 上的任意算符，其平均值可以用如下 式子算出： (1.29) 其中， (1.30) 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 13 在热力学极限下，容易得到： (1.31) 其中，是转移矩阵 的最大本征值，而和分别是对应的本征左矢 和本征右矢。两个本征态按如下法则归一化：=1。通常，人们假设转移矩 阵的最大本征值是非简并的。当简并发生时，通常称之为“矩阵积态-量子相变” 。 由于 是一个的小矩阵，它的本征值和本征态可以精确地算出。 此外， 多点关联函数可以通过类似的算法算出。 比如， 两粒子关联函数 由以下公式算出99： (1.32) 其中定义为。注意这个定义使得我们可以将 点关联函 数的数学表达式统一起来，而不再要求 是可逆矩阵。在热力学极限下，两点 关联函数为： (1.33) 其中，是的本征值，和是对应的本征左矢和本征右矢，并按照 的要求进行正交归一。 当两点间的距离很远（）时，这个公式退化为： 其中是转移矩阵的第二大本征值。由此也已得出，