（应用数学专业论文）关于多目标决策问题的理想点法研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 多指标决策问题是对具有多个指标的有限方案进行排序与优选的问题。 近2 0 年来，多指标决策问题的决策理论、方法的研究取得了很大的进展，己成 为决策科学、系统工程、管理科学和运筹学等学科研究中十分活跃的一个课 题。多目标决策作为一个工具在解决日常生活方面的问题也越来越显示出它 的强大生命力。 关于多指标决策方法的研究已取得了丰硕的成果，但还有很多值得改进 和完善的方面，本文所做的有关理想点法就是多指标决策算法问题的一个方 面。本文工作主要从以下四个方面展开： 1 在权重为区间数的多指标决策问题的逼近理想点法这篇文章中，张 吉军给出了逼近理想点法，该方法简单实用，所需信息少。本文通过实例分析 了这篇文章中的“距离”定义未考虑的一面，并对“距离”加以改进，同时 也改进了这篇文章中的接近度，使其更加简化易算，提出了中心逼近理想点 法。 2 由于张吉军的权重为区间数的多指标决策问题的逼近理想点法“1 这 篇文章中正负理想方案以及墨方案所对应的图形均为n 维欧氏空间的“超实 长方体”，因此把方案- - - - 之间的距离也应概括成一个范围更符合实际，即用 一个区间数来刻画。正是基于此种想法，提出了另一种改进方法萋于线形 加权模型的理想点集成法。 囊从偏差平方和最小的角度出发，提出了一种理想点法基于线性加权 偏差平方和最小的理想点法。 4 从分析侯宏峰，刘三阳，李益群的对方案有偏好的基于期望值的多属性 决策法这篇文章“期望值”的实质出发，给出一种新的排序方法，提出了 基于期望值的理想点法的改进。 关键词：权重：区间数：多指标决策：中心逼近理想点法期望值 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t m u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gp r o b l e md i s c u s s e st h er 柚k i n gm e t h o da n d p r i o r i t yo r d e ro fd e f i n i t e a l t e r n a t i v e sw h i c ha r eo fp l e n t yo fa t t r i b u t e s i nr e c e n t t w e n t yy e a r s ，t h e s t u d yo fi t st h e o r ya n dm e t h o dh a sb e e nm a d e ag r e a t i m p r o v e m e n ta n di th a sb e e nas u b j e c to fm a n yf i e l d s ，s u c ha sd e c i s i o ns c i e n c e ， s y s t e me n g i n e e r i n g , m a n a g e m e n ts c i e n c ea n do p e r a t i o n sr e s e a r c h ，a n ds oo n i t h a sb e e nm a d eat o o lt os o l v et h ep r o b l e m so fo u rl i f ea n dt h i sw i l lb e c o m em o r e a n dm o r ei m p o r t a n t t h es t u d yo fm u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gp r o b l e mh a sb e e nm a d em u c h a c h i e v e m e n t ，h o w e v e r ，i ti ss t i l lb e e ni m p r o v e d ，i d e a lp o i n ts o l u t i o n d i s c u s s e di n t h ep a p e ri sap a r to fc a l c u l a t i n gp r o b l e mo fm u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g p r o b l e m i nt h ep a p e r , t h es o l u t i o n sw e r ea sf o l l o w s ： 1 i nt h ep a p e ro f , z h a n gj i j u nf o u n dt o p s i st om u l t i p l e a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gp r o b l e mw i t hi m e r v a l2 - v a l u e dw e i g h t t h i sm e t h o dw a s s i m p l e p r a c t i c a l a n dd e m a n d e dl e s si n f o r m a t i o n b u tt h e r ew e r es o m e s h o r t c o m i n g si n t h ep a p e r , t h es h o r t c o m i n g sa l e a n a l y s i sb yu s i n gc o n c r e t e e x a m p l e sa n dt h e “d i s t a n c e ”i si m p r o v e d i nt h i sp a p e r m e a n w h i l et h er e v i s i o no f p r o x i m i t yi sg i v e nt oc a l c u l a t es i m p l y t o p s i si sg i v e n i nt h i sp a p e r 2 b e c a u s ep o s i t i v ei d e a lp l a n ，n e g a t i v ei d e a lp l a na n d 置p l a no ft h ep a p e r z h a n gj i j u n s w e r ea l l “s u p e rr e a lc u b e s ”w i t l lnd i m e n s i o n s , i ti s r e a s o n a b l et od e f i n et h e i rd i s t a n c ea m o n gt h e i r sa s a s c c j p e ，i n t e r v a ln u m b e r b e c a u s eo ft h i s ，t h ep a p e rd i s c u s s e dam e t h o d i n t e g r a t e da p p r o a c ho fi d e a l p o i n ts o l u t i o nb a s e do nl i n e a rw e i g h ta d d i n g 3 i nt h ev i e wo fm i n i m i z i n gt h ew e i g h t e ds u mo fd e v i a t i o ns q u a r e ，t h ep a p e r d i s c u s s e da n o t h e rm e t h o d - - - - - - i n t e g r a t e dm o d e lb a s e do nl i n e a rw e i g h ta d d i n g a n dm i n i m u md e v i a t i o n 4 f r o m a n a l y s i s i n gt h ee s s e n c eo f “e x p e c t a t i o n 、r a h 圮，_ d i s t a n c e ”o f h o uh o n g f e n g , l i us a n y a n g l iy i q u n sam e t h o db a s e do ne x c e p t e dv a l u e s f o rf u z z ym u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gp r o b l e mw i t hp r e f e r e n c ei n f o r m a t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文第l ii 页 o na l t e r n a t i v e s ，t h ep a p e rp o i n t e do u tt h e s h o r t c o m i n g o fr a n k i n ga n d d i s c u s s e d ：i m p r o v i n gm e t h o db a s e do ni d e a lp o i n ts o l u t i o na b o u te x p e c t a t i o n v a l u e k e y w o r d s ：w e i g h t ；i n t e r v a ln u m b e r ；m u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g ； c t o p s i s ；e x p e c t a t i o nv a l u e 西南交通大学 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论 文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密匾彰使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 一魏船嘎：穿扳明 日期：娜7 ：1 2 ； 日期：沙7 ，z 矽 西南交通大学学位论文创新陛声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 对权重为区间数的多指标决策问题的逼近理想点法这篇文章加以改 进，提出了中心逼近理想点法。 2 对张吉军的权重为区间数的多指标决策问题的逼近理想点法提出了 另一种改进方法基于线形加权模型的理想点集成法。 3 从偏差平方和最小的角度出发，提出了一种理想点法基于线性加权 偏差平方和最小的理想点法。 4 对侯宏峰，刘三阳，李益群的对方案有偏好的基于期望值的多属性决策 法这篇文章加以改进，给出一种新的排序方法，提出了基于期望值的 理想点法的改进。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第0 章绪论 本章介绍多目标决策的研究状况和本文的思想及技术路线和己做工作。在 多目标决策的研究状况中介绍其发展历史及近年出现的新方法，在本文的思 想及技术路线和已做工作中介绍本文形成背景：对别人的三篇论文加以初步 分析并且给出改进方法“。 0 1 多目标决策问题的研究状况 多目标决策问题是对具有多个目标的有限方案进行排序与优选的问题。 人们常常要从有限个方案集进行综合评价，比如在城市人行立交设施的规划 布局中，考虑是否在某路段建设人行立交设施问题等时，常常要根据该道路 断面的机动车流量，非机动车流量以及过街行人流量等来作出决策。日常生 活中，人们也会遇到各种各样的决策问题，比如在选购住房时，通常要考虑 的属性有：购房价格，使用面积，住房离工作单位的距离，住房设施( 评分) ， 住房周边环境( 评分) 等。如今，多目标决策作为一个工具在解决工程技术、 经济管理、军事和系统工程等众多方面的问题也越来越显示出它的强大生命 力。 多目标决策问题的最早研究应追溯到1 7 7 2 年，当时f r a n k l i n 就提出了多目 标矛盾如何协调的问题，但国际上一般认为多目标决策最优化问题最早是由 法国经济学家vp a r e t o 在1 8 9 6 年提出的。1 9 5 3 年, a r r o n 等人对凸集提出了有 效点的概念，从此多目标决策问题逐渐受到人们的关注。1 9 6 8 年，z j o h n s e n 系统的提出了关于多目标决策模型的研究报告，这是这门学科开始大发展的 一个转折点。1 9 7 5 年，m z e l e n y 写出了第一本关于多目标最优化问题的论文 集。现今，多目标决策不仅在理论上取得很多重要成果，一套平行于单目标 最优化的理论正在形成和日趋完善，而且在应用上其范围也越来越广泛。在 我国，多目标决策问题的研究是从七十年代后期开始的，并且研究的人越来越 多，目前我国在多目标决策问题的研究正在向世界先进水平发展 5 - 7 。 目前，多目标决策问题的研究方向主要有四个方向： 1 多目标决策的有关解的概念及其性质。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 2 关于多目标决策的算法，这也是当今关于多目标决策问题的研究主流方 向。 3 关于多目标决策的对偶问题。 4 不可微多目标决策的研究，如今已发展成为一门独立学科凸分 析峨。 近年来，我国在多目标决策问题的研究上，上述的四个方向均有涉足， 但关于多目标决策的算法成为当今研究的主流方向，而算法的种类可谓层出 不穷，在这里我们将介绍近年出现的四种新方法，这四种方法被引用次数多， 涉及的知识面广，且这四种方法各有特色，方法迥异，可以说是当今多目标优 化决策算法方面的一个浓缩。 0 1 1 加权偏差平方和最小化方法 2 0 0 2 年，宋光兴，邹平在 “”中提出了加 权偏差平方和最小化方法： 现在考虑这样的多属性群决策问题：现有s 个决策者对m 个方案进行决 策，记第i 个决策者为q ，设d 1 ，d 2 ，皿的权重分别为m ，m ，嵋，且满足 了忱。1 舟 决策矩阵为 p 一 丘1 ，k ，k 吃l 嘞 1 2 ，埘 其中白为第f 个决策者对第j 个方案的决策值。 这种方法的基本思想是：若为方案4 在群排序中的排序值( f 一1 ，2 ，胁) 则“。与各决策者对4 的排序号的偏差总和越小越好，即尽量兼顾每个决策者 的排序结果，它是已知和m 求“；的问题。该方法由两个步骤构成： 步骤i 在加权偏差平方和最小的意义下，建立优化模型： mj 2 m i n z 一m ( 蚝一) 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 并求出最优解为：q 荟m 0 1 1 ，2 ，肼) 步骤2 按q ( ft 1 2 ，朋) 的大小对4 进行排序，u ；越小，则4 的序位越靠前。 如果有心。h ，( f 一，) ，则计算方差砰- 主j 毫( 珞一蚱) 2 ( f f ，) ，若砰t 盯，2 则4 排在4 前面：若砰，盯；，则4 排在4 后面，即方差越小越靠前。 由于方案的排序与属性的权重密切相关，所以在解决多属性决策问题之 前，如何确定权重问题是很重要的。因此出现了很多种赋权方法，大致分为 主观赋权法“”和客观赋权法“”，客观赋权法是利用客观信息( 属性值) 而赋 权的一类方法，该类方法不含人的主观因素。主观赋权法是由决策者根据自己 的经验及对各属性的主观重视程度而赋权的一类方法。目前将主客观信息综 合集成形成的新方法o ”1 ，是学术界的一个新课题，并取得了一些初步的研 究成果，这种集成方法可推广应用到更一般的情况，若某些方法之间可以找 到结合点并体现一定的优越性，弥补其中某一种方法存在的不足，那么把这 些方法集成将是我们所期望的，当前方法集成已有了一些进展“”，包括各 学科之间方法集成的研究也有一定的进展o “。下面的0 1 - 2 - - - - - 0 1 3 介绍二 种求权重的集成法： 0 1 2 线性加权法和灰色关联分析法的集成法 一般在未知权重的情况下，关联系数法是利用平均系数法来代替各属性 权重的2 1 。关联系数法较好的利用了各方案给出的信息值，但是一般都没有 很好利用各属性的权重值，只是用平均系数来代替。目前，多属性决策中线 性加权法被广泛应用，线性加权法是对主观上给出的属性权重值进行处理，做 出的决策值反映了决策者的主观判断，但是缺乏一定的客观性与可靠性：为 了较好的利用这两种方法的优点，避免其缺点，闰书丽，肖新平针对权重已 知的一般线性加权法和权重未知的关联系数法，通过建立偏差最小化的优化 模型将两种方法集成，作者在用线性加权法求出的决策值及采用各方案对理 想方案关联度的基础上，利用偏差最小化原理建立一种综合优化决策模型， 使对所有指标而言，各方案的决策值距线性加权法的决策值偏差最小，同时 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 使之与理想方案的关联度的偏差也最小。这样就把这两种方法有效结合起来， 使之求出更优的权重值来进行决策】。详见文献 2 3 0 1 3 最小偏差指标赋权方法 2 0 0 2 年，徐泽水，达庆利在文献 2 4 中给出了一种结合主、客观权重信 息的线性目标规划组合赋权方法，任全。李为民则从偏差最小的角度出发， 对文献 2 4 进行了改进，提出了一种最小偏差指标赋权方法啮1 ： 设x 一 毛，屯，以) 为多属性决策问题的方案集，- 协，2 ，l ) 为属 性集。对于方案石，x ，按第f 个属性进行测度，得到_ 关于的属性值4 口 从而构成决策矩阵4 - ( l 。为假设决策矩阵经规范化处理后随，得到规 范_ 化矩阵r 一( 吩) ，。，w 一 w 1 ，m ，) 为属性的权重向量，其中 咿0 善m 。1 令m 一札2 ，m ) ，n - 1 , 2 ，雄) 。方案x ，的综合属性值与属性权重的关 系为 z j 。善m ， ( 1 ) 其中m 是第i 个属性，f 的权重。 通常，确定属性权重的方法主要有主观法和客观法两大类。对于某一多 属性决策问题，设决策者运用了1 种主观法和g f 种客观法对属性进行赋权， 并分别给出了下列属性权重向量： u k 一( “u k ：，) 7 ，k - 1 , 2 , ，l ( 2 ) 唯一( 唯。，u ：，) r , k l + l t + 2 ，g ( 3 ) 其中，( 2 ) 式为，种主观赋权法所给出的属性权重向量，( 3 ) 式为q f 种客观 赋权法所给出的属性权重向量。考虑到为了既照顾到决策者的主观偏好，又 做到决策的客观真实性，达到主观与客观的统一，合理的属性权重向量 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 w - w , ，w 2 ，) 的获取，应使其相应的决策与主、客观赋权下的决策结果的总偏差最小，为 此引入了偏差函数： m 2 t ) 一h ( m 一) 】，k - 1 ，2 ，z ；i e m ；j e n m 2 9 1 沁) 一 勺( m 一) 】，k k + l , k + 2 ，q 一以i e m ；j e n 并构造如下单目标优化模型： 痂n ，2 荟善九帆) + 毫善 g j 以) s t艺m j e n ( 4 ) 其中丑 1 1 , 2 , ，q ) 表示f 个主观赋权法与g f 个客观赋权法的给定权系 数，作归一化处理亨九- 1 。 髓 文献 2 5 中构造了l a g r a n g e 函数，根据极值存在的必要条件( 各分量偏 导为o ) ，通过克莱姆法则求得上模型的解。并且得到模型( 4 ) 的解是唯一 的，最后给出各方案的综合属性值为： ( z 1 , z 2 ，乙r r 7x w o 1 4 基于相离度和可能度的多目标决策方法 对于属性权重信息完全未知、主观偏好值和属性值均以区间数这种不确 定形式给出的多属性决策问题，到2 0 0 2 年前为止尚未见报道。针对此类问题， 徐泽水在2 0 0 2 年提出了相离度的概念，并且提出了一种基于相离度的求解属 性权重公式，并利用区间数比较的可能度，对决策方案进行排序啪1 该决策 方法把所有已知的模糊客观信息。州和主观偏好值统一于一个简洁的算式， 并利用区间数比较的可能度，对决策方案进行排序，且概念清晰、含义明确、 便于计算机或计算器上实现。限于篇幅，现仅介绍相离度概念啪1 ： 定义设区间数口一矿，矿1 ，b f 矿，b ”1 ，令范数陋一b l i - l b 一口l + 旧”一”i ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 称d ( 4 ，b ) - i l a 一刎为区间数口，6 相离度。 显然，相离度是衡量相似的程度，o ( a ，b ) 越小，则区间数4 ，6 相似的程 度越大。特别地，当d ( 4 ，b ) 一0 时，有口- b ，即区间数4 ，b 相等。 总之，多指标决策算法问题的研究方法是今关于多目标决策问题的研究 主流方向。但是，由于多指标决策问题自身的特点和人类对客观世界认识的 局限性决定了没有一种绝对完美的算法，所以这方面大有文章可做1 0 2 本文的思想及技术路线和已做工作 在张吉军的权重为区间数的多指标决策问题的逼近理想点法这篇文 章中，他通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的最优解和最 劣解，并用靠近正理想解和远离负理想解的程度，通过计算每个方案到理想 方案的相对接近度来对方案进行排序，该方法简单实用，所需信息少，这是这 篇文章的可取之处。但是按照文中算法不能很好的解决本文中提出的一类问 题。本文通过实例分析了文中的距离，并对“距离”加以改进，同时也改进 了这篇文章中的接近度，使其更加简化易算，而且还从二个角度给出了解释 说明，提出了中心逼近理想点法。本文也用一节实例分析去验证中心逼近理 想点法这种算法的可取之处。同时本文也考虑到这篇文章中正负理想方案以 及置方案所对应的图形均为弹维欧氏空间的“超实长方体”，因此把方案二二 之间的距离也应概括成一个范围更符合实际，即用一个区间数来刻画。正是基 于此种想法，提出了另一种改进方法一基于线形加权模型的理想点集成法 嘲。在上述二种改进方法中，我们均采取了正负理想点法，这些方法共同点是 构造了正负理想点，但是均未考虑偏差，而偏差的重要性不言而寓。同时这 些方法也未考虑权重，因此本文从偏差平方和最小这个角度出发，给出基于 线性加权偏差平方和最小的理想点法。最后本文从分析侯宏峰，刘三阳，李益 群的对方案有偏好的基于期望值的多属性决策法“1 这篇文章中“期望值” 的实质出发，通过实例分析指出了该文中排序不能解决的一类问题，给出了 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 ? 基于期望值的理想点法的改进，使得该方法运用范围更加广泛。当然， 这些仅仅是初步探讨，有待进一步研究。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 第1 章预备知识及经典的多目标决策理论 多目标最优化问题的解法有许多种，从大的方面可以分为四大类： 1 转化成一个单目标问题的解法。 2 转化成多个单目标问题的解法。 3 非统一模型的解法。 4 直接解法。 但是目前在各种文献中引用的较多的还是前二类解法，面这二类方法里 面又蕴涵许多具体的方法，例如：对于转化成一个单目标问题的解法，有主要 目标法，线性加权法，极大极小法，安全法，评价函数法和理想点法等等。对于 转化成多个单目标问题的解法，又有分层排序法，重点目标法，分组排序法，中 心法，可行方向法和交互规划法等等。在本章中介绍一些最基本的方法“1 川。 1 。1 转化成一个单目标问题的解法 所谓转化成一个单目标问题的解法是指：首先，设法将原多目标规划( 阡) 转成一个单目标规划：然后，再利用非线性规划的有关算法求解此单目标规划， 并把求得的解作为( v p ) 的最优解。该方法的关键是，要保证所构成的单目标 规划的最优解是( v p ) 的有效解或弱有效解。 1 1 1 主要目标法 主要目标法的基本思想是：在多目标问题中，根据问题的实际情况，确定 一个目标为主要目标，而把其余目标作为次要目标，并且根据决策者的经验， 选取一定的界限值，这样就可以把次要目标作为约束来处理，于是就将原多目 标问题转成一个在新的约束下，求主要目标的单目标最优化问题。 我们不妨假设正( x ) 为主要目标，而其余p 一1 个目标有一组允许的界限值 4 ，即希望满足要求：，( z ) 4 ，( j - 2 ，3 ，p ) 这样就可将转化成 ( s p ) 吧磬uu ( z ) - ，- ( x ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 其中袁一如冠，j o ) 薯口，- 2 , 3 , ，p ，它是在原多目标问题( 阡) 的约 束集合的基础上，再加上p 一1 个限制条件 ( 工) 量4 ，( ，- 2 , 3 , ，p ) 所构成的 新约束集合。 ( s p ) 显然是一个单目标问题，利用非线性规划( 特殊情形为线性) 的解 法求其最优解，并把它作为( v p ) 的最优解。 主要目标法简单易行，它保证在次要目标允许取值的条件下，求出主要目 标尽可能好的值，因此对实际问题常常很适用。 1 1 2 线性加权和法 所谓线性加权和法就是按照p 个目标仁) ( ，- 1 , 2 , - - - , p ) 的重要程度， 分别乘以一组权系数九( ，- 1 , 2 ，p ) ，然后相加作为目标函数，再对此目标 函数在( 阡) 的约束集合斤上求最优解。即构造如下的单目标问题 ( 即) - 卿u u ( t ) 。薹- 乃( z ) “m ) 求此单目标的最优解，并把它叫做( 阡) 在线性加权和意义下的最优解。 1 1 3 极大极小法 人们经常遇到这样的问题：在最不利的条件下，如何求得最有利的策略。 如何把最大的目标值变成越小越好。为此，对每个x r ，我们先求诸目标值 ，b ) 的最大值，然后再求这些最大值中的最小值，这就是所谓极大极小法的 基本思想。 我们构造如下的单目标规划有时也给每个配上权系数，即考虑如下的单 目标问题 西南交通大学硕士研究生学位论文第10 页 m 。i - n u ul 、 工) 。黪惦( 石h 有时也给每个b ) 配上权系数，即考虑 ( 只) 咄n u u ( z ) 。嬲n 乃( z ) ) 其中护( ，九，) 廷 + 然后再求出( 只) 的最优解，并把它叫做 ( p ；p ) 在极大极小意义下的最优解。 前面介绍的各种方法都涉及到权系数，它是直接反映目标函数重要程度 的。一般说来，目标函数重要的，相应的权系数就要给得大些；而不是很重 要的目标函数，其相应的权系数就要给得小些。确定权系数方法有a 一方法， 排序法，老手法等等。 1 2 转化成多个单目标问题的解法 所谓转化成多个单目标问题的解法，顾名思义，就是设法将原多目标问 题( 1 p ) 在各种意义下，转化成有一定次序的多个目标问题。然后分别求解 这些单目标问题，并把最后一个单目标问题的最优解就作为( p p ) 的最优解。 1 2 1 分层排序法 将目标函数按其重要程度排成一个次序，然后分别在前一个目标函数最 优解的基础上，求后一个目标函数的最优解，并把最后一个目标函数的最优 解就作为( 阡) 的最优解。 我们不妨假设目标函数按其重要程度排成的次序为 ，( 石) ，：( x ) ，。( 工) 现考虑不带宽容的分层排序法： 先求第一个目标函数 0 ) 在r 上的最优值，即 ( p 1 )r a 。i 。n ，1 ( x ) - ，l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 并记其最优解集为i ，则鬲一仁r i o ) = ) 。再在鬲上求第二个目 标函数，2 ) 的最优值，即 。 ( 尸” r a 。i n 。，z ( 工) - ，： 并记其最优解集为瓦，则 一r2 - x 可i ，：( z ) - f 2 ) - x ri ，小) 一，j ，j - 1 ，2 ) 依此继续下去，在第p 一1 个目标函数的最优解集石上求第p 个目标函数的 最优值，即 ( p ，) m ，。l u , ，( x ) i ，； 并记其最优解集为可，则 一r p 一 x r p - 1 if p ( x ) - ) x er i ，( x ) 一，j ，一1 ，2 ，p 不带宽容的分层排序法的缺点是：当某个问题( 弓) 的最优解唯一或 弓1 时，那么再求( 弓+ 。) 的最优解已无意义。特别是( 只) 当的最优解唯一 或i - 驴时，更是如此。为了克服这一缺点，我们给出所谓宽容意义下的分层 排序法，这种方法是用目标函数的允许误差( 即宽容值) 来扩充最优解的范 围，在此不作详细介绍。 1 2 2 重点目标法 重点目标法的基本思想是：如果在p 个目标中，有一个目标，例如 o ) 是 起关键作用的头等重要目标，而其余p 一1 个目标的重要程度难以分清，那么 这时可先在r 上求 o ) 的最优解，然后再在 o ) 的最优解集上求其余p - 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 个目标构成的新多目标j 司题的有效解或弱有效解，并把它作为原多目标问题 的最优解。，具体做法如下： 先求( 日) 鼍留 o ) _ f 的最优解x 1 ，并记最优解集为r ，则 足一扛r i ) 五) 再求新多目标规划 ( 卿，o ) 一( ，2 扛) ，兀b ) ，b ) ) 7 的有效解或弱有效解。为此，可利用1 1 介绍的方法求之。 1 2 3分组排序法 分组排序法的基本思想是：把( 阡) 的目标函数分成若干个组，使得每组 中的目标函数其重要程度差不多，或实际要求类似；然后将各组按其重要程 度排序；最后再在前一组最优解的基础上求后一组的最优解就作为( v p ) 的最 优解。由于每组都是( p p ) 的子多目标规划，因此在求它们的最优解时，仍需 转化成单目标问题。因此分组排序法是分层排序法和重点目标法的推广。在 此不作详细介绍。 1 2 4 中心法 中心法的基本思想是：开始时任取一个初始可行解x e r ，通过x 构造 一个单目标问题，并求其最优解。假设得到而，若而是( p p ) 的最优解，则算 法停止：否则，再通过墨构造另一系列单目标问题，并求其最优解，假设得到 屯，若恐是( 阡) 的最优解，便可求出一个最优解序列a 最后求的极限，并把 这个极限就作为的最优解。则算法停止；否则，继续下去。这样通过构造一 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 系列单目标问题，便可求出一个最优解序列似) ，最后求饥) 的极限，并把 这个极限就作为( 阡) 的最优解。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 第2 章经典理想点法及近年出现的新方法 理想点法既是一种传统的方法，又是一种近年来新兴的方法。说它传统 是因为理想点法是随多目标决策理论的产生而产生，且已经有了相对成熟的 方法体系。说它是近年来新兴的方法，是因为近年来，各种新的改进的方法不 断的见诸各类报刊杂志中：如本章中介绍的基于理想点的主客观赋权法，理想 点贴近度法，逼近理想点法，又如也有学者把关联系数法和理想点法结合起 来，创立关联理想点法等等。本章介绍经典理想点法及近年出现的若干新方 法。 2 1 理想点法 1 基本思想 对于多目标问题( 阡) ，如果决策者先能够对每个目标一o ) 给出一个目 的值f ( 或叫目标值) ，使其满足 量曾 o ) ，一1 2 ，p 则称，一( ，丘) 7 为理想点。特别地，如能求出 一啦h c x ) ，- 1 ，2 ，p 则称f 为最理想的点。理想点和最理想点有时也统称理想点a 当己知理想点，j 时，我们在目标空间r 中，适当地引进某种模| 1 | | ，并考 虑在这个模的意义下，目标函数，o ) 与，之间的最小“距离”，即考虑单目 标问题： 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 嘧u ( 小一8 ，g ) 一，9 也即在( 阡) 的约束集合尺上，寻求目标函数与理想点之间的“距离”尽可能 小的解。正因为如此，我们把这种方法叫理想点法。 当我们给模| | 1 | 赋予不同的意义时，便可得到不同的理想点法。当然，模 0 0 的取法也并非随意的，一般要根据问题的实际背景或几何意义来构造。下 面介绍几种常见的理想点法。 2 最短距离理想点法 这种方法是将j | | | 取做r 中的| i | | ：，即构造如下的单目标问题： ( 最) 嘧蚺脚_ ，| 1 2 = 丽 然后再利用非线性规划的某种算法求出( 最) 的最优解，并把它叫做( 泞) 在最 短距离意义下的最优解。 最短距离法中的单目标问题( 昱) 有时取成 ( 只) 卿u ( 州删一，一舢 ) 叫一 其中q 为大于1 的整数。显然口- 2 时( 弓) 就变成( 最) 。 在( 最) 中还可以加上权系数，即 嘧u ( 石) 一( 耋t 叫悖 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 其中a + 。 3 平方加权和理想点法 该方法所构造的单目标规划为 ( 剐卿u ( x ) 一茎l ( ) 何) 2 我们把( 只) 的最优解就叫做( p ? ) 在平方加权和意义下的最优解。 平方加权和法来自通常的“自报公议”原则。那些强调目标 ) 重要的 人，预先给出最优值嘧 0 ) 的一个尽可能好的目的值f ( 自报) ，然后进 行评论( 公议) ，给出一组表示个目标五o ) 重要程度的权系数，一般要求 o ) 越重要，相应的九就越大。自报可以体现各自的愿望，公议则可消除在 自报过程中的个人偏见。这就是我们为什么考虑单目标规划( 只) 的原因。当 然我们也需要说明这种最优解与( 班) 的解之关系。 4 带权极大模理想点法 所谓带权极大模法是指：将| | | | 取作 茗) 一，卜器 - 阮o ) 吖1 ) 其中a 。即构造单目标规划 曾u ( 小搿协g ) 叫 并把( 乏) 的最优解就叫做( p p ) 在带权极大模意义下的最优解。 西南交通大学硕士研究生学位论文第17 页 在本节中，公式( 最) ，( 乞) ，( 乏) 的引入，它分别来源于泛函分析这门科目 中的：空间、z 。空间、f 。空间的模。多目标决策与泛函分析是二门联系非常 密切的学科，若引入上述空间的模，这无疑对运用泛函分析这个工具来对多目 标决策的理论分析会带来很大方便的。 2 2 基于理想点的主客观赋权法 对于多属性决策问题，无论采取什么分析方法，大多需要事先确定各属性 ( 指标) 的权重。关于权重的确定方法，耳前主要有客观赋权法和主观赋权法。 客观赋权法是利用客观信息( 属性值) 而赋权的一类方法，该类方法不含人的 主观因素。主观赋权法是由决策者根据自己的经验及对各属性的主观重视程 度而赋权的一类方法。由于主观赋权法客观性较差，而由客观赋权法所确定的 属性权重有时与属性的实际重要性程度相悖，于是人们又提出了综合主、客观 赋权法的组合赋权法，如最佳协调赋权法，主客观赋权法洲。而许叶军提 出了基于理想点的多属性决策主客观赋权法“，其目的使确定的属性权重同 时反映主客观程度。步骤如下： 设目标决策问题有豇个目标g i ，g 2 ，q 和小个决策方案4 ，4 ，4 ，方 案4 f ( ，- 1 2 ，所) 在目标g l ( i - 1 2 ， ) 下的属性值为，则决策矩阵为 爿一h ) ，记m 一( 1 ，2 ，小) ，= ( 1 2 ，以) 。通常，属性类型一般有效益型、 成本型、定型及区间型等之分。并且不同属性的“量纲”可能不同，为了消除 不同量纲对决策结果的影响，将决策矩阵规范化陆1 为r k ) m x # 记由主赋权法得( 由决策者直接给出) 的属性权重向量为： w t 一( 嵋，畦，以y ，e - 1 ，o s l 1 ； 由客观赋权法得出的属性权重向量为： i ( 嵋，以，以厂，( 薹一- 1 ，。量qs ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第18 页 记口，芦分别表示w 和w 的重要程度( 待求) ，考虑到要将主观权重向量 与客观权重向量进综合，则令t v - 口+ p w ，这就是主客观综合赋权法确定的 权重为了分析方便，设c i ，s 满足单位化约束条件a 2 + 声2 - 1 。 定义1对于决策矩阵凡，各个指标的正理想属性值为 一一m a x r i j ( i - 1 , 2 ，m ) ) 它的各个属性的值都达到各个方案中最好的值。 定义2 对于决策矩阵各个指标的负理想属性值为 一一- n i n 勺( f 一1 ，2 ，m ) ) 它的各个属性的值都达到各个方案中最差的值。 显然，在实际方案集中，理想解一般是不存在的，但是考虑到：在方案集中 某个实际解与理想解越靠近，这个解应当是方案集中越好的解，同样的，某个 实际解与负理想解越远，这个解也应当是方案集中越好的解，因此定义点吩到 负理想点，i 的偏离程度为( 以下我们仅讨论负理想点) ： ，j - 妻( 一，) 考虑到偏好对方案选择的影响，定义加权的偏离程度为( 评价目标值) ： s j 一套一( 。一一) 因此，如果某一方案距离负理想点越远，目标值就越大。为此，构造如下 多目标最优化模型 m a x s 。- ( 町，写，) 显然，这是一个目标决策规划问题。由于各个方案之间是公平竞争，不存 在任何偏好关系，因此对上述多目标规划模型可用等权的线性权和法综合成 如下等价的单目标最优化模型： m a x z 一一町一4 了- 4 ( 琦一可) - 嵋十芦嵋)o q 、qi、|1f s , t球2 + 夕2 - 1a o ，3 0 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 解此模型，可以得? 卢- 主客观综合赋权法确定的权重根据w 一口+ p w 。便可求出。 2 3 理想点贴近度法 1 9 9 5 年，f e n g j ig a o 和w e n y i n gz 研究了指标权重不能完全确知但知其 所在区间的多目标决策问题，它可将指标权重不能完全确知和指标权重完 全确知二类决策变为它的特例。而他们在2 0 0 1 年对自己提出的问题又做出进 一步研究，给出了理想点贴近度法m 1 ： 现讨论的权重为区间数的多指标决策问题为：设有坍个可行方案 墨，x 2 ，瓦， 个评价指标互，2 ，e ，假设其权重w j 不能完全确定，但却 w i e c 1 ，d 门，( ，- 1 2 ，甩) 其中o c - d j 1 且w l + + + 一1 由于。，s ms d 而且m + + + 一1 所以。，d ，必须满足 ( d 。+ d ：+ + 以) 一m i nd j c ，；1 ，s ，1 ) 之1 ( c i + c ：+ + c j ) + 瑚x d j c ，；1 ，s ，l 量1 否则，就存在某个【q ，以】，对任意的 勺，d 】( 1 sj i 行，j 一七) ，都 不满足w 1 + w 2 + + 一1 。因此，我们称上述条件的权重区间为可行权重区 间。在决策的过程中，进行权重区间估计时，应当检查所估计的区间是否可 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 行，若不可行，则应对估计的权重区间进行修正。 显然。若对所有的j ( j - l 2 , 忍) 都有。j - d j 时，上述问题就是指标权重 信息完全确知的多指标决策问题；若对所有的j ( j - l 2 , 刀) ，都有 。，- o ，d j - 1 ，则上述问题就是指标权重信息完全不知的多指标决策问题。 在决策中，设方案而在第，个指标下的指标值为，决策矩阵为 a 一( ) 决策矩阵4 经过规范化处理瞄1 后，得到规范化决策矩阵占一魄k 。，其中 o s 墨1o l 2 ，m ；j - 1 , 2 , ) 。 设决策的理想方案为x 一暇，e ，) 7 ，其中 6 ；一m a x 岛( 1 量is m ；j 1 ，2 ，露) ， 显然，置越接近工越优，即 日荟_ p 一) 越小越优，所以 _ 1 一再m ( 6 。一6 f ) 越大，方案五越接近最优解。因此称为方案五与理想x 的贴近度，并且根 据大小可以对方案进行优劣排序。 为此，建立如下的多指标决策模型 m i 丑 h 。( w ) ，h 2 ( w ) ，日。( w ) 其中，m + w 2 + + k - - i 假设每个方案鼍都是非劣的( 对于劣方案可以事先删除) ，决策者对各方 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 案不存在任何偏好关系。因此，可将上述多指标决策问题等权重结成目标函 数为： g 一薯扣( w ) 一多! r n 多j - 葛m ”) 。荟_ 荟( 6 + 一) 。再p 一瓦) 的极小化线性规划问题，其中e 2 善，_ 1 ，2 ，尼 即求解线性规划 m i n g 一艺何一e ) 叶 盛亡 w l + w 24 - - + m - 1 c j w j 主d j 求解此线性规划可用单纯形法求出解w 一( 嵋，以，试) r ，高峰记在文中 给出了另一种解法，此法比单纯形法更简单，在此不作介绍。 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 第3 章理想点法的若干改进方法 本章是本文的核心部分，分为6 节来讨论，分别讨论了逼近理想点法， 中心逼近理想点法，实例分析，基于线性加权模型的理想点集成法，基于