（计算数学专业论文）非线性微分方程的间断有限元法.pdf

非线性微分方程的间断有限元法 o 1中文摘要 近年来，间断有限元是个很热门的课题本文介绍了间断有限 元的分类及格式，重点讨论了非线性常微分方程和拟线性双曲方程 的间断有限元方法 对于非线性常微分方程初值问题偶次k 0 次间断有限元，我们 在单元上构造新的局部化离散g r e e n 函数，利用单元上l e g e n d r e 正交 展开构造比较函数，再利用对偶论证和连续性方法，证明了节点上 流通量巧= ( 盯+ 时) 2 有高阶超收敛性o ( 。z ) 数值实验证实了 这个强超收敛性，误差图还表明单元内部还存在超收敛点此外， 我们对单元内部超收敛点的个数也进行了探讨 拟线性双曲方程间断解问题是一个很困难的问题，大多数的研 究采用差分法而我们利用时空全离散间断零次有限元对r i e m a n n 问题中的稀疏波和激波进行了数值模拟，发现没有出现振荡，模拟 效果较好 关键词：间断有限元，强超收敛，稀疏波，激波 i i 湖南师范大学硕士学位论文 0 2 a b s t r a c t r e c e n t l y , r e s e r c h e sa b o u td i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r ev e r y h o t i nt h i sp a p e r w ei n t r o d u c es o m ek i n d so fd i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n t m e t h o d sa n dt h e i rf o r m u l a t i o n s e s p e c i a l y , w ef o c u so nd i s c o n t i n u o u sf i n i t e e l e m e n tm e t h o d sf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dq u a s i l i n e a r h y p e r b o l i ce q u a t i o n s w e s t u d ye v e nd e g r e e ( k 0 ) d i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o r n o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a li n i t i a lv a l u ep r o b l e m s c o n s t r u c t i n gan e wl o c a l d i s c r e t eg r e e nf u n c t i o n ，u s i n gl e g e n d r eo r t h o g o n a le x p a n s i o ni na d _ e l e m e n t t oc o n s t r u c tac o m p a r a t i v ef u n c t i o na n du s i n gd u a la r g u m e n ta n dc o n t i n u o u s m e t h o d ，w ep r o v et h a tn u m e r i c a lf l u xa tn o d e s = ( 吁+ 哼) 2h a v et h e h i g h e s to r d e rs u p e r c o n v e r g e n c eo ( h 2 + 2 1t h i sh i g h e s ts u p e r c o n v e r g e n c eo r d e r i sc o n f i r m e db yo u rn u m e r i c a le x p e r i m e n t sa n ds u p e r c o n v e r g e n c ep o i n t si n e l e m e n t sa r ea l s oo b s e r v e di no u re r r o rf i g u r e s i na d d i t i o n ，w ea l s od i s c u s st h e n u m b e ro fs u p e r c o n v e r g e n c ep o i n t si no n ee l e m e n t r e s e r c h e so nq u a s i - l i n e a rh y p e r b o l i cp r o b l e m sw i t hd i s c o n t i n u o u ss o l u - t i o na r cv e r yd i f f i c u l t ，m o s to ft h em e t h o d sa r ed i f f e r e n t i a lm e t h o d s w ea p p l y ad i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o do ft i m e - s p a c ef u l ld i s c r e t i z a t i o nt oe o m - p u t et h ep d e m a n np r o b l e m o u rn u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e r ei sn o o s c i l l a t i o na n di ts i m u l a t e sr a r e f a c t i o nw a v ea n ds h o c kw a v ew e l l k e yw o r d s ：d i s c o n t i n u o u sf i n i t ed e m e n tm e t h o d s ；u l t r a c o n v e r g e n c e ； r a r e f a c t i o nw a v e ；s h o c kw a v e 湖南师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1间断有限元研究简介 近年来广泛关注的间断有限元，早在1 9 7 3 年r e e d - h i l l 1 1 1 9 7 4 年 p l e s a n v - p a r a v i a r t 2 1 研究中子输运方程时提出自那以后，它被广 泛运用于求解常微分方程【3 】，抛物方程【4 】，椭圆方程【7 】以及双曲问 题【8 - 1 5 1 2 0 世纪8 0 年代后期和9 0 年代b c o c k b u m 和c w s h u 等结合 r u g e - k u t t a 方法和数值流通量的思想提出了l d g ( l o c a ld i s c o n t i n u o u s g a l e r k i n ) 方法，用来求解一维守恒律方程和方程组，高维守恒律方 程和方程组，并给出了部分收敛性的理论证明p 1 3 】同时f , b a s s i 和 s r e b a y 、c e b a u m a n n 和j t o d e n 分别提出了b - r 通量法【5 】和1 3 - o 通量法【6 】b c o c k b u r n 和c w s h u 1 0 ，1 5 还将间断有限元用于计算非 线性一阶双曲方程( 组) 的间断解c w s h u 1 5 近年还提出用非多项 式作基函数来逼近，如用指数函数逼近求解具有边界层的问题，三 角函数逼近求解有振荡的问题，能够保持与用多项式逼近的d g 法 一样的l 2 稳定性和误差估计，而精度更高 间断有限元法除保持了通常有限元法的优点外，还有其独特的 性质；用完全间断的多项式作基，可以更好的模拟解的剧烈改变；能 够处理复杂的区域边界和具有复杂边界条件的问题，并获得与区域 内部一致的计算精度；易于网格加密和高精度处理边界条件，实现 自适应计算；可得到任意阶精度的格式，具有很好的局部紧致性； 存在信息传递，适于并行计算等因此它被广泛应用到许多实际领 域，如气象学、天气预报、海洋学、气体动力学，湍流、石油勘探， 流体力学等1 9 9 9 年，在美国的r h o d ei s l a n d 上还召开了世界第一 届d g 法的国际会议会议论文集【1 3 l 收集了关于d g 法的综述和应 用的文章，可见d g 法是当前很热门的课题 近年来，导师陈传淼教授领导的研究集体主要做了如下有限元 研究工作： 1 k 次连续有限元解常微分方程，研究了其超收敛性具有l o b a t t o 湖南师范大学硕士学位论文 点结构，在节点上有最佳阶超收敛性o ( 舻) ，并将它用于求解线性非 线性h a m i l t o n 系统f 1 7 ，2 l 】i 自然满足能量守恒对线性系统证明这种 连续有限元是一个辛格式，而对非线性系统是高精度o ( h 2 k ) 意义下 保辛的许多长时间数值计算结果表明，其效果非常好 2 k 次间断有限元解常微分方程，研究了其超收敛性具有r a d a u 点结构，节点上左极限值有最佳阶超收敛性o ( h 2 k + 1 ) 采用时空全离 散间断有限元求解一阶双曲方程【2 2 ，一阶双曲方程组【2 3 】，运用张量 积分解思想和单元上正交展开，证明了一阶双曲方程( 组) 的丰满阶 收敛性，利用单元正交性修正技术研究了一阶双曲方程k = 1 ，2 次间 断元的超收敛性，并运用到拟线性双曲方程间断解的模拟 3 间断有限元用于求解主部带小参数的一维和二维奇异摄动问 题【2 5 ，2 6 】( 有很陡的边界层) ，得到了与小参数无关的收敛性结果，甚 至观察到了超收敛性 1 2本文的贡献 本文考虑非线性常微分方程初值问题和拟线性双曲方程的间断 有限元法，主要作了如下贡献： 1 对非线性常微分方程初值问题偶次k 0 次间断有限元，证明 了在节点上左右极限的平均值巧= ( 町+ 咐) 2 ( 流通量) 具有高阶 超收敛性0 ( 耕2 ) ，k = 0 ，2 ，4 ，线性和非线性问题的数值实验证实 了节点上的流通量的这个强超收敛性，并且发现单元内部还有超收 敛点 2 对拟线性双曲方程间断解问题，利用时空全离散间断零次有 限元对稀疏波和激波进行了数值模拟，发现没有出现振荡，模拟效 果较好 1 3本文的结构 文章其余部分组织如下： 第二章介绍间断有限元的分类及格式 第三章介绍一些准备性工作，包括l e g e n d r e 正交展开，局部化离 非线性微分方程的间断有限元法 散d e l t a 函数，离散g r e e n 函数的几个有界性估计 第四章证明了非线性常微分方程初值同题偶次间断有限元节点 上数值流通量的强超收敛性，并给出了数值实验 第五章介绍了拟线性双曲方程( 组) 及其数值研究，我们用时空 全离散间断零次有限元对其作了数值模拟 第六章给出进一步研究的问题 第二章间断有限元的分类及格式 考虑如下常微分方程初值问题 = ，( 札) ，, 4 0 ) = u o ，z 1 0 ，t 】 对区间j ：( o ，t ) 作拟一致剖分p ：o = 0 1 现 = e 其 中单元乃= 锄，+ 。) ，j = o ，1 ，2 ，n 一1 定义k 次有限元空间： s h = 口i 口r ，忱易，j 5 0 ，1 ，2 ，n 一1 ， 用任意检验函数”乘以原方程两端，并在易上分部积分得 一( u + ，m ) ) d z + u ( + 1 ) 口( + 1 ) 一( 巧) 口( ) = 0 ( 2 1 ) j i ， 在上式中，用有限元空间的近似函数以v 代替函数u ，饥而d g 法不 要求u 在节点处连续，故在一个单元上有k + 1 个自由度为此，需 要对u ( x a 和y ( ) 给出更明确的定义我们定义哼和吁分别为 u 在处的左右极限： 吁2 。u ( $ ) ，吁。粤o u ( ) 用数值流通量岛= 疗( 时，哼) 来代替( 2 1 ) 式边界点的值于是有如 下形式 ， 一( u g + ，( 叨y ) 如+ + 1 再1 一码哆= 0 j l i 根据数值流通量的取法，就有如下常用的三种d g 法： l d g 法，考虑迎风机制，取岛= 吁； , b - r 法，取岛= ( 时+ 吁) ； , b - o 法，取以= i 咐一 吁； 此外，对( 2 1 ) 式在每个节点x 1 和对应参数s j ( o ，o o ) ，定义左右 极限的加权平均值 哆= 勺吁+ ( 1 8 j ) 呀，j = o ，l ，2 ，一，亿 ( 2 2 ) 非线性微分方程的问断有限元法 m d e l f o u r 的论文f 3 j 中定义七次间断有限元u 钞在每个单元厶上 满足方程 ， 一，( 唧+ ，o ，u ) t ，) d z + u 器1 v j 一+ l q y 哆= 0 ，口s 6 ，j = 0 ，1 ，2 ，一，n 一1 oj j ( 2 3 ) 其中晖包含着前一个单元易一，的节点值吁，间断有限元就是以这 种较弱的约束联系着前一个单元的值 根据参数彤的不同选取，我们也可将间断有限元分为以下几 类 1 常用间断有限元 在( 2 2 ) 式中取勺= 1 ，哆= 吁，这就是常用的间断有限元法其 格式为 ， 一，f ( r e + f ( z ，口) 如+ 1 啄l 一吁哆= 0 ， s “，j = 0 ，1 ，2 ，n 一1 。l j 也即 ( c ，一，( z ，口) 如- i - 【1 哼= 0 j l l 这里u 是前一个单元的值，在乃上定义的u 就是以跳跃j 的 方式紧密联系着它在上一个单元一，的值昨一般地说【u j 】0 ，因 才= ”渤4 - o ) 仍是任意的( 积分号下也含才，因积分步长很小，其影 响小些) ，此跃度的大小实际上也受到了一定程度的约束，不能随意 改变对于这类间断有限元，已经有收敛和超收敛结果( 见【1 9 ，2 1 1 ) 推广到二维情形的一阶线性双曲方程( 组) 格式就是 地+ t b = 工训r = 9 z ( 蠕t 誓再- 一哼哆) 出+ 厶( “耳- 唁，一町时) 出一厶乱他+ ) d 础= 厶扣如出 也即 厶( 地+ 咖+ 揪+ u v + d z = x o f v d x d t 湖南师范大学硕士学位论文 其中j 岛= 五以，五= k ，+ 】，如= 陟，“l 】设在单元j 幻的边界1 上，外法向为n ，方程特征方向为卢，记函数u 在l 上的左右极限值为 铲( 1 ) 2 撬u c z 士s p 功 其跃度为m = “+ 一一这就是c l a e s j o h n s o n 的全离散格式，这种格 式对时空两个方向都采用迎风机制的流通量，它实际上是一种l d g 法但与舒其望等采用的l d g 法不同，他们在时间方向用r u n g e - k u t t a 方法c l a e s j o h n s o n 等用到一阶双曲方程组初边值问题时空全离散 时，证明了最佳阶收敛性估计l | u v l l r + i i t 一v lr n c h ；j l u l l ，n 他 们指出在h k “的光滑性要求下，阶数胪+ 是最佳阶 a q u a r t e r o n i 和a v a u i z 在1 9 9 7 年出版著作偏微分方程的数值解法中仍只是 综述了这些结果舒其望教授指导的博士生徐岩的博士毕业论文【1 6 】 通过半离散只能从理论上得到o ( h ) 的收敛性，在计算上观察到了 o ( h ，) 的收敛性在更高的正则性要求下，陈传淼教授用时空全间 断有限元研究了一阶双曲方程1 2 1 ，2 2 】，运用d o u g l o u s - d u p o n t - w h e e l e r 提出的张量积分解思想和他独创的单元正交性修正技术，首次得到 了一阶双曲方程的丰满阶收敛性和超收敛性估计，并推广到一阶双 曲方程组【2 3 】本文用这种间断有限元模拟r i e m a n n 问题中的稀疏波 和激波，模拟效果较好 2 一般间断有限元 。 取彤1 ，得到更一般的间断有限元格式 一z ( 踟+ ，扛，u ) ”) 如+ 喀j + ，t - - ，一哆哼= 。 由于包含了前一个单元的值耳和下一个单元的值嘻。，在n 个单元 上u 共有佗 + 1 ) 个自由度，而将有n + 1 ) + 1 个待定的未知数， 未知数多了一个为保证方程组唯一可解，m d e l f o u r 等提出了两种 计算方案现将其中之一叙述如下： 在第一个单元而上取s o = 1 ，即潆= 陌= v ( o ) 为已知初值，然 后在每个单元厶上，设已知( 于是就只剩下女个自由度) 取k 个 检验函数口= ( + l z ) ，i = 1 ，2 ，k ，这样得到k 阶方程组( 因在右 非线性微分方程的间断有限元法 端点上咯，= 0 ，故此方程组中不含噶1 项) 一z ( w + ，如，u ) ”) 矗一晖s 。4 - - - - - - o , v - - ( 巧+ 一，l = 1 2 ，七 可唯一的确定以因此也确定了c 曩。最后取”= 1 ，用正交性等式 一l j | | b ，妇+ u ：嚣一u = q 确定嘴，也就确定了下一个单元的喀 文【3 】指出，当为偶数时，取s = ；，即加权平均叼= ( 哼+ 吁) 1 2 时，数值计算发现在节点上的流通量有更高阶的超收敛性 扭( 巧) 一哆l c 俨+ 20 t l 慨2 在李灿华的硕士论文【2 4 】中，对线性情形证明了上述结论，本文用 对偶论证和连续性方法等技巧对非线性情形给出了证明 湖南师范大学硕士学位论文 第三章准备工作 3 1l 型展开 单元正交展开为陈传淼教授研究有限元超收敛性的三大基本技 巧之一1 1 8 ，1 9 ，2 1 】单元正交展开目前主要有三种展开方式： i 广型展 开( l e g e n d r e 多项式展开) 、型展开和& 型展开( r a d a u 多项式展 开) 本文主要用到了l e g e n d r e 多项式正交展开 在标准单元k = ( 一h ，h ) 上引入线性变换z = s h ，8 e = 一1 s 0 对任意缸l 2 可展开为如下正交多项式级数： “( s ) = 吩b ( s ) ，吩= u + 1 2 ) o ，l j ) ，= 0 利用分部积分，可得傅立叶系数有如下的估计： = d + 1 2 ) 7 a l y ( 绣u ，伊一( s 2 1 ) ) = d ( ) ，i j 特别地，对 = j 情形，变回到原坐标有 ， 吩= 0 + l 2 ) 九一1 d ；t ( $ ) ( 酽一d ) j d z = o ( h j ) 0 t i l j ，。耳 ， 考虑j = k + 1 ，并取固定点霉= 一h ，h ，有逐点的渐进表示 a k + l = c k + 1 矿“珑牡( 士 ) + o ( h k + 3 2 ) 0u0 + 2 ，玛， 非线挂鬣分方程的间断有限元法 其中瓯+ l 是只与k 有关的常数我们取前七十1 项部分和饥= 吩如( s ) ，则它的余项为 r = u - u k = q b ( 8 ) = 口 + l f + l ( 8 ) + 上r ( 8 ) j = k + l 由b r a m b l e - h i l b e r t 引理和反不等式有如下估计， rn 0 口j r sl ? a + 1 “1 q 一1 加0u0 “_ l 私 特别地，当k = o ，2 ，4 ，为偶数时， ，( - i - 1 ) = 士1 此余项在两端点 8 = 士1 上分别有 置j l 一联1 ) = t 。+ + 2 + 3 + = o ( h k + 1 ) ， 舛= r ( - 1 ) = 一+ l + + 2 一+ 3 + - = o ( h k + 1 ) 因此在相邻两单元玛，玛一1 的公共节点刁上左右极限之和砖+ 巧 有高一阶的精度 砖+ 巧= o ( h k + 2 ) 9 + 2 ，k j + k j 这里用到了以下高阶估计 辜：一+ i = c k 】l 一172 ) p 1 扣( 巧+ + t ) 一t ( 巧+ l + 母) ( 矿一炉) + 1 d z = 盯1 r ”珑+ t ) ( 护一h 2 ) m d t d x ；o ( h - ) 尸”f 珑+ 2 t ( t ) 陋 d z j 一1 = 0 ( h k + 2 ) i l t l0 + 2 在参考单元 - a ，1 1 上i 糍e n d r e 多项式缸( 印的零点( g a u s s 点) 如下 表： 阶数kg a u s s 点 lo 2 - 0 5 7 7 3 5 0 2 6 9 2 ，0 5 7 7 3 5 0 2 6 9 2 3 - 0 7 7 4 5 9 6 6 0 9 2 ，0 ，0 7 7 4 5 9 6 6 6 9 2 4 - 0 8 6 1 1 3 6 3 1 1 6 ，一0 3 3 9 9 8 1 0 4 3 6 ，0 3 3 9 9 8 1 0 4 3 6 ，0 8 6 1 1 3 6 3 1 1 6 1 0 湖南师范大学硕士学位论文 3 2局部化离散d e l t a 函数 在单元耳上的任意点矿，定义k 次多项式以( 而2 7 * ) ，使对任何k 次 多项式”有 ( 矗，口) = 口( z ) ，口p k 称矗( 以矿) 为局部化离散d e l t a 函数( 即只定义在单元k 中，其外 可设为0 ，显然它不是全区间连续的这与通常的定义不同通常的 d e l t a 函数如是属于舻，其支集在整个区域q ) 为在参考单元e 上研究，作代换霉= h t ，矿= h t 于是 ( 如，口) = ( 5 h ( t ，t + ) ，口( t ) ) e ：； ( r ) 记h 6 h ( t ，t ) = 锚，则钮满足 ( w ，口k = 口( 矿) ， 其中伽，e 与h 无关为构造这个函数，在参考元e 上构造 满足 k 埘= a j z j ( t ) t r i o ( 口，t u ) e = ：口( t ) ，口p k 对任意函数口在点t 作t a y l o r 展开 七 f ( t ) = t ，( t 。) 如+ 机钡( t 一矿) ，咖( s ) = ，o i k = 1 其中坟为展开系数代入上式，由移的任意性，可分别取”= 焱0 ) 得到一个k + 1 阶方程组 ( 1 ，叫) = ( 1 ，b ) 吩= ( 1 ，1 ) n 0 = l ，i = o ； i = 0 k ( 也，硼) = ( 也，岛) = o ，i = l ，2 ，k ， 非线性徽分方程的间断有限元法1 1 由正交性，对系数积分有 翰= ( 也，) = 如0 ) 也( t t * ) d t = o ，i j 时，j 岛与r 有关而对角元素可简化为 甄= ( 也= 砰) 纰。冲= 砰) t i d t # 叩= j 是与t + 无关的绝对常数因此得到一个线性方程组 0 g l o 玛1 k k oj “1 咖 8 1 ： 口t 这是一个下三角矩阵，可解出系数( 珊，n l ，如) 它们有界 i 吩j s d 最后回到原变数，可定义d e l t a 函数 矗( z ，矿) = h 一1 岛( ；) j f f i o 因此直接有以下估计 m 。a * l & l o h - 1 , i i & l l o , l 滞c , i i & l l gs c h 一忱 ( 3 1 ) 3 3离散g r e e n 函数的几个有界性估计 设k = ( 0 ，妨，在k 上构造k 次连续有限元( 离散g r e e n 函数) 满足 ( w 名+ a w 一以) f d = 0 ，w ( o ) = 0 ，( 3 2 ) j k k o o ；凤 1 2 湖南师范大学硕士学位论文 这里f 是任何k 一1 次多项式特别地可取f = 矾，用y o u n g 不等式 推出 1 1 w 。1 1 2 l ( 矗一a w ) w = d x l 彳。j 1 1 1 2 + c ( 1 1 w l l 2 + i | 以l 2 ) ， j x 一 消去右边第一项，有估计 i | 睨酽c i i w h 2 + c h 一 由( o ) = 0 及( 习= 后w = ( s ) d s ，用s c h w a r z 不等式又推出 l ( 。) i 1 2 | 1 w 硎，i i w h 2 e 胪“h 训2 代入前式，即得w 的几个有界性估计 i i i l l c h 一1 2 ，i i w l i c h l 2 ，1 w 7 ( z ) l c ( 3 3 ) 湖南师范大学硕士学位论文 第四章非线性常微分方程初值问题的强超收敛性 t 4 1引言 讨论非线性常微分方程初值问题 t ，= ，p ，t ) ，0 z e “( o ) = u o ( 4 1 ) 这里，( z ，) 适当光滑，在线性情形，( 为牡) = a c x ) u + 6 ( z ) 设对区间 i = ( o ，t ) 已作拟一致剖分p ：勋= 0 。1 ：e 2 = l 单 元乃= ( q ，q + 1 ) 的半步长h j = ( 奶+ 1 z j ) 1 2 ，中点而= ( 巧+ 巧+ 1 ) 2 每个单元上的0 次多项式，在区间上构成k 次间断有限元空间 驴，它们在节点上不要求连续因此可定义其左右极限为”i = 口( 巧一o ) ，口j = ”( q + o ) 一般地，其跃度= ” 一口f 0 由于单元 之间没有连续性约束，每个单元的自由度为后+ 1 对每个节点而和 对应参数彤( 0 ，o o ) ，定义左右极限加权平均值【3 】 哆= 勺吁+ ( 1 一句) 哼，j = 0 ，1 2 m ( 4 2 ) 对连续同题( 4 1 ) ，在区间易= 协，巧+ - ) 上用任何函数口乘( 4 1 ) ， 分部积分 z ( 山胞训”d x = w u ：j + l - o e “，+ 胞m 拈o ( 4 3 ) 定义k 次间断有限元u 扩，在每个单元如上满足 ( 一c 厂t ，一，( 毛u ) 口) 如+ d 茄1 t 再l 一哆t 矿= 0 ，口s h ，j = 0 ，1 ，2 ，n 一1 州 ( 4 4 ) 其中在第一个单元如上取时= w = u o 为已知初值，即时= 让( o ) 本文对s = 1 1 2 证明以下强超收敛结果 定理假设方程( 4 1 ) 的解牡h + 2 ( n 对偶数k = o ，2 ，4 ，次间断有 限元u ，耷节点上的平均值谚= ( 吁+ 哆) 1 2 有强超收敛估计 l u ( 巧) 一巧jsg ( 钍) 俨+ 2 “ ( 4 5 ) 1 4 湖南师范大学硕士学位论文 这是目前所知的间断有限元法中最高阶的超收敛结果 4 2定理的证明 对连续函数钍有矿= 牡一，故q = u j 记误差e = 让一阢e ；= ( t 一u ) ；，= 0 ( 4 ，3 ) 中取口s h ，与( 4 4 ) 相减，误差e 满足关系 ( - e v ，一，( z ，t 扣+ ，o ，u ) 口) b + ( 矿，口一) ，+ l 一( e s ，v + ) j = 0 ，t ，s h ( 4 6 ) 对线性情形f ( u ) 一f ( u ) = 上式是正交关系 e ( 一t ，一a v ) d x + ( 矿，口一b + 1 一( 矿，口+ ) j = 0 ， 驴 ( 4 7 ) j l 展开非线性项( 见【2 0 】) 一 ，e ，( ) 一f ( v ) = f ( u w ) d w = ，( 札) e r ( e ) ，r ( e ) = ，( 一w ) w d w = o ( e 2 ) j oj o 设u 已给，记a ( x ) = ，( 让) ，可定义双线型 b i ( w ，v ) = 上”( - v - a v ) d z + ( w s , v - ) i + 1 - - j 方程( 4 6 ) 可写为 岛( e ，”) 三z e ( 一矿一鲫) d z + ( e l ，t ，一b + ，一( e s v + ) j 2 一五r ( e ) ”面，”驴 【4 8 ) 为使用对偶论证( 见【1 9 ，2 1 1 ) ，作辅助共轭问题 矿+ a g = 0 ，z x n ，g ) = 它的解对任何整数m 有正则性估计j i g l l 。叫| 或f 秒引c l e ! 1 ，m = 1 ，2 ，3 ， 一方面，因喀= o ，g 连续，直接有 ，= b ( e 劫= 上e ( 一g ，一n 刍如+ ( e 。9 ) i + 1 - - p 办，= ( d g k = i 1 2 非线性微分方程的闷断有限元法 1 5 另一方面，取t ，s t , 是g 的某逼近，记r = g 一口，由( 4 8 ) 可改写为 l j j = i b ( e ，身一口) + b ( e ，移) i = i b ( e ，硒一( r ( e ) ，t ，) i l b ( e ，r ) i + c l l e l l 2 m a x l v l 记间断跃度矿一e 一= m ，2 f e 一) = 【e 】，2 ( e e + ) = 一【e 】第一项 分部积分有 2 b ( e ，固三2 ，e ( - r 一口固缸+ 矽r 一) 一妒矿) j 。o j = 2 f ( e ，一n e ) 脓+ ( ，一e 一，r 一) j + 1 一( 矿一c + ，矿) j ) 。1 r 1 - - i n l = 2 f ( e ，一n e ) 肋+ ( 【e 】旷) n + ( 【e 】，矿+ 冗一) ， ( 4 9 ) j - - - o 。j j j = l 这里使用了初始条件时= 陌，即= 0 现取”是g 在单元暑上的埘定l e g e n d r e 多项式展开，有c l g i c l e i 利用正交性r = g u 上p k ，( 4 9 ) 中的e ，可换为( 缸一厶+ t “) 。，e 可 换为 i t 一厶u ，其中厶t ，厶+ 。u 分别为“的南，k + 1 次插值或展开注意 到i 砖i c h m i l g l l k + l 。及前面已证明l 时+ 巧isc h 2 i l g l l , k + 2 ，* ( 见 i 3 _ l j ) ，于是 2 1 b ( e ，r ) i c ( 1 l 一j i + l 叫f 1 + l 阻一厶训i ) l | 矗f i + 瑚x l b 】j ( i 冗二j + l 耐l + 乏二l 财+ 可1 ) sc ，1 i k + 2 7 扩1 i l + m a xl e ( x ) l c h 1 i l a l l t + 2 e ( 俨+ 2 l k 帕- i - h k + 1 m a x l e ( x ) 1 ) l e 1 因此有最高阶超收敛估计 l ( e + + e ；) 2 l = l e ：l c h 2 k + 2 | | 札i i i + 2 + c h k + 1m xl e p ) l + c l l e l l 2 ( 4 1 0 ) 构造另一个辅助共轭同题 9 ，+ a g 一一e ，9 ( 墨。) = 0 ， 它有正则性估计i l g l l t c l i e l l 这时显然有j = b ( e ，g ) = i l e l l 2 另一方 面，类似以上证明，由i i r i i c h l l g l l t ，可得 j i = i b ( e ，g 一口) + b ( e ，口) 湖南师范大学硕士学位论文 c h 2 i l u l l k + 。i l g l h + g m a x i e i ( i i + l 舛f ) + c l l e l l 2 m a x i v l c h 2 i l u l l t + 。i l e l l + g m n x l e l ( 1 霸l + l 磅i ) + o l l e l l 2 i l e l l 由嵌入估计，在l 1 ( j ) 上有i 磅isc l l g l h 1 t o ，故 n - 1 i i + i 跨i e i l g l h 易c l l g l u ，j c l l e j = t 于是得到另一个基本估计 i l e l i c m + = l l u l l j , + 2 + c m a x l k = ) l + c l l e l l 2 ，( 4 1 1 ) 为在单元上估计m a x l e l ，由等式( 4 8 ) 及已有的超收敛估计( 4 1 0 ) ， 我们有 i 五8 ( + ) 出i = i ( e s ，v - h - 一，矿) j + t7(e)”如i_fmaxlj 。( z ) i ， jll， 这里 f = c ( h 2 + 2 + h k + 1m a xi e ( z ) i + i l e l l 2 ) 设蛳伊是u 在单元k = ( 0 ，h ) 上的某插值，在左端点善= 0 有 “产u 记e = ( u u j ) 一( u u j ) = r 一目，由上式有 i f 口( + a v ) d x l if 冗( t 岛- i - 鲫) 如i + i i m a x 如( 妨l ， 取”= w 为离散g r e e n 函数，z 。为耳上任意点，矗为局部化离散 d e l t a 函数 3 3 已证l i w , i i k c h _ 1 2 ，i i 彬怯c h l 2 ，l w isc 又 l i r i i ksc h ”m a x l r ( z ) l ，我们有 l o ( x o ) l = l p ，如) i 墨g i i r i | 耳( i 亿i | 耳+ i | h ，i f 耳) + f c m a x l r ( x ) i - t - 驰+ 2 - i - o h m m a x i e ( 刮+ c l l e l l 2 利用l e l i r l + l e l ，消去右边的m a xl e ( 硎，注意m , * xl r ( 。) l g 胪+ 1 i i 让l l k + 1 ，。， 在单元k 上得到最大模估计 m a x i e 0 ) i g m a x i 兄( 功i + c 铲+ 2 + c l l e l l 2 c h + 1 - i - c l l e l l 2 ( 4 1 2 ) 非线性微分方程的间断有限元法 再回代到( 4 1 1 ) ，得到基本的估计式 i a h k + 1 + e 1 2 ( 4 1 3 ) 设此式对h 0 ，当h h o 时有 i 2 g 1 ( 4 1 4 ) 先暂设它成立，将它代入( 4 1 3 ) 式右边得 i ( 1 + 4 c c l h k + 1 ) a 1 我们看到，只要取使4 c c l 磅1 1 ，则当h 0 时，零次元每单元内有一 个超收敛点，二次元每单元内有三个超收敛点；当眈，( 牡) 0 时， 零次元单元内没有超收敛点，二次元每单元内只有两个超收敛点 而与初值无关这种内部超收敛结构的差异是很有趣的现象，但还 没有证明 非线性微分方程的间断有限元法 图4 9 ：非线性问题零次元误差图( 例3 ，) ，非线性问题二次元误差图( 例3 ) 图4 1 0 ：非线性问题零次元误差图( 倒4 ，) ，非线性问题二次元误差图( 例4 ，) 湖南师范大学硕士学位论文 第五章拟线性双曲型方程的间断有限元研究 5 1守恒律初值问题及本质困难 在上半平面仉考虑无粘b u r g e r s 方程f 2 7 ，2 9 ，3 0 l 的初值问题 地+ ( f 托) k = 0 ，( t ，z ) q + ，u ( o ，z ) = 乱o ( 功，( 一o o ，+ o 。)( 5 1 ) 考虑简单的情形f (