（计算数学专业论文）线性矩阵方程组迭代解法与收敛性研究.pdf

摘要 线性矩阵方程在图象重构，大规模特征值问题，偏微分方程边值问题以及大规模 线性动力系统模型降价问题等许多方面有着重要的应用本论文我们研究线性矩阵 方程的迭代解法以及收敛性质，包括三部分内容： 第一章，我们给出线性矩阵方程( x ) = e 的一种有效的迭代算法该算法能自 动判别矩阵方程是否相容我们证明当该方程相容时，对任意初始矩阵，在不计误 差的前提下，由算法得到的解序列最多有限步收敛到方程的解；并且证明对特殊选取 初始矩阵，算法将收敛于该方程的极小范数解类似地，我们给出求解线性矩阵方程 组的极小范数解的有限步迭代解法数值例子将检验这两种算法的有效性 第二章，我们研究对称正定矩阵方程a x = b 的全局正交残量迭代法的一些收 敛性质利用s c h u r 补和一种新定义的矩阵积，我们给出算法的误差和残量范数表达 式，并且给出它们之间的一些关系 第三章，我们给出解对称不定矩阵方程a x = b 的全局二度共轭梯度法该算法 能有效解决应用标准全局共轭梯度法时将遇到的坏的中止的问题我们证明了该算法 的全局收敛性最后我们引用h a r e l l b o e i n g 矩阵集中的几个矩阵来测试算法的有 效性 关键词：迭代方法；线性矩阵方程；极小范数解；多重线性系统；全局正交残量迭代 法；矩阵k r y l o v 子空间；对称正定；全局二度共轭梯度法；对称不定 a b s t r a c t t h el i n e a rm a t r 政e q u a t i o n sa r i s ei nm a i l ya p p l i c a t i o n s8 u c ha si m a g er e s t o r a t i o n ， l a r g ee i g e n v a l l u ep r o b l e l s ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e r n sa n dm o d e lr e d u c t i o nt e c h n i q u e 8 i nl a r g e - s c a l ed y n a m i c a ls y s t e 1 s i nt h i st h e 8 i s ，t h ei t e r a t i v em e t h o d sf o rs o l v i n gl i n e a r m a t r 政e q u a t i o na n dt h ec o n 、厂e r g e n c ep r o p e r t i e sa r es t u d i e d i tc o n t a i n st h r e ep a r t s ： i nc h a p t e r1 ，a ne m c i e n ti t e r a t i v em e t h o di sp r e s e n t e dt os o l v et h el i n e a rm a t r i 】【 e q u a t i o n ( x ) = ew i t hr e a lm a t r b ( x b yt h i si t e r a t i v em e t h o d ，t h es o l v a b i l i t y o ft h el i n e a rm a t r i ) ( e q u a t i o nc a nb ed e t e r m i n e da u t o m a t i c a l l y w h e nt h em a t r b ( e q u a t i o ni sc o n s i s t e n t ，t h e n ，f o ra i l yi n i t i a lm a t r 议，as o l u t i o nc a nb eo b t a i n e d w i t h i nf i n i t ei t e r a t i o ns t e p si nt h ea b s e n c eo fr o u n d o f fe r r o r s ，a n dt h el e a s tn o r m s o l u t i o nc a nb eo b t a i n e db yc h o o s i n gas p e c i a ll 【i n do fi n i t i a lm a t r i x w ea l s op r o p o s e a ni t e r a t i v ea l g o r i t h mt oo b t a i nt h es o l u t i o no rt h el e a s tn o r ms 0 1 u t i o no ft h ec o 璐i s t e n t m a t r i xs y s t e m t h eg i v e nn u m e r i c a le x a m p l e sd e m o 璐t r a t et h ee m c i e n c yo ft h e s et w o a l g o r i t h m s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yc o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so ft h eg l o b a lo r t h o g o n a lr e s i d u a l m e t h o d sf o rs y m m e t r i cd e f i n i t el i n e a rm a t r 波e q u a t i o na x = b u s i n gt h es c h u r c o m p l e m e n ta n dan e wm a t r i xp r o d u c t ，w ep r e s e n te x p r e s s i o n so ft h en o r mo ft h e e r r o ra n dt h er e s i d u a l w ba l s od e r i v e8 0 m eu s e f h lr e l a t i o n sb e t 、) l r e e nt h e m i nc h a p t e r3 ，w ep r e s e n tt h eg l o b a lp l a n a rc o i l ju g a t eg r a d i e n tm e t h o dt os o l v e s y m m e t r i ci n d e f i n i t el i n e a rm a t r 故e q u a t i o na x = b t h i sm e t h o dc a nc o n q u e rt h e h a r db r e a k d o w nt h a tm a yh a p p e nw h e na p p l y i n gt h es t a n d a r dg l o b a lc o i l ju g a t eg r a d i - e n tt os u c he q u a t i o n w 色p r o v et h e 百o b a lc o i e r g e n c ef o rt h i sn e wm e t h o d f i n a l l y ， n u m e r i c a l 咖p l e so nt e s tm a t r i c e sf r o mh a r 、鹏l l b o e i n gc o l l e c t i o n a r er e p o r t e dt o s h o wt h ee m c i e n c yo ft h i sn e wm e t h o d k e y w d r d s ： i t e r a t i v em e t h o d ；l i n e a rm a t r i xe q u a t i o n ；l e a s tn o r ms o l u t i o n ；m u l t i p l e l i n e a rs y s t e r 璐；g l o b a lo r t h o g o n a lr e s i d u a lm e t h o d ；m a t r i xk r y l o vs u b s p a c e ；s y m m e t r i cd e f i n i t e ；s c h u rc o m p l e m e n t ；g 1 0 b a lp l a n a rc o n j u g a t eg r a d i e n t ；s y m m e t r i ci n d e f i n i t e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期：汐，8 石：f 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解 密后适用本规定 学位论文作者签名：蒜铋军 日期：沙g 6 1 导师签名： 硝琴茛 l 日期：枷8 占 第一章 解相容线性矩阵方程( 组) 的一种有限步迭代法 1 1引言 本章我们研究求解线性矩阵方程 ) = e ，( 1 1 ) 的一种有限步迭代法，其中表示胪肌到舻x 口上的线性算子，矩阵e 舻加 线性矩阵方程如a x b = e ，a x + x a t = e ，a x + x b = e 与a x b + c x t d = e 在图象重构，大规模特征值问题，偏微分方程边值问题以及大规模线性动力系统 模型降价问题等许多方面有着重要的应用许多学者对此类矩阵方程有广泛的研究， 见文献【6 ，1 2 ，1 8 ，2 4 ，2 5 ，3 4 】及其参考文献然而，所有这些线性矩阵方程均可写成 ( 1 1 ) 式的形式例如，可定义s y l v e s t e r 算子：x _ a x + x b ，则s y l v e s t e r 方程 a x + x b = e 可写成( 1 1 ) 式 在本章中我们也研究迭代解法求解线性矩阵方程组 i 奶( x ) = 且 奶( x ) 一， ( 1 2 ) i 【群( x ) = 日 其中磁表示从舻黼到舻t 孙上的线性算子， = 1 ，2 ，r ( 1 2 ) 式的一个特殊情 况，矩阵方程对( a x b ，c x d ) = ( e ，f ) ，已有深入的研究，见文献【2 6 ，3 3 ，4 2 】及其参 考文献 关于线性矩阵方程组解的存在性与唯一性的研究已有许多很好的结果，见文献 【6 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，3 3 】这些文献中的研究方法主要是利用矩阵的广义逆，g s v d 分解与 c c d 分解例如，c h u 【6 】利用g s v d 分解得到线性矩阵方程a x b = c 的对称解 的可解性条件，m i t r a 3 3 】给出相容线性矩阵方程对( a y b ，c x d ) = ( e ，f ) 有公共 解的充分必要条件并利用相关矩阵的广义逆来表示该公共解当线性矩阵方程组不 相容时，常常考虑最小二乘极小范数解例如，a 一p l i a o 等学者在文献 2 4 ，2 5 ，2 6 】 中利用g s v d 分解与c c d 分解得到矩阵方程组a x b = c ，a y b + c y d = e 和 ( 似b ，c x d ) = ( e ，f ) 的最小二二乘极小范数解，并给出保证该解存在的充分必要条 件 利用迭代法求解线性矩阵方程组的研究可见文献【7 ，3 6 ，3 7 ，4 2 】在【3 6 ，3 7 】中， z 一y p e n g 与y 一x p e n g 应用共轭梯度法的思想研究了线性矩阵方程a x b = g 与 第一章 解相容线性矩阵方程( 组) 的种有限步迭代法 2 a x b + c y d = e 的迭代解法；在【4 2 1 中，x p s h e n g 与g l c h e n 利用类似的 思想研究了更复杂的线性矩阵方程对( a x b ，c x d ) = ( e ，f ) 的迭代解法；在【7 】中， y b d e n g z z b a i 与y h g a o 基于经典共轭梯度法的思想研究了线性矩阵方程 a x b = c 和线性矩阵方程对( a x ，x b ) = ( c ，d ) 的h e r m i t e 解的迭代解法本章我 们应用共轭梯度法的思想给出一般的线性矩阵方程( 1 1 ) 与线性矩阵方程组( 1 2 ) 的 迭代解法，这可以认为是上述结果的一般形式 本章安排如下：在第二节我们给出当线性矩阵方程( 1 1 ) 相容时的求解迭代算法， 我们证明了选取任意的初始矩阵托，在不计计算误差情况下，该算法在有限步中止， 并得到方程的一个解；并且对适当的初始矩阵，算法将收敛于极小范数解类似的 求解线性矩阵方程组( 1 2 ) 的迭代算法将在第三节中给出最后在第四节我们举三个 例子来验证算法的有效性 本章我们将使用如下一些记号：对任意m 佗阶的实矩阵x ，y 定义内积 = t r a u c e ( y t x ) ，其中y t 表示矩阵y 的转置矩阵由该内积诱导的矩阵范数 就是著名的n o b e n i u s 范数，记为i i | i f 我们记为线性算子的转置算子：满足 = ，对任意x 冗加，y 舻d ( 1 3 ) 例如若表示s y l v e s t e r 算子，则可定义为：y a t y + y b r 1 2线性矩阵方程的有限迭代解法 本节我们先给出线性矩阵方程( 1 1 ) 的迭代算法我们证明当( 1 1 ) 相容时，对任 意初始矩阵，在不计误差的情况下，由算法得到的解序列 ) 最多m n 步收敛； 并且当选取初始矩阵为= + ( 日) 时，其中h 为任意取定的矩阵，或更特殊的选取 初始矩阵为= 0 ，算法将收敛于( 1 1 ) 的极小范数解 下面，我们给出线性矩阵方程的迭代算法： 算法1 1 _ f 选取初始矩阵j 幺计算 岛= e 一( ) j r = 4 ( 风) i 七= 0 7 舅若凡= 0 ，则迭代中止且x k 就是解i 否则，若吼0 但r = 0 ，则迭代中止且( 1 1 ) 不相容j 否则，后= 尼+ 17 第一章 解相容线性矩阵方程( 组) 的一种有限步迭代法 3 彳计算 关于算法1 1 ，我们有如下性质： 引理1 1 设线性矩阵方程( 1 1 ) 相容，x + 是其一个解，则对任意的初始矩阵，由 算法j j 产生的序列 五) ， 尼 及【只) 满足以下关系： = i i 昆幅， i = o ，1 ，2 ( 1 4 ) 证明我们利用数学归纳法证明当z = 0 时。 当t = l 时， = | i 幛 = n 乩州剐+ 器胁 = + 雠 ：础+ 雠 o ) 成立，即 = i i 风慷，则当t = s + 1 时， = n ( 酬+ 雠黔 = + 雠 = 驯刍+ 獬 一雠 = i i 见+ - 幛 因此由归纳法原理可知对任意的z = o ，1 ，2 ，结论 = l i r i 刍成 立口 注1 2 由算法1 1 中_ 只) 的计算公式与引理1 1 ，我们可以看出当线性矩阵方程( 1 1 ) 相容时，见= 0 当且仅当只= 0 这说明若存在正整数七使得r = 0 ，但r 七0 ，则 线性矩阵方程( 1 1 ) 不相容因此，利刷该结论在不计误差的情况下算法1 1 可自动判 定线性矩阵方程( 1 1 ) 的相容性 引理1 3 设线性矩阵方程( 1 1 ) 相容则对任意的初始矩阵，由算法f i f 产生的序 列 r ) 与 只) 满足如下关系? = o ， = o ，任意 歹，t ，j = o ，1 ，七( 1 5 ) 让明由十对仕葸取足的矩阵a 与b ，具冈秋满足父供任，即 = 因此，我们只需证明结论对任意0 i js 尼成立我们利用归纳法并分两步证明 s t e p1 ：证明对任意i = 0 ，1 ，七一1 ，成立 = 0 与 = o 为证明该结论我们应用数学归纳法当z = 0 时， = = 玩胁一器 引砒胁 = 驯；一雠 笙二童解胡容线性矩阵方程( 组) 的一种有限步迭代法5 及 = 州+ 黼胁 = + 罐 = 糍 + 糕 = o 假设结论对任意的z s ( o s 后) 均成立，则当i = s + l 时， = = 见舻一雠 叫砒黔 = | | 驯；一器 只一器加 = 0 及 = w ) + 雠珍 = + 雠 = 雕 + 雠 = 0 由归纲法原理我们司知对任意的f = o ，1 ，七一l ，均有 = 0 与 = 0 成立 s t e p2 ：假设对任意的0 i 七，1 t 七一i ， = 0 ， ：0 我们要证明 = o ， = o = “眦p 一雠 一雠1 1 只+ 慷一。ij 见一l 慷_ 一件 第一章 解相容线性矩阵方程( 组) 的一种有限步迭代法 6 及 = = 们p + 甓黹 d 碍 o r ，m 011 研易 耳 c c c e e e ” u | | = 一 = x x x c c c e e e u 秒 u 尬尬 以 ，i_iiij(1_-_i、 第一章解相容线性矩阵方程( 组) 的一种有限步迭代法 即 由于 眦( 彳+ ( 凰) ) = ( 聊孵孵) = 1 9 ( 1 1 1 ) ) 冗c 朋7 朋哆朋乒，= r ( ( 至) t ) 口ecc叉、，r(至)丁 定理1 1 2 假设线性矩阵方程组( 1 2 ) 相容，则对任意的初始矩阵凰，由算法f 2 产 生的序列【瓦) 至多迭代m i n m 仃，0 l + 仇+ + 肼) ( g l + 口2 + + g r ) ) 步收敛 于它们的公共解进一步，若选取初始矩阵= r _ 1 + ( 马) r m n ，其中矩阵 凰 墨1 任意给定，或着更特殊地选取= o ，则由算法j 2 所得到的解x + 就是线性 矩阵方程组( 1 2 ) 的极小范数解 1 4 数值算例 本节我们给出三个例子来检验我们的算法的有效性所有的例子均在m a t l a b 6 5 环境下完成，初始矩阵的选取均为凰= o 由于系统误差这里我们认为当 i i a l i f l o - 1 0 时，矩阵a 为零矩阵 例1 1 考虑线性矩阵方程 a x b + x t = e ， ( 1 1 2 ) 毋易 毋 ，il，i c c c e e e 秒 口 秒 ，-一 皿飓 珥 ，i，i c c c e e e 廿 口 ， 第一章 解相容线性矩阵方程( 组) 的一种有限步迭代法 1 0 其中 a = e = b = 5 51 1 51 5 8 59 5 2 6 9 5 6 96 94 3 14 8 1 1 6 33 4 34 32 5 7 2 8 7 2 7 15 7 17 14 2 9 4 7 9 1 3 4 2 8 43 42 1 62 4 1 2 9 6 6 2 67 64 7 45 2 9 若定义线性算子：x _ a x b + x 丁，则上述方程就等价于( 1 1 ) 同样可定义 + ：y _ a t y b t + y t 容易验证该方程相容且只有唯一解 ，1 1 i 11 l x + = ll1 l 11 i11 111 111 111 111 111 利用算法1 1 计算虬，结果见表1 1 ，其中凰= i l e a b 一霹i i f ，甄= x + 一扎怯川虬怙从表中我们可清楚看到随着七增大，风与风均收敛到零 表1 1 ：例1 1 中的残量与误差 例1 2 求线性矩阵方程组 a x x a t = e b x b t = f 与坫o 9 殂9 n 2。川硌 5 邙1 6 m 2。州3川川州 2 7 ：5 地3 o 蝴纵娟 2 6 o加掩6 9 1坞坫抡4 2 一 一 一 2之邙。加m邙6州挖加8娟 1 3 0 击9 3 第一章 解相容线性矩阵方程( 组) 的一种有限步迭代法 1 1 的极小范数解，其中 a = e = 02 3 l8 41 4 73 5 70 2 3 101 4 7 3 7 81 2 62 3 1 8 41 4 702 3 12 7 38 4 1 4 73 7 82 3 105 0 41 4 7 3 5 7 1 2 6 2 7 3 5 0 403 5 7 02 3 18 41 4 73 5 70 肚( 篓量 ；) 容易验证该线性矩阵方程组相容但解不惟一，我们考虑求其极小范数解定义 。嘶：x _ a x x a t ，砺：x b x b t ，则该矩阵方程组等价于 i 斫( x ) = e i 奶( x ) = f 定义研：y _ a t y y a ，霹：y b t y b 应用算法1 2 ，迭代3 5 步，得到其极 小范数解： 恐5 = 相应的残量范数 0 9 4 2 5 0 9 7 9 90 9 6 5 31 0 5 1 7 0 9 1 8 10 5 4 9 2 0 9 7 9 91 0 8 6 80 9 6 7 60 9 4 1 1 1 1 6 6 91 3 4 4 6 0 9 6 5 3 0 9 6 7 6 1 1 4 4 00 9 6 5 5 0 7 8 3 41 0 5 1 9 1 0 5 1 7 0 9 4 1 1 0 9 6 5 50 8 6 5 61 0 9 6 10 6 8 0 7 0 9 1 8 11 1 6 6 90 7 8 3 41 0 9 6 11 0 7 2 30 2 8 0 3 0 5 4 9 2 1 3 4 4 6 1 0 5 1 90 6 8 0 7 0 2 8 0 30 2 1 3 3 r 措i i 刍+ i i r 兽i i 备= l i e a 墨5 + 托5 4 t i i 刍+ i i f b 托5 b r i i 刍：1 0 6 7 0 1 0 一2 5 例1 3 在本例中我们考虑问题( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) ，其系数矩阵为大规模的类似文献【7 】 中的例子，这里将我们的算法分别与c g n e ，c g n r 比较，其中c g n e ，c g n r 分别 m 加娟 5 3 k坫以也邙2 “ 1 0 6 5 4 2 ，-_ = b 叫1 o 5 一 坫1 o 站m ；8怕瑙4瑙挖；雩瑙3龇埘弱；8埘8盯川驼 5 9 177俎4之 、liij， 圭怕划叫毖 第一章 解相容线性矩阵方程( 组) 的一种有限步迭代法 1 2 表示共轭梯度法方程误差法与共轭梯度法方程残量法应用于线性矩阵方程组( 1 1 2 ) 与( 1 1 3 ) 等价的线性系统( 1 7 ) 与( 1 1 1 ) 我们使用与【7 】中类似的系数矩阵与右端项 矩阵令 与 4 = b = 3 1 一l31 13 1 52 25 2 2 131 13 2 2 52 252 25 兄仇” r m m 选择右端项矩阵e 和f 使得线性矩阵方程组( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 存在解 x 8 = i + p 伊一q f ， 其中，为单位矩阵， p = ( 1 ，2 1 2 ，3 1 3 ，m 1 m ) t r ”， q = ( m 1 m ，( m 一1 ) 1 ( m 一，1 ) t r m 即对线性矩阵方程( 1 1 2 ) ，取 e = a x s b + 越； 对线性矩阵方程组( 1 1 3 ) ，取 e = a x 8 一x 8 a r 。f = b x 8 酽。 在本例中算法中止规则如下，对算法1 1 i i e a b 一霹i i f l o 一1 0 ， 第一章 解相容线性矩阵方程( 组) 的一种有限步迭代法 1 3 对算法1 2 i i e a 兄+ 虬a t i i f + i l f b x b t f l f 1 0 一1 0 ， 对c g n e 和c g n r 6 一m z 七1 1 2 l o 一1 0 对不同的矩阵规模m ，应用算法1 1 ，c g n e 与c g n r 到线性矩阵方程( 1 1 2 ) ，应用算 法1 2 ，c g n e 与c g n r 到线性矩阵方程组( 1 1 3 ) ，我们得到一系列关于c p u 运算时 间的数值结果，分别列于表1 2 与表1 3 中 从表1 2 与表1 3 中我们能清晰地看出在测试中算法1 1 与算法1 2 较之c g n e 和c g n r 用更少的计算时间由此可见，在实践中我们的算法比c g n e 和c g n r 有 更高的计算效率 表1 2 ：解线性矩阵方程( 1 1 2 ) 的c p u 运算时间( s ) m2 03 04 05 06 0 a l g o r i t h m1 1 0 2 1 01 3 14 1 7 1 0 6 2 7 1 c g n e1 1 21 5 68 3 93 0 09 9 1 c g n r1 2 21 6 08 4 42 9 29 2 9 表1 3 ：解线性矩阵方程组( 1 1 3 ) 的c p u 运算时间( s ) m 2 03 04 05 06 0 a l g o r t h m1 2 0 0 8 0 50 5 9 61 3 22 9 45 1 6 c g n e0 5 9 45 6 l2 9 39 1 21 9 8 c g n r0 6 4 25 6 22 8 88 3 91 9 0 第二章对称正定矩阵方程a x = b 的全局正交残量迭代法的收 敛性质 2 1引言 在许多应用中，常常需要同时求解s 个具有相同系数矩阵，却有不同右端项的线 性方程组： 允( ) = 6 ( 订， i = 1 ，2 ，s ， ( 2 1 ) 其中，a 是n 礼阶实矩阵显然，( 2 1 ) 等价于 a x = b ， ( 2 2 ) 其中，矩阵b 为以6 ( 1 1 ，b ( 2 1 ，乃( s ) 为列的n s 阶实矩阵，x 为以z ( 1 1 ，z ( 2 1 z ( a ) 为列 的礼s 阶实矩阵在实际问题中，s 常常满足s n 利用分块k r ) r l o v 子空间迭代法求解此类矩阵方程已有深入的研究，例如当矩 阵a 对称正定时，o l e a r y 【3 5 】研究了分块共轭梯度法( b l - c g ) ，当矩阵a 非对称时， v i t a l 4 6 】研究了分块广义极小残量法( b 1 g m r e s ) ，更多的分块k r y l o v 子空间迭代 法可见【5 ，1 1 ，1 3 ，3 8 ，3 9 ，4 3 ，4 4 ，4 5 】所有的这些分块算法至多m s 1 步收敛，数值试 验表明分块算法比分别求解( 2 1 ) 更快更有效 k j b i l o uf 2 1 】利用全局逼近的思想，研究了全局完全正交化方法( g l f o m ) 与全 局广义极小残量法( g l - g m r e s ) 求解非对称线性矩阵方程d k s a l k u y e h 4 1 】研究 了求解对称正定线性矩阵方程的全局共轭梯度法( g l c g ) 更多的全局k r y l o v 子空 间迭代法可见【1 6 ，2 2 ，2 7 】这些文献中的数值例子表明全局k r y l o v 子空间迭代法比 分块算法收敛更快 对线性方程组的迭代方法可分成两类：极小残量迭代法( m r ) 与正交残量迭代 法( o r ) h s a d o k 【4 0 】研究了这两类迭代法残量的表达式，并给出之间的关系r b o u y o u l i 【3 】研究了对称正定线性方程组正交残量迭代法残量与误差的关系而对全 局k r y l o v 子空间迭代法，主要有：全局极小残量法( g l m r ) ，( 包括g l _ g m r e s 法及 其等价算法) ，与全局正交残量法( g 1 o r ) ，( 包括g 1 f o m 法，g l c g 法及其等价算 法) r b o u y o u l i 4 】研究了这两类算法的残量及其之间的关系本章我们将研究对称 正定线性矩阵方程全局正交残量迭代法残量与误差的关系 本章安排如下：在本节的剩余部分我们引用s c h u r 补的一些性质，如【2 1 1 定义一 种新的矩阵积在第二节中，我们先给出全局正交残量法( g l o r ) 的概要，提出全局 第二章对称正定矩阵方程a x = b 的全局正交残量迭代法的收敛性质 1 5 q r 分解，研究迭代矩阵的一些性质在第三节中，我们研究误差的表达式以及误差范 数与残量范数之间的关系 本章我们将使用如下一些记号：对任意m n 阶的实矩阵x ，y 定义内积 ( x ，y ) = t r a c e ( y t x ) ，其中y t 表示矩阵y 的转置矩阵由该内积诱导的矩阵范数就 是著名的f r o b e n i u s 范数，记为i i l k 定义加权n o b e n i u s 范数，记作i i i l 4 ，f ：对任 意阶的实矩阵x ，ii x i h f = ( x ，a x ) ，其中矩阵a 对称正定 2 1 1 预备引理 我们先介绍s c h u r 补的定义和一些重要性质设m 为2 2 分块矩阵 m = 矧， 其中子矩阵d 为方阵且非奇异则d 在m 中的s c h u r 补( 记作( m d ) ) 可定义为 ( m d ) = a b d - 1 c 类似地可定义 ( m a ) = d c a 一1 b ， 0 m fb 、) = c d b 一1a ， l mf c 、= b a c 一1 d 本章中将片j 到下列几个关于s c h u r 补的性质 命题2 1 ( m e s s o u d i 【3 1 】) 设矩阵d 非奇异，矩阵e 与a 可乘，则 苫 d ) = e b 。) 我们记： k = m = 三暑 ，= 丢 下面给出著名的s y l v e s t e r 恒等式， ab e cdf ghl 盏 ，= 三三 ，尥= 罢： 第二章对称正定矩阵方程a x = b 的全局正交残量迭代法的收敛性质1 6 命题2 2 ( m e s s o u d i 【3 1 】) 设矩阵d 与坞为非奇异方阵，则 ( k 坞) = ( 舰d ) 一( d ) ( d ) _ 1 ( 慨d ) 我们引用文献【4 】中所定义的矩阵积： 定义2 1 ( 【4 】) 设a = 陋1 ，a 2 ，a p 】形即，b = 【b 1 ，岛，蜀】舻地，其中a ， 马( t = 1 ，p ；j = 1 ，z ) 是佗s 阶实矩阵，则矩阵积a t b 为p f 阶实矩阵，定 义为： f ( a 1 ，b 1 ) ( a l ，b 2 ) ( a 1 ，岛) a t b = i a 2 ：b 1 ) ( a 2 ：b 2 ) 。：( a 2 ；马) ( 如，b ) ( a p ，b 2 ) ( 4 ，b f ) 注2 3 ( 【4 】) ( 1 ) 若s = 1 则a r b = 4 r b ； ( 2 ) 若s = 1 ，p = 1 ，f = 1 ，则a = 札舻，b = u 舻，即，a r b = 乱t u r ； ( 3 ) 矩阵a = 陋1 ，a 2 ，a 一称为f 一正交当且仅当a t a = 易； ( 4 ) 若x 舻加，则x r x = i i xj i 刍 关于矩阵积有如下有用的性质： 命题2 4 ( 【4 】) 设a ，b ，c 形x ，d r n 黼，l 舻x 口，乜r 则 以) ( a + b ) t c = a t c + b t c ； 俐a t ( b + c ) = a t b + a t c i 俐( q a ) t c = a ( a t c ) i 似，( a t b ) t = b r a i 俐( d a ) r b = a t ( d t b ) j 俐a t ( b ( lol ) ) = ( a t b ) l i f ，砂i i a t b i i f i l a l i f i i b i i f 在本文中我们令该矩阵积的运算优先级低于矩阵乘积，即a t j e 7 c 全a ? ( b c ) 命题2 5 ( 【4 】) 设a j 舯，b 冗”b ，c r 七口，d r 七x 七，e r ”煳如果矩阵 d 非奇异。则 e r ( c 三l 。三厶 c 。厶，) = ( e ? ae 誓b 。) 第二章对称正定矩阵方程a x = b 的全局正交残量迭代法的收敛性质 1 7 2 2全局正交残量迭代法 本节我们考虑对称正定线性矩阵方程( 2 2 ) 这里我们简要描述伞局正交残量迭 代法记( a ，y ) = s p a n va k ，a 七一1 y ) 为由矩阵y ，a y ，小一1 y 张成的矩阵 k r y l o v 子空间，其中y 为几s 阶矩阵设为n s 阶初始矩阵，凰，e o 分别是与 其相对应的残量与误差在第七步，南全局正交残量迭代法产生的矩阵托满足： 托一( a ，凰) ， 其残量瞰，误差上满足p e t r o v - g a l e r k i n 正交性条件： ( 2 3 ) 风= b a 尥= a bj f ( a ，凰) ， ( 2 4 ) 其中记号上f 表示由内积( ，) 诱导的正交关系由( 2 3 ) 式可得 = 岛一【风，a 风，a 肛1 凰】( no 厶) 全岛一女( o0l ) ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中毗兄，i = 1 ，七，o = 【0 1 ，0 2 ，o 七1 t ，j i c 凫= 【风，a r 0 ，a 七一1 风1 正交性条件 ( 2 4 ) 等价于 ( a 。凰，a b ) = o ，o i 尼一1 ， 将( 2 7 ) 式代入( 2 8 ) 式可得 ( 咒吾o a i c 七) 口= 庀舌风 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 由此我们可看出全局正交残量迭代法每步迭代需解线性方程组( 2 9 ) 下面，我们 研究系数矩阵瓦蚕a j i c 七的性质，应用全局g r a i n - s c h m i d t 正交化过程( 【4 】) ，有如下全 局q r