人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线获奖教案

人教A版(2019)选择性必修第一册3.2双曲线获奖教案科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）人教A版(2019)选择性必修第一册3.2双曲线获奖教案设计意图本节课以“人教A版(2019)选择性必修第一册3.2双曲线”为主题，旨在通过实际案例引入双曲线的概念，引导学生掌握双曲线的基本性质和方程，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。教学过程中，注重与课本内容的紧密结合，通过实际应用，提高学生对双曲线知识的理解和运用。核心素养目标培养学生数学抽象思维，通过双曲线的定义和性质，使学生能够理解几何图形与代数表达之间的关系。增强数学建模能力，通过双曲线在实际问题中的应用，让学生学会运用数学语言描述现实情境。提升逻辑推理能力，引导学生通过探究双曲线的几何特征，培养严密的逻辑推理过程。学情分析本节课面向高中一年级学生，这一阶段的学生正处于数学基础知识的巩固和拓展阶段。在知识层面上，学生已具备平面几何的基本概念和性质，能够理解函数和方程的基本概念。然而，对于双曲线这一较为抽象的数学对象，学生可能存在以下情况：

1.知识层次：学生对双曲线的基本概念和性质理解有限，可能难以将几何图形与代数方程联系起来，对双曲线的定义和几何特征存在模糊认识。

2.能力层次：学生在解决与双曲线相关的问题时，可能缺乏灵活运用数学工具的能力，难以将所学知识应用于实际问题。

3.素质方面：部分学生可能对数学学习缺乏兴趣，对抽象的数学概念难以产生兴趣，导致学习动力不足。

4.行为习惯：学生在课堂上可能存在注意力不集中、参与度不高的问题，对于需要动手操作或合作学习的环节可能不够积极。

-理解双曲线的定义和性质；

-建立几何图形与代数方程之间的联系；

-运用数学知识解决实际问题；

-培养学习数学的兴趣和主动性。

因此，教学设计应充分考虑学生的这些特点，通过创设情境、互动讨论、实践操作等方式，激发学生的学习兴趣，提高他们对双曲线知识的理解和应用能力。教学方法与手段1.讲授法：通过清晰的讲解，帮助学生建立双曲线的基本概念和性质，为后续学习打下坚实的基础。

2.讨论法：组织学生围绕双曲线的性质和方程进行讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。

3.实验法：利用图形软件或实物模型，让学生直观地观察双曲线的几何特征，增强学生的动手操作能力和空间想象能力。

2.多媒体设备：运用多媒体展示双曲线的图形变化，提高教学直观性和动态性。

3.教学软件：利用数学教学软件进行互动教学，如动态演示双曲线的渐近线、顶点等关键特性，增强学生的理解和记忆。

4.实物模型：结合实物模型或教具，让学生在实际操作中感受双曲线的性质，加深对抽象知识的理解。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对双曲线的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道双曲线是什么吗？它在现实生活中有哪些应用？”

展示一些关于双曲线的图片或视频片段，如卫星轨道、光学仪器等，让学生初步感受双曲线的魅力或特点。

简短介绍双曲线的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.双曲线基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解双曲线的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解双曲线的定义，包括其主要组成元素或结构，如焦点、渐近线、顶点等。

详细介绍双曲线的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解双曲线的几何特征。

3.双曲线案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解双曲线的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的双曲线案例进行分析，如双曲线在光学、工程学中的应用。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解双曲线的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用双曲线解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与双曲线相关的主题进行深入讨论，如双曲线在航空航天领域的应用。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对双曲线的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调双曲线的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括双曲线的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调双曲线在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用双曲线。

7.课后作业布置（5分钟）

目标：巩固学习效果，拓展学生的知识面。

过程：

布置课后作业：让学生查阅资料，了解双曲线在科技发展中的最新应用，并撰写一篇简短的报告。

提醒学生注意作业的完成时间和格式要求，鼓励他们在课后继续探索双曲线的相关知识。教学资源拓展1.拓展资源：

-双曲线的历史背景：介绍双曲线的发现者、历史发展以及在不同文化中的演变。

-双曲线在物理学中的应用：探讨双曲线在光学、天文学和量子物理学中的具体应用实例。

-双曲线在工程学中的应用：分析双曲线在建筑设计、桥梁工程和流体力学中的运用。

-双曲线在数学教育中的探讨：研究双曲线在数学教育中的作用，以及如何通过双曲线教学提升学生的数学思维。

2.拓展建议：

-阅读材料：《数学史上的双曲线》等书籍，了解双曲线的历史发展和数学家的研究故事。

-观看视频：推荐数学教育视频或科普节目，通过动画演示双曲线的几何特性。

-实验活动：组织学生进行简单的物理实验，如使用激光笔和镜子制作双曲线光路图。

-数学软件应用：利用数学软件（如GeoGebra、MATLAB等）进行双曲线的图形绘制和性质探究。

-数学竞赛题目：提供一些涉及双曲线的数学竞赛题目，鼓励学生挑战自我，提升解题能力。

-课外阅读：推荐阅读《数学之美》等科普读物，了解数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。

-小组合作研究：分组让学生选择一个与双曲线相关的领域进行深入研究，如双曲线在建筑中的应用，并撰写研究报告。

-数学讲座：邀请数学专家或教师进行专题讲座，分享双曲线的最新研究成果和应用案例。

-数学网站资源：指导学生访问学校图书馆或数学教育网站，获取更多双曲线相关的学习资料。典型例题讲解例题1：已知双曲线的焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，离心率为e，且e>1，求双曲线的标准方程。

解答：由双曲线的定义可知，双曲线上的任意一点到两焦点的距离之差是一个常数，即2a。因此，有2a=|PF1|-|PF2|。

又因为离心率e的定义是e=c/a，其中c是焦点到中心的距离，a是实轴的半长度。根据题目，e>1，所以c>a。

设双曲线上的任意一点为P(x,y)，则根据双曲线的定义，有：

\[|PF1|-|PF2|=2a\]

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\]

平方两边消去根号，得到：

\[(x+c)^2+y^2-(x-c)^2-y^2=4a^2\]

\[4cx=4a^2\]

\[cx=a^2\]

\[x=\frac{a^2}{c}\]

因为e=c/a，所以c=ea。将c代入上式，得到：

\[x=\frac{a^2}{ea}\]

\[x=\frac{a}{e}\]

由于e>1，a>0，所以x>0。因此，双曲线的方程为：

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]

其中，b^2=c^2-a^2。

例题2：已知双曲线的焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，离心率为e，且双曲线的实轴长为2a，求双曲线的渐近线方程。

解答：由于双曲线的渐近线是过焦点且斜率为±b/a的直线，其中b是虚轴的半长度。由离心率e的定义，有b^2=c^2-a^2。

已知实轴长为2a，即2a=2c，所以a=c。

因此，b^2=c^2-c^2=0，这意味着b=0，即双曲线退化为一条直线。在这种情况下，双曲线没有渐近线。

例题3：已知双曲线的方程为x^2/4-y^2/9=1，求双曲线的焦点坐标。

解答：由双曲线的标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1可知，焦点坐标为(c,0)和(-c,0)，其中c=√(a^2+b^2)。

在本题中，a^2=4，b^2=9，所以a=2，b=3。

因此，c=√(2^2+3^2)=√(4+9)=√13。

所以双曲线的焦点坐标为F1(-√13,0)和F2(√13,0)。

例题4：已知双曲线的方程为y^2/9-x^2/16=1，求双曲线的渐近线方程。

解答：由双曲线的标准方程y^2/a^2-x^2/b^2=1可知，渐近线的方程为y=±(b/a)x。

在本题中，a^2=9，b^2=16，所以a=3，b=4。

因此，渐近线方程为y=±(4/3)x。

例题5：已知双曲线的焦点坐标为F1(-5,0)和F2(5,0)，求双曲线的方程。

解答：由双曲线的定义可知，双曲线上的任意一点到两焦点的距离之差是一个常数，即2a。因此，有2a=|PF1|-|PF2|。

设双曲线上的任意一点为P(x,y)，则根据双曲线的定义，有：

\[|PF1|-|PF2|=2a\]

\[\sqrt{(x+5)^2+y^2}-\sqrt{(x-5)^2+y^2}=2a\]

平方两边消去根号，得到：

\[(x+5)^2+y^2-(x-5)^2-y^2=4a^2\]

\[4x=4a^2\]

\[x=a^2\]

因为焦点坐标为(-5,0)和(5,0)，所以c=5。由离心率e的定义，有e=c/a。

因此，a^2=c^2/e^2，即a^2=25/e^2。

将a^2代入x=a^2，得到：

\[x=25/e^2\]

由于e>1，所以x>0。因此，双曲线的方程为：

\[\frac{x^2}{25/e^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]

其中，b^2=c^2-a^2。

化简得到双曲线的方程：

\[\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{25/e^2-25}=1\]课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们学习了双曲线的基本概念、标准方程、焦点和渐近线等相关知识。通过实例分析和课堂讨论，同学们对双曲线的性质有了更深入的理解。

1.双曲线的定义：双曲线是平面内到两个定点F1和F2的距离之差为常数的点的集合，其中F1和F2是双曲线的两个焦点。

2.双曲线的标准方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a是实轴的半长度，b是虚轴的半长度。

3.双曲线的焦点坐标：焦点坐标为(c,0)和(-c,0)，其中c=√(a^2+b^2)。

4.双曲线的渐近线方程：渐近线方程为y=±(b/a)x。

5.双曲线的离心率：离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点到中心的距离，a是实轴的半长度。

当堂检测：

1.简述双曲线的定义及其几何意义。

答案：双曲线是平面内到两个定点F1和F2的距离之差为常数的点的集合，这两个定点称为双曲线的焦点。

2.写出双曲线的标准方程，并说明a、b、c之间的关系。

答案：双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a是实轴的半长度，b是虚轴的半长度，c=√(a^2+b^2)。

3.已知双曲线的焦点坐标为F1(-5,0)和F2(5,0)，求双曲线的方程。

答案：由焦点坐标可知c=5，因此a^2+b^2=25。设双曲线上的任意一点为P(x,y)，则根据双曲线的定义，有：

\[|PF1|-|PF2|=2a\]

\[\sqrt{(x+5)^2+y^2}-\sqrt{(x-5)^2+y^2}=2a\]

平方两边消去根号，得到：

\[(x+5)^2+y^2-(x-5)^2-y^2=4a^2\]

\[4x=4a^2\]

\[x=a^2\]

因为焦点坐标为(-5,0)和(5,0)，所以a^2=25/e^2，其中e是离心率。因此，双曲线的方程为：

\[\frac