（理论物理专业论文）双模光场原子含时相互作用系统的动力学研究.pdf

，t d 7 、 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均 己在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇 编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 王! i ：鲎! ) 指导教师签名： 日 期：掣l q ：墨，! 哆 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： ；o i o s s 电话： 邮编： i - 7 飞 摘要 有效哈密顿量对详细研究一个相互作用体系的动力学特性是非常重要的。推 导量子体系的有效哈密顿量时，常用的方法是绝热消除。相比起来f r 6 h l i c h 变 换较绝热消除有着清晰便捷的优势，近年来已经被推广应用到量子光学和原子光 学各种有效哈密顿量的推导上。纠缠熵( 信息熵) 是量子信息中用于度量纠缠的 一个概念，是系统有序化程度的一个度量。研究一个体系时分析它的纠缠度，讨 论最大纠缠态出现的条件也是很有必要的。 本论文研究的体系是单原子与双模腔场相互作用体系。因为原子与腔场之间 的耦合是与原子的坐标有关的，而在该体系中原子的位置是随时间变化的，所以 它们之间的耦合应与时间有关。本文运用含时f r 6 h l i c h 变换推导了体系的有效哈 密顿量，在大失谐条件下哈密顿量在原子内部能级空间内可以分离变量。换句话 说，原子自由度被消除，只表现出两个场模间的关联。在典型参数条件下计算了 原子处于基态和激发态时腔场随时间的演化以及两模之间的纠缠熵，并讨论了当 原子通过腔场之后( t - - - ) 佃) ，两模之间的纠缠度。本文又在准确解析推导出有效 含时作用体系的演化算符的情况下，研究了腔场随时间的相干演化。 关键词：双模腔场；f r 6 h l i c h 变换；有效哈密顿量；纠缠熵；相干演化 ，一 一 j a b s t r a c t o n ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a ni sh e l p f u lf o ru st os t u d yt h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e so f o n ei n t e r a c t i o ns y s t e m t h ea d i a b a t i ce l i m i n a t i o ni sv e r yc o n v e n t i o n a lt oa c h i e v et h e e f f e c t i v eh a m i l t o n i a l l c o m p a r a t i v e l y , v i v i df o r mm a k e sf r 6 h l i c ht r a i l s f o r m a t i o nt h e p r i o r i t yt og e tt h ee f f e c t i v ed y n a m i c so fo n es y s t e ma n dt ob ew i d e l yu s e di nt h es t u d y o fq u a n t u mo p t i c sa n da t o m i co p t i c s t h ee n t a n g l e m e n te n t r o p yi so n ec o n c e p ti n q u a n t u mi n f o r m a t i o nt om e a s u r et h ec o r r e l a t i o no ft w oo rm o r ep a r t i c l e s i t ，o fc o u r s e ， i st h em e a s u r e m e n to ft h eo r d e r i n go fo n es y s t e m i ti sa l w a y st ob eu s e dt oa n a l y z e t h em a x i m a le n t a n g l e ds t a t e sa so n ew r i t e st h ee x p l i c i tf o r mo ft h ee n t r o p y t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e no n ea t o mw i t ht w o m o d ec a v i t yf i e l di sd i s c u s s e di n t h i st h e s i s t h ec o u p l i n gb e t w e e nt h ea t o mw i t ht h ef i e l di sa l w a y sd e p e n d e n to ft i m e t h a ti sb e c a u s et h a tt h ec o u p l i n gi sa l w a y sc o n n e c t e dw i t ht h ec o o r d i n a t e o fc o u r s e t h ec o o r d i n a t ec o n n e c t e dw i t ht h et i m e a sw ea r ed e r i v i n gt h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a n t h ef r 6 h l i c ht r a n s f o r m a t i o ni su s e d i ts h o w st h a tt h eh a m i l t o n i a nc a nb ed i v i d e di n t o t w op a r t i e sa c c o r d i n gt ot h ei n t e r n a ll e v e l so ft h ea t o mr e s p e c t i v e l y i na n o t h e rw o r d ， t h eh a m i l t o n i a i ls h o w su st h ec o n e l a t i o nb e t w e e nt h et w om o d e sw h i l et h ed e g r e eo f f r e e d o mo fa t o m i ct r a n s i t i o nh a sb e e ne l i m i n a t e d a st h es p e c i f i cp a r a m e t e r sa r e a p p o i n t e d ，t h ee f f e c t i v e l yd y n a m i c a le v o l u t i o na n dt h ee n t a n g l e m e n to ft w om o d e sa r e g i v e n , a sw e l la st h ee n t a n g l e m e n te n t r o p yw h e nt h et i m ei si n f i r t i t y a f t e rt h a tt h e e x a c te v o l u t i o no p e r a t o rf o rt h et i m e d e p e n d e n te f f e c t i v es y s t e mi sg i v e n ，t h e r e f o r e t h ec o h e r e n te v o l u t i o no ft h et w om o d e sc o u l db ef o l l o w i n g k e y w o r d s ：t w o m o d ec a v i t yf i e l d ；f r s h l i c ht r a n s f o r m a t i o n ；e f f e c t i v e h a m i l t o n i a n ；e n t r o p y ；c o h e r e n te v o l u t i o n i i i 目录 中文摘要i 英文摘要l l 引言1 第一章有效哈密顿量3 1 1 体系描述3 1 2 含时f r 6 h l i c h 变换4 1 3 有效哈密顿量的推导及分析5 第二章典型参数条件下腔场的纠缠度9 2 1原子处于基态时腔场的纠缠度9 2 2 原子处于激发态时腔场的纠缠度1 3 2 3 讨论l b 第三章时间有关的有效哈密顿量的动力学分析1 7 3 1时间演化矩阵1 7 3 2 腔场的相干演化1 9 总结和展望”2 2 参考文献2 3 致谢一2 5 i i i 东北师范大学大学硕士学位论文 引言 对于一个相互作用的体系，在详细研究它的动力学特性之前可以先推导出 该体系的有效哈密顿量，大家最常用的方法是绝热消除。其实，f r s h l i c h 最早用 于消除电子一声子一电子相互作用体系中的声子态，实现只包含电子一电子有效相 互作用的f r 6 h l i c h 变换【1 】【2 】也可以被推广应用到量子光学和原子光学各种有效 哈密顿量的推导上【3 】【4 】。在应用绝热消除计算有效哈密顿量时，我们需要不断地 进行形式积分，这样会使得表达式很不清晰，在求波函数时也会显得比较繁琐。 但f r s h l i c h 变换可以给出各阶近似下的明确表达式，这比绝热消除法显示出了极 大的优越性，尤其是在高阶近似下。有效的方法和技术在物理学的各个领域总是 被广泛地应用。在原子与谐振腔的相互作用中，用f r 6 h l i c h 变换计算过有效哈密 顿量的体系已经很多，二能级原子与单模光场相互作用体系，双光子过程等。近 些年来，上述变换也被应用到量子信息领域，在大失谐的条件下，实现了多个量 子逻辑门。在量子电动力学中，也用该变换提出了基于超导量子比特的量子计算 方案。 运用f r s h l i c h 变换的首要问题是选择一个适当的幺正变换，令变换 u ：c 。嚣 这里s 是一个反厄米算符( s - - s ) ，由所讨论体系的哈密顿量决定。 假设一个量子体系的哈密顿量写为： h = h o + 2 h l 则 。h，=e。勰he勰 利用g l a u b e r 公式 e = b + 【郇】+ 去m 伽】 + 击m 彳， 郇】 + 一 我们假设体系的相互作用部分为弱耦合。对上述哈密顿量的处理，同微扰 论类似，一般取到二阶近似，同时要求一阶项为零。 计算可得到体系的有效哈密顿量为 h c t r 划+ 挈( 一) “等唑尘：四 其实，f r s h l i c h 变换与二阶微扰近似方法是一致的，如果体系的相互作用与 东北师范大学大学硕士学位论文 时间有关，我们可以将f r 6 h l i c h 变换推广为含时的，再用于推导有效哈密顿量【5 1 。 2 0 0 7 年，含时f r 6 h l i c h 变换被应用于研究依次进入单模腔场的两个全同原子之 间的量子纠缠特性【5 j ，因为原子与腔场之间的耦合是与原子的坐标有关的，而原 子的位置是随时间变化的，所以它们之间的耦合与时间有关，在大失谐的条件下 运用含时f r 6 h l i c h 变换求得有效哈密顿量，消去了光腔的作用只留下两原子之间 的相互作用项，如果取典型参数并满足绝热条件的话，有效哈密顿量可以被简化。 同样的方法也曾被应用在费米系统中，研究了四个费米子之间的相互作用【6 】。尝 试用这种优越的方法去解决更多体系的动力学问题是有着重要理论和现实意义 的。 2 0 世纪量子信息学产生以来，纠缠作为量子力学和经典力学的显著区别之 一，在量子力学基础理论研究方面备受关注。纠缠在量子力学多粒子( 或多自由 度) 体系中是最普遍存在的，但是纠缠态又是很特殊的一种量子态，它在任何表 象中都没办法写成单粒子( 或各自由度) 的量子态的直积的形式【7 】【8 】。自量子力 学的基本理论形成以来，人们对纠缠态这一基本问题的研究从没有间断过。早期， 对于纠缠态的研究大多只停留在哲学的层次上。9 0 年代中期以来，对纠缠的理 论研究在深度和广度上都有了突破性的进展，但是这一理论的发展并没有超出量 子力学基本理论的范围，应该说量子信息的发展直接推动了纠缠理论的发展。 纠缠熵( 信息熵) 是量子信息中用于度量纠缠的一个概念。一个系统越是有 序，纠缠熵就越低；反之，一个系统越是混乱，纠缠熵就越高。所以，纠缠熵也 可以说是系统有序化程度的一个度量【9 】。当一个量子态的纠缠熵等于1 时就说明 这个态可以看作体系的一个最大纠缠态。研究一个体系时分析纠缠度，讨论最大 纠缠态出现的条件也是很有必要的。相干演化特性当然也一直是人们在研究一个 物理体系时比较关注的问题【1o j 【1 1 】。 本论文的主要内容分为下面三个部分：第一章简要介绍了含时f r s h l i c h 变换 方法，并用该方法推导出了单原子通过双模腔场的有效哈密顿量。第二章计算了 在典型参数下原予处于基态和激发态时腔场的纠缠熵。第三章分析了腔场的相干 演化。第四章对所写内容作了简要总结。 2 东北师范大学大学硕士学位论文 1 1体系描述 第一章有效哈密顿量 研究原子与腔场( 单个或多个腔场) 纠缠问题的方案已经有很多种【1 2 - 2 2 。我们 将研究这样一个量子体系：单原子通过双模光腔( 如图1 ) 。 韶( t ) 1 一卫叫 ii i i 图1 单原子以速度v 沿纵向进入微腔。微腔局域了一个双 模光场，光场在横向分布如图。因此原子与腔肠的相互作 用是时间相关的。这里可以假定纵向质心运动不需要量子 化，那么原子沿纵向前进的距离可表征时间。腔的纵向宽 度为2 ，。 由于原子的运动会使得两模光场之间的耦合与时间有关，则该量子体系的哈密 顿量为( 壳= 1 ) h 州= c o o o j + c q g + 口l + 毡呸+ 呸+ g l ( t ) o + a l + 9 2 ( f ) 仃+ g 2 + h c ( 1 1 ) 其中，0 4 为原子跃迁频率，q 和哆为双模光场的频率；矿- l e l g 。i i 毋( f ) i ，其中a ，= 哆一纰，即满足大失谐条件2 钿，我们 可以运用含时f r 6 h l i c h 变换得到系统的有效哈密顿量，这个有效哈密顿量将只含 有光场之间的相互作用项，而消去原子的作用。 1 2 含时f r 6 h l i c h 变换 许多原子与光场以及电子与声子之间的相互作用问题都可以通过f r 6 h l i c h 变换得到有效哈密顿量。其实，当它们之间的相互作用与时间有关并可作为微扰 考虑时，我们同样可以用含时f r 6 h l i c h 变换得到有效哈密顿量。当然，一些其它 的处理含时问题的正则变换也曾被提出并应用f 2 5 】【2 6 1 。 含时f r 6 h l i e h 变换的具体操作如下： 假定一含时量子微扰系统的哈密顿量为 h = h o + 五日7 ( t )( 1 2 ) 这里非微扰项日。与时间无关，微扰项日。( t ) 与时间有关( i 7 ( r ) i 刮何。i ) ，名 称为微参数，最后可令其为1 。 我们进行如下含时变换 i ( ，) ) = p 心o i 缈( ，) ) 生成元s ( f ) 是一个反厄米算符( s - - s ) ，l 矿( f ) ) 随h 7 演化。 h 7 = e 。勰h e 勰+ f ( a ，p 心) ， 一辨舢k ， + 二，陲学垤爿 只保留到二阶项，我们可以得到如下有效哈密顿量 h = h 。+ h 7 + e h 。，s 一z a ，s ) + - 兰i ( h 7 + e h 。，s 一z a ，s ) ，s + 丢 h 7 ，s 4 东北师范大学大学硕士学位论文 - - _ 一- 一_ 如果选择合适的生成元s ( f ) 使得有效哈密顿量中的一阶项等于o ，即： h l + h 0 ，s - i a ，s = 0 则有效哈密顿量则变为 h = h 。+ 丢 h 7 ，s 我们从( 1 3 ) 式出发计算出生成元s ( f ) 的具体形式。 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 假设 l m ) l 聊= o ，1 ，2 ，) 为h 。的一组本征态，已为i m ) 对应的本征值，贝j j ( 1 3 ) 式的矩阵元形式为： h 7 。+ ( 已一e ) 。一国，= o 这里，( a ，s ) 。= a ，因为i m ) 与时间无关。于是可得【8 1 s ( f ) = 一f e 峨。川h i = n ( 厂) a t i r a ) ( 以i ( 1 5 ) ( 1 6 ) 其中，= e - e 由( 1 6 ) 式可见，含时f r s h l i c h 变换与二阶含时微扰理论给出相同的结果。 1 3 有效哈密顿量的推导及分析 单原子通过双模光腔的哈密顿量( 1 1 ) 式可写为 h 州= h 折o + h 州7 h 州。= 矿+ 锄( q + 口l + 口2 + 口2 ) ( 1 7 ) h 州7 = ( 弼一吼) q + a l + ( 鸱一璐) 口2 + a 2 + g l ( f ) 矿口l + ( f ) 矿+ 口2 + 厅c ( 1 8 ) 把h 州变换至相互作用表象里，可得 h = e 一小硎仉n 伽i 护一 = p 一鳓矿p 叫鳓口l + 口1 e 叫鳓口2 + 哕( q 0 0 ) a , + q p f 鳓矿f p f 嘞口l + 口1 f p 口2 + 口2 f 5 + 9 2 ( f ) e 叫鳓矿7 p 一良q + 吻7 仃+ 口2 p 矿f e 峨吒+ 口2 f + 办c = ( q c o o ) a l + a l + ( 嗖一c o o ) a 2 + a 2 + g l ( t ) c r + 0 1 + 9 2 ( t ) t r + 0 2 + 办c ( 1 y ) 则 h h 高gt 一) a 竺a 搿一絮吃(110)1 t ) o + a 2l = l (+ + 9 2 ( + j l z c r 7 在大失谐条件下，运用含时f r 6 h l i c h 变换定义生成元s ( f ) s ( t ) = 而( t ) c r + 口l + x 2 ( t ) o + a 2 - h c 则s ( f ) 必满足关系式 h l + i n o ，s - i a ，s = o 。 可以计算【h 。，s l = a 。q + q ，x a ( t ) o + 口1 十 ，q + 口1 ，x 2 ( t ) c r + 呸 - 。q + q ，x a ( f ) 仃一口l + - ，q + 口l ，屯+ ( 归一口2 + + ：巴+ 口2 ，x l ( t ) o + q + ：+ 呸，屯( ，) 盯+ 口2 一 ：口2 + 口2 ，而+ ( f ) 仃一q + 一 ：呸+ 如，恐( f ) 仃一口2 + = 一a l _ ( t ) o + a l a l x l ( t ) a l + 仃一- a 2 恐( t ) o + a 2 - a 2 恐( f ) 吃+ o r a ，s ( f ) = 毫( t ) o + a l + 岛( t ) t y + a 2 一毫+ ( t ) a - a 。+ 一岛( f ) 盯一a 2 + 所以，h 。+ i n o ，s 】一f a ，s = g l ( t ) o + a l + 9 2 ( t ) o + a 2 + g l + ( t ) a - a l + + 9 2 ( f ) 仃一a 2 + 一a i x i ( t ) 0 + a i 一l 毛t ) a i + o r 一一a 2 x 2 ( t ) o + a 2 - a 2 恐+ ( f ) 口2 + o r 一 一喝( t ) o + a l 一豌( f ) 仃+ a 2 + 碱( f ) 仃一口l + + 吃( t ) a - a 2 + = 0 可得生成元中的待定系数满足的方程： 6 i 东北师范大学大学硕士学位论文 g ，( ；_ ，_ ! ? - ：i ! ! ：i on ( ：，2 ) ( ，) g ( f ) 一a ，x j ( f ) + 蟛( t ) = o v 、 解上式得： _ ( f ) = 一毋( f 弘也叫d t ( 1 1 2 ) 那么经过含时f r s h l i c h 变换之后，有效哈密顿量变为： h ( f ) = h 。+ 寺 h 。( f ) ，s ( f ) + h ，( f ) ，s ( f ) - e g 。( f ) 矿q + g ：( t ) o r + a 2 + h z ，x l ( t ) a r + a l + x 2 ( t ) g r + a ：- h z = e g 。( f ) 仃+ 口l ，五( f ) 矿q + 蜀( f ) 仃+ 口l ，恐( f ) 仃+ 口2 - e g , ( t ) o + a l ，而( f ) 旷q + - g ，( f ) 矿口l ，而( f ) 口一分 + g ：( r ) 盯+ a 2 ，：q ( t ) o + a 1 3 + 9 2 ( f ) 矿吃，屯( f ) 仃+ 吃 - 9 2 ( t ) t y + a 2 ，五( t ) o - o a + 一 g ：( f ) 矿口2 ，屯+ ( f ) 仃一口2 + + g 。( f ) 矿q + ，五( f ) 矿口1 + g 。( f ) 旷q + ，x 2 ( t ) g r + a 2 - g 。( f ) 万一q + ，五+ t ) o r - a i + 一 g l i ( f ) 旷口l + ，恐。( f ) 仃一呸+ + t ) o - a 2 + , 五( f ) 矿口1 + 9 2 t ) o - a 2 + , x 2 ( t ) a r + a 2 - 9 2 ( t ) g r - a 2 + , 而( ，) 旷q + 一 ( ，) 旷呸+ ，恐( ，) 矿一口2 + = - g 。( t ) x l ( f ) 口e ) ( e l + ( 1 e ) ( e l i g ) ( 9 1 ) a , + a ll - g 。( t ) x 2 ( t ) ( 1 e ) ( e l - l g ) ( 9 1 ) a = + a 1 一( ，) 五+ ( f ) ( i 力( pj - j g ) ( g i ) 口l + a 2 - 9 2 ( f ) 艺( f ) 口e ) ( e i + ( e ) ( e l - l g ) ( 9 1 ) a ：+ a 2l 咱( f ) 五( f ) li g ) ( g i + ( 1 力( p i - l g ) ( g i ) q q + i g 。( f ) 恐( f ) ( i e ) ( e i - i g ) ( 9 1 ) a ：a , + - 9 2 ( f ) 五( t ) ( 1 e ) ( e l - l g ) ( g d a 。a 2 + - - 9 2 * ( f ) 屯( f ) li g ) ( g l + ( k ) 0 i i g ) ( g i ) 口2 呸+ l 又h 。= 。a i + o l + ：a 2 + 吧= ( 。o l + a l + ：a 2 + a ：) ( 1 e ) ( e l + l g ) ( 9 1 ) 其中a 1 = 0 4 - t o o ，a 2 = 哆一 所以，h ( t ) = 。一丢( g 。五+ g ，+ 而) q + q + ：一三( 屯。+ 。恐) 呸+ 呸 1 _ - 2 1 2 蜀恐+ 。x 1 ) a l a 2 + 一三( 五。+ g l + 恐) 口2 q + g l x l + g l 五+ 9 2 屯+ 9 2 恐) 7 i 力( 圳 东北师范大学大学硕士学位论文 + ， t + 三( g ，五+ g 。五) q + q + ：+ 三( 9 2 x 2 * + 9 2x 2 ) h ( 躺+ 五) a l a 2 + + 1 ( 9 2 x l * + g l * x 2 ) 口2 口l + 在这种二阶过程当中，波函数伊= ( 嚣譬； 中的激发态分量纪c r 是独立演化的，决定它们演化特点的哈密顿量分别为： h 。= ，一吉( g 。五+ g 。而) q + q + ：一兰( g ：恐+ g ：恐) 吃+ 吃 一丢( g ，屯+ + x , ) a 。a 2 + 一吉( g ：五+ 蜀艺) 呸q + 一圭( 蹦+ + g l 五十9 2 j c 2 + + 屯) h g = 。+ 圭( g 。五+ g 。五) q + 口。+ ：+ 7 1 ( g z x 2 + 9 2 * x 2 ) 呸+ 呸 + 丢( g ，屯+ + x 1 ) a i a 2 + + 圭( g ：五+ + g 。恐) 呸q + 砖 8 东北师范大学大学硕士学位论文 第二章典型参数条件下腔场的纠缠度 2 1原子处于基态时腔场的纠缠度 我们先来研冗h g 若 ；= + 去( g ，_ + 岛乃) ( f ) = 去( 五+ + 蜀恐) ( 歹= 1 ，2 ) 贝l j ( 1 1 4 ) 式写为 h g = ：q + a l + ：吃+ a 2 + f ( t ) a l + a 2 + 厂t ) a l a 2 + 我们重写系数( f ) _ ( f ) = 一i f g j ( t e - a a e - o d t = 一i e 即fg ( f 弘一呤，西7 = - i e a ，lg j ( t 7 k v d t = 钭p 叫一p ，州) 又g j ( t 7 ) = g j ( v t 7 ) = 岛e x p ( - v 2 t 屹1 2 ) 鳓，) = g 。降巾舯叼强( 一分钟，f 2 ( v t - - 1 ) 则_ ( r ) = e i a ，j tl r g ，( ，) p 一以，+ 2 v l g ，( 户一沾，衍 = 下g j ( t ) + 若l 毋( r 7 户删防7 ，k 叫“ ；掣+ 石2 v _ ( f ) 厶j厶j l ”。 如果用f ( x ) = a ，x x 表示, , x 的变化，则有 9 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 东北师范大学大学硕士学位论文 f ( g ，( f ) ) f ( v f ) 手，f ( e 一地，) ， 取典型系统参数【2 7 】口8 1 ，原子跃迁波长名= 1 0 0 0 玎聊，失谐量j = 1 0 4 m h z ， g o = 1 0 0 m h z ，腔的宽度( 在z 方向上) l = 3 0 a ，原子穿越速度v = l o m s 贝, j ( v t ) - - l o 一1 m h z i a i = 1 0 4 m h z ，即：f ( g ( f ) ) ，( 矿哗) ，也就是说原子与 腔场相互作用的时间2 1 v 要比1 a 长的多，满足绝热条件。 运用以上典型参数，可将( 2 3 ) 式简化： 啪) z 掣+ 1 0 训必百g j ( t ) ( 2 4 ) ( t ) 和g ( f ) 取实数，则 a ：= j + g j ( t ) x j ( t ) = + 掣 ( 2 5 ) 。 。 此时，( 2 1 ) 式表示的有效耦合 巾) = 掣喇础) ( 2 6 ) 我们继续假设蜘移位可以忽略p l ，则卵以黔代替。 所以，( 2 2 ) 式可变为 a p 豺( f ) = l a l + a i + 2 吃+ 吒+ 厂( f ) 口l + 口2 + 厂( f ) q 呸+ 再变换至相互作用表象，au ( t ) = p f ( 1 q + q + a 2 分心) ， 则 h 乙( f ) = u ( f ) h 乙7 ( f ) u + ( f ) = 厂( f ) p 柠a ：) q + 0 2 + ( f ) p 一印2 p a l a 2 + 我们假设l = ：，g 。9 2 ，也就是认为两光场的频率相等，而强度不同。 则上式就简化为： h l , ( f ) = 厂( f ) 口l + 口2 + f ( t ) a , a 2 + ( 2 7 ) 由哈密顿量的形式可知，在双模场大失谐的条件下，原子的状态不因光场而 改变，光场间的光子相互转化( 真空态之间不能相互转化) 。当，2 时， ( n + l ， , - ，l h i n ，m ) = o ，故多光子转化过程属于高阶过程。对于弱耦合条件，这 1 0 东北师范大学大学硕士学位论文 种多光子过程友生的概翠很小，司以忽略。所以，我们只需要考虑单兀激发，且i j 一个光子的转化。 设某一瞬时态为 i 缈( f ) ) g = q ( f ) i n , n + 1 ) + c 2 ( f ) k + 1 ，胛) ( 2 8 ) 由含时薛定谔方程 h a ，i 矽( f ) ) g = h 乞( 圳缈( f ) ) g ( 2 9 ) h 乙( ，) ) ) g = c l ( f ) h 乞( f ) l ，z ，z + 1 ) + c 2 ( f ) h 乞( t ) l 玎+ 1 ，甩) = c l ( t ) f ( t ) a l + 吃i 玎，n + 1 ) + c l ( t ) f ( t ) a ，a 2 + i n ，n + 1 ) + c 2 ( t ) f ( t ) a l + a ：l n + l ，疗) + c 2 ( t ) f ( t ) a l a 2 + i 盯+ 1 ，z ) = c l ( t ) f ( t ) ( n + 1 ) l n + l ， ) + c 2 ( f ) 厂( f ) ( 玎+ 1 ) i 以，n + 1 ) f 壳a ，i 缈( f ) ) g = 访g ( f ) i n , n + 1 ) + h d t ：( t ) i 玎+ 1 ，刀) 壳= 1 ，可得： f c l ( f ) = ( ，z + 1 ) c 2 ( t ) f ( t ) f 岛( f ) = ( ，z + 1 ) g ( t ) f ( t ) 为求解c l ( t ) 和gc ，可设 ： ：；三三 ：；二芝 ；， 则西( f ) = f g ( t ) + i c 2 ( f ) = ( 力十1 ) 厂( f ) c 1 ( f ) + g ( 伽= ( 玎+ 1 ) 厂( f ) 么( f ) i b ( t ) = i c l ( t ) - - i c 2 ( t ) = ( ，z + 1 ) 厂( f ) c 2 ( f ) 一c l ( f ) = 一( 刀+ 1 ) 厂( f ) b ( f ) 代换函数 秒( f ) = ( 玎+ 1 ) 少( f ) a t 7 = ( 刀+ 1 ) ，厂( f 7 p 7 则 蒜篡：嵩墨譬器 g ( f ) = 坐掣：c l ( o ) c 。s 秒( f ) 一f c 2 ( o ) s i n 秒( f ) e ( f ) = 坐掣：一蝎( o ) s i n e ( f ) + c 2 ( o ) c 。s 口( f ) 假设初态为：l 妒( o ) ) g = l 刀，以+ 1 ) ，即c l ( o ) = 1 ，c 2 ( o ) = o 则q ( t ) = c o s s ( t ) ，c 2 ( f ) = 一i s i n e ( t ) 1 缈( f ) ) g = c 。s 护( f ) i 刀，刀+ 1 ) 一i s i l l 口i 门+ 1 ，疗) ( 2 1 0 ) ( 2 1 0 ) 式表示的态是原子处于基态时腔内两模场间的纠缠态【2 9 1 ，接下来我们 用原子穿越速率v 来表示f 时刻双模场之间的纠缠熵e ( i 妒( f ) ) ) 。 e ( i 伊( f ) ) ) = 一t r ( p , l o g ：店( f ) ) ( 2 1 1 ) 这里，1 9 ( f ) ) 是一个纯态，p l ( f ) = 啦( i 妒( f ) ) ( f ) i ) 是第一个光场的约化密 度矩阵。 对( 2 1 0 ) 式表示的态，我们可得体系( 模1 和模2 ) 的密度算符： p ( z ) = ) ) gg ( 驴( r ) i = ( c 。s 9 ( f ) l 刀，刀+ 1 ) 一i s i i l p ( f ) i 聍+ 1 ，”) ) ( c 。s 矽( f ) ( 玎，咒+ 1 1 + i s h l o ( t ) - t - o o 时， 矿( 桕) = 一( ，z + ) 警k e 下2 v 2 t z 一括( 肼1 ) a i + a 2g v 2 0 l - ，( i 缈( 佃) ) ) = c o s 2 矿( 佃) 1 0 9 ：c o s 2 矿( 桕) + s i n 28 ( t ) l o g ：s i n 2 ( 佃) ( 2 2 6 ) 当矿( 扣) = 丁2 n + l 万 , mo ，l ，2 ，) 时，( i 缈( 佃) ) ) = 1 对应最大纠缠态。 1 6 景 东北师范大学大学硕士学位论文 第三章时间有关的有效哈密顿量的动力学分析 第二章里我们采用典型参量，选取初态为i 玎，n + 1 ) ，研究了两光场间的纠缠。 同样，我们也可以计算两光场之间的相干演化。这里，以原子处于基态时的有效 哈密顿量h 乙( t ) 为例。 3 1 时间演化矩阵 我们令： a l + 吃+ a l a 2 + 2 吒 一f ( q + 吃- a ，a 2 + ) = q ， 口l + q 一0 + 2 a 2 = 吒 则有： 吒，q = 一心+ 0 2 + + ，q + a 2 - a l a 2 + = 一f q + 口2 ，口1 + 呸 一 q + 吃，口l 口2 + l l + a i 口2 + ，q + 呸 一 口l 口2 + ，q 呸+ = 2 f ( q + q 一口+ ：口2 ) = 2 缸 o - , ，吒 = 一f 口l + 口2 一q 吒+ ，口l + q 一口+ ：口2 = 2 f ( 口l + a 2 + a l a 2 + ) = 2 i 0 。 k 吒】- q + q - - 口+ 2 口2 ，q + 0 2 + a l a 2 + = 2 ( q + 巴- a 。a 2 + ) = 2 哆 可见，g ，q ，吒闭合。 此时，( 2 7 ) 式表示的哈密顿量可写为： h 乙( t ) = f ( t ) c r ( 3 1 ) 为求h 乙( f ) 对应的演化算符，我们可先将h 乙( f ) 绕y 轴旋转口角，得： 东北师范大学大学硕士学位论文 h ：= p 1 q h ：谚e 7 乃= ( f ) p 1 q 吒乒吩 运用g l a u b e r 公式 一b 矿一= 占“彳，b 】+ 击 彳，【彳，b 】 + ( 3 2 ) 式可化简： h 1 9 = f ( t ) e - t 哆6 ，1 叫杠( 船卅+ 单m 坍 = 厂c ，( 吒一星 吒+ 号吒一) 一厂c r ，( 鲁吒一号 吒+ 善 吒+ = f ( t ) ( c o s s o - s i n 9 0 ) ( 3 2 ) 特殊的，我们取9 = 兰2 ， h ：= 一厂( f ) 吒= ，( f ) ( 口+ ：q 2 - - a l + 口1 ) 令 h 二= 一f ( t ) c f i + q h 乞= f ( t ) a + 2 a u 明显两者对易，那么整个体系的演化算符就等于这两个哈密顿量对应的演化算 的乘积。 h 二对应的演化算符 吖( r ) = e x p ( 去卜厂( 即衍缸+ q h 2 对应的演化算符 啪) = e 坤b 驴) 坊矾 h ：对应的演化算符u 7 ( f ) = 吖( f ) 叱( t ) = 唧船矽a 2 + a 2 - t i l + a 1 ) = 唧一t 出缸 = e x p ( ，( f ) 吒) 其中，( r ) = 一去t ( 厂) 玑 1 8 ， 东北师范大学大学硕士学位论文 一一 绕y 轴转一至2 ，可得与h 乙( f ) 对应的演化算符 ：p 和嘶e - i 知 ：e 弓qe ，( r ) a , e t 苎4 乃 ：e 气q e ，( r 乃 = 乒( 柏也+ ) p 酬q - 嘞) p 4 ( a l + a 2 - a i 口2 + ) 3 2 腔场的相干演化 则 我们假设腔场的初态为相干态l 口，功。 口，助可以在f o c k 态空间展开3 2 3 3 1 ： k 肛埘陀磊赫南h 他) e - - ；( 矿口2 + ) l 口，历 币2 炒2 磊南南抄刊i ) 抄n 轰i 焉南 ，也、，二v 、， s m ( 一署瓜丽葡丽) l n i + l , n 2 - 1 ) 咖( 一署瓜丽葡丽) i n 2 + l , n a - 1 ) + c o s ( 一三瓜而而厕) l 恍) i ，所为另一不同的相干态，用f o c k 态展开： ，f l ) = e - t a f e e - i 胛2 互赫n l 南n 2 h 7 啊也，儿j ! 、儿j 2 那么当制备两个模式都是相干态，在经过上述演化后体系处于相干态 1 9 东北师范大学大学硕士学位论文 口，所的几率幅为： ( ，7 i u ( f ) i 口，历 币2 抄委赫篝水锄磊南南 一s i n ( 一号一) ( 惕7 + ，吃7 一t i 一一s i n ( 一署一) ( 他7 + ，碍一- + c o s ( 一署瓜丽姚1 ：jiii黥sbn(一4、，n丽)p，。一一也+2，i r h + l , n 2 - 1 ) 一一血(z49yn丽)ef(t)(nl-nz-2)in2+l,rh-1)+ c o s ( 一4 n 2 ( n l + 1 ) +