（理论物理专业论文）部分熵在热力学相变中的应用.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新 的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 摘要 本文利用部分熵的概念对经典热力学系统的相变与临界现象进行一定的研究。我们使用 了经典的统计模型一i s i n g 模型，并对统计模型进行m o n t ec a r l o 模拟计算。通过对系统部 分熵的测量，我们得到了系统的临界信息。 我们得到了一些结果：一，系统的部分熵能很好地量化系统的相变，和通过测量系统的 自发磁化强度所得到的相变信息一致；二，得到了均匀系统和准周期系统的临界温度和一些 临界指数：三，通过比较均匀系统和准周期系统的临界指数，我们发现这两种系统的临界指 数基本一致，说明了临界指数的普适性；四，无序系统的临界性质不同于均匀系统和准周期 系统的性质：无序系统经历了无穷级相变，而均匀系统和准周期系统经历了二级相变。 通过部分熵在热力学系统的成功运用，我们相信部分熵确实能用来量化热力学相变。这 为热力学相变的量化提供了一个很好的方法。 关键词：i s i n g 模型，统计力学，m o n t ec a r l o 模拟，部分熵，相交与临界现象，临界温度， 临界指数，有限尺度标度理论，普适性。 a b s t r a c t w 色t r yt oi n v e s t i g a t et h ef i n i t e - t e m p e r a t u r ep h a s et r a n s i t i o n sb yt h ep a r t i a le n t r o p ym e t h o d t h e t w o - d i m e n s i o n a li s i n gm o d e li ss t u d i e db ym o n t ec a r l os i m u l a t i o n t h ep a r t i a le n t r o p yc a p t u r e s t h ec o m m o ni n f o r m a t i o n0 1 1c r i t i c a lf l u c t u a t i o n s ，s u c h t h ec r i t i c a l t e m p e r a t u r e ，t h ec r i t i c a l e x p o n e n t s - w eg e ts o m er e s u l t sa sf o l l o w ： 1 t h ep a r t i a le n t r o p ym e t h o dp r o v i d e sa9 0 0 dt o o lt oq u a n t i f yt h ef i n i t e - t e m p e r a t u r e p h a s et r a n s i t i o n s 2 w eg e tt h ec r i t i c a lt e m p e r a t u r ea n dt h ec f i f i c a le x p o n e n t sb o t hi np e r i o d i cs y s t e ma n d q u a s i p e r i o d i cs y s t e m 3 t h ec r i t i c a le x p o n e n t si np e r i o d i cs y s t e mi st h es a n l e 丛t h ec r i t i c a le x p o n e n t si n q u a s i p e r i o d i cs y s t e m 一 4 t h e r ei sas e c o n do r d e rp h a s et r a n s i t i o nb o t hi np e r i o d i cs y s t e ma n dq u a s i p e r i o d i e s y s t e m ，b u tt h e r ei sai n f i n i t eo r d e rp h a s et r a n s i t i o ni nd i s o r d e rs y s t e m w ea g r e ew i t ht h a tt h ep a r t i a le n t r o p ym e t h o di sag o o dm e t h o dt oq u a n t i f yt h ef i n i t e - t e m p e r a t u r e p h a s et r a n s i t i o n sb y0 1 1 1 w o r k k e y w o r d s ：i s i n gm o d e l ，s t a t i s t i c a lp h y s i c s ，m o n t ec a r l os i m u l a t i o n ，p a r t i a le n t r o p y ，p h 丛e t r a n s i t i o n sa n dc r i t i c a lp h e n o m e n a ，c r i t i c a lt e m p e r a t u r e ，c r i t i c a li n d i c e s ，f i n i t es i z es c a l et h e o r y ， u n i v e r s a l i t y 。 2 2 前言 统计物理学是物理学的一个分支，它把原子尺度的物理性质与宏观尺度的物理性质， 以及所有有关的介观与宏观现象联系起来。如果知道了原子之间的相互作用力，要计算所有 感兴趣的宏观物理量，就需要处理涉及大数量的相互作用问题。倘若这一任务能够完成，我 们不仅理解了热力学原理，而且具备了应用于许多其他领域的理论基础。 相变与临界现象是统计物理学中的一个活跃的领域，产生了很多富有意义的理论和结 果。其中，i s i n g 模型成了研究相交的标准的统计模型。通过对i s i n g 模型的研究，科学家 们深化了对相变与临界现象的认识：系统的临界温度，相变类型，临界指数以及普适性的认 识。 本文试图通过系统的部分熵来研究均匀系统，准周期系统，无序系统的临界现象。并 且获得了这些系统的一些临界信息，加深了对相变与临界现象的认识。在研究过程中，我们 对系统进行了m o n t ec a r l o 模拟。 对于均匀i s i n g 模型的研究，已经有了大量丰富的研究成果。而对于准周期和无序系统 的研究，因为系统的相对复杂性，其研究程度就不如均匀系统了。这也就是我们为什么要来 研究准周期和无序系统的原因了。对于均匀i s i n g 模型的研究，很多种方法，特别地，o s a n g e r 给出- j - - 位均匀i s i n g 模型的解析结果。而对于准周期和无序系统，解析结果是不那么容易 获得的，所以我们通过m o n t ec a r l o 模拟来获得结果。在量子纠缠的研究中，v o nn e u m a n n 熵能很好的量化量子相变。一些学者提出用部分熵来量化热力学相交，我们也利用部分熵作 为一种新的方法来量化准周期系统和无序系统的热力学相交。 论文第一章介绍了我们的研究背景，研究对象，研究方法一理论方法和数值方法， 特别介绍了部分熵的概念。 论文第二章分别从测量磁化率和部分熵的角度来研究均匀系统的相变与临界现象，得 到了一致的临界信息。 论文第三章分别从测量磁化率和部分熵的角度来研究准周期系统的相变与临界现象， 得到了一致的临界信息。发现准周期系统的相交类型和临界指数和均匀系统的一致，很好地 说明了普适性问题。 论文第四章测量部分熵的角度来研究无序系统的相变与临界现象，得到了一致的临界 信息，发现无序系统经历了与均匀系统和准周期系统不同的相交类型。 论文第五章对本文的研究结果作了一些总结。 3 3 第一章：基本概念与背景 1 1 相变与临界现象 ( 1 ) 物质状态 自然界中充满着形形色色物质，正是“乱花渐欲迷人眼”。人们一般根据物质的各自不 同的性质来划分它们。比方说，根据物质的一些性质把物质分成气体，液体，固体。近年来， 科学家们把超流态和普通物态区分开来了，还研究了大量磁性材料，液晶，铁磁体以及大量 不同相的物质。我们可以通过定性或定量地考察系统由一个相到另一个相的相变过程来区分 不同的相。对于本文要研究的系统i s i n g 模型，展现了一些不同的相。比方说，在低温 的时候，系统展现出有序的铁磁相，而在低温的时候，系统处于无序的高温相。在这两个相 之间，将出现一个临界相( n 。我们要研究的就是这个临界相中的一些现象，即相变点上的 现象。 ( 2 ) 相变的物理本质 相变是有序和无序两种倾向矛盾斗争的表现。相互作用是有序的起因，热运动是无序的 来源。在缓慢降温的过程中，每当一种相互作用的特征能量足以和热运动能量七r 相比时， 物质的宏观态就可能发生变化。换句话说，每当温度降到一定程度，以致热运动不再能破坏 某种特定相互作用造成的秩序时，就可能出现一个新相。多种多样的相互作用，导致形形色 色的相变。越是走向低温，更为精细的相互作用就得以表现出来。然而，新相总是突然出现 的，同时伴随着许多物理性质的急剧变化2 1 。通过研究系统的相变，我们就能解释物理系 统中的相互作用，对认识物质的微观结构有重要意义。 ( 3 ) 相交的分类 相变的现象和原因极为错综复杂。然而，在不同的相变点附近，各种物理量的奇异性彼 此十分相似。现象的共性要求建立普遍的理论。e h r e n f e s t 根据热力学函数以及其导数是否 连续变化，将平衡态相变进行分类，通常研究最多的是一级和二级相变，二级和二级以上的 相变通常称为连续相交。一级相变伴随着明显的比容的突变与潜热的产生，并可能出现亚稳 态，如普通的固液气三相的变化，在外磁场中的超导转变等。二级相变中的比容连续变化， 没有潜热的产生，体系的宏观状态不发生任何突变，但体系的对称性会出现突变，具有对称 性破缺。比热，压缩率，磁化率等物理量随温度的变化会出现突变或无穷尖峰，如铁磁相交。 二级相交的相变点称为“临界点”，在临界点附近系统将表现出一系列特殊性质，如某些热 力学量趋于无穷，有很强的涨落和关联等，这种现象称为“临界现象”( 2 3 ，4 1 。 4 4 ( 4 ) 序参量和临界指数 一般地说，对二级相变，可以引入一个物理量序参量来定量的描述。序参量 应该这样选择：在对称性较高的相( 也称无序相，一般相应于丁 瓦的那个相) ，序参量的 值为零；而在对称性较低的相( 也称有序相，一般相应于t 行了解析求解，得出了一些结果，但并没发现物理学家们感兴趣的相变的存在。因此对这个 模型的研究就此搁浅。后来，著名物理学家海森堡提出了一个铁磁体的量子模型。因为是量 子力学的创立者提出的模型，一定会引起很多物理学的兴趣。但由于海森堡模型比较复杂， 对此研究就带来了困难。物理学家们就转向研究起海森堡模型的一维的对应形式i s i n g 模型。特别地，o n s a g e r 推导出了二维i s i n g 模型的解析解，发现了相交的存在，并且得到 了相应的相变临界温度1 8 1 。这一重要结果，揭示了简单的统计物理模型在相变与临界现象 研究上的重要性，也引起了更多的物理学家投身其中。对于i s i n g 模型的研究。从研究方法 上，很多人进行了解析的研究0 9 - 2 2 ) ，也有很多人进行了数值模拟的研究；从研究对象上， 很多人对不同类型格点上的伊辛模型进行了研究，得到了和正方格点上相似的性质净拼。 接下来，我们就介绍一下本文所要研究的一些二维i s i n g 模型的类型。 1 2 1 伊辛模型 自旋有两个态，向上的( + 1 ) 态和向下的( 1 ) 态。系统的能量为： e = - j 墨墨 l ，j 墨为在晶体中格点i 上的自旋， 表示最近邻位置， j 为相互作用耦合强度。 个个，上上自旋方向平行je = 一j 个上，山个自旋方向反平行e ：+ ， 如果j 0 ，基态将处于是自旋平行的状态。这种磁体为铁磁体。 6 6 如果j o ) 对于伊辛模型( j 0 ) ，统计力学告诉我们： 低温时( r _ o ) ， 哼低的能量 专所有自旋几乎是平行的 一大的磁性 高温时( k t j ) ，专高能量 其中磁性m = s f 一自旋随机排列 一各个方向的自旋几乎抵消 一没有磁性 由此可见，伊新模型的低温和高温行为和真实的磁体的一样，就说明了伊辛模型描述铁磁体 的合理性。 1 2 3 伊辛模型的历史 伊辛模型是物理学家楞次提出来给他的研究生做的问题。伊辛研究发现，一维伊辛模 型并不存在相变：磁化强度从t = 0 到t _ 是连续变化，磁化率x 始终保持有限大小( 1 7 ) 。因 此，伊辛模型没有引起根多物理学们的重视。 o n s a g e r 在1 9 4 4 年解析推导了二维伊辛模型，发现：在二维伊辛模型中存在真实磁体 中的那种类型的相交1 耵。这一重要发现导致了相变和临界现象理论的重大发展。因此，这 项重要的研究成果使的o n s a g e r 摘取了物理学中的桂冠诺贝尔物理学奖。 三维的情况也存在相变，但是即使是非常简单的伊辛模型也无法解析求解。一些重要 的结果几乎由近似解和计算机模型得到的。 l 2 4 本文的研究模型形式 ( 1 ) 二维均匀伊辛模型 e = 一j4 s 。s j 。p 表示对最近邻自旋求和，所有格点之间的相互作用强度山= 1 ，( = 一1 时，模型就 l ，j 反铁磁体模型了，本文对反铁磁体模型不作研究，但是对反铁磁体模型的研究也是很有意义 的) 。 77 ( 2 ) 二维无序伊辛模型 e = 一厶墨邑 f ，p 表示对最近邻自旋求和， d 。p 格点之间的相互作用强度，的分布几率尸( 厶) = o 5 万( 厶一1 ) + o 5 万( 厶一o 5 ) ，这只是无 序系统的一种特殊形式，但能作为无序系统的代表，反映无序系统的共同性质。 ( 3 ) 二维准周期伊辛模型 在晶体中，由于受到晶体周期性的限制，只能有l 、2 、3 、4 、6 这五种旋转轴，5 和刀 6 的旋转轴是不存在的( 3 6 1 。1 9 8 4 年，s h e c h t m a n 等人在用快速冷却方法制备a i - m n 合金中的 电子衍射图中，发现了具有五重对称的斑点分布( 3 。而我们已经证明了在晶体中是不可能 存在五重对称轴。这一矛盾使人们想到固体材料除了晶态和非晶态以外，还有一种介于它们 之间的新状态，称之为准晶态。另外，在1 9 8 5 年，m a r l i n 等人在实验上又制备出了具有 f i b o n a c e i 序列准周期的超晶格3 蚧。之后，准周期和非周期结构系统的物理性质引起了广 大理论工作者和实验工作者的极大兴趣。准周期是介于周期系统与完全随机系统之间的中间 结构，具有确定性的结构，表现特有的性质。例如：m k o h m o t o 等人发现一维f i b o n a c c i 准 晶体的电子能谱和某些电子波函数是分形结构( 3 外。近年来，准周期结构受到越来越多的研 究者的青睐，最具代表性系统就是f i b o n a c c i 模型及其各种广义模型。因此，研究二维 f i b o n a c e i 伊辛模型系统中的热力学相变是非常有意义的一个课题。 二维f i b o n a c c i 伊辛模型： e = 一乇鹊 d 表示对最近邻自旋求和，格点之间的相互作用强度，的取值按准周期中的f i b o n a c c i d 顺序取值的2 8 ) ： p ：s l ；i r _ 一l s 。在这个代换规则下，在假定w o = s 的前提下，通过反复应用 w n + i = p ( 、) ，产生一组序列。 w o - - - s - - - 0 5 珥= 屯s l l s w l = l - - lw 5 = l s l l s l s l w 2 = = l sw 6 = l s l l s l s l l s l i ，s 8 8 w 3 = - l s lw 7 = l s l l s l s l l s l l s l s l l s l s l 1 3 统计力学方法 引言： 研究含有大量微观粒子的宏观物体的物理性质，物理上有两种方法：一是热力学方法； 二是统计力学的方法。热力学是建立在三个实验定律的基础上的，它很好的描述了宏观物体 的宏观性质，缺点是对物体性质的本质理解欠缺。而统计力学是物体微观本质和宏观性质的 桥梁。当知本质道了物体的微观本质，我们就可以运用统计物理的方法推导出物体的宏观性 质。缺点是，只有我们对物体的微观本质了解得越细致，才能推导出和实验越相符合的结果。 在本文中，我们要研究的是已知系统哈密顿量的物体，它的物理本质是假设已知的。基于这 样的分析，我们要运用统计力学的方法来研究伊辛模型。接下来，我们就来介绍一下平衡态 统计力学。统计力学，一般有两种方法：一是玻耳兹曼的最可几率统计方法；二是吉布斯的 系综法，它比最可几率统计方法更具一般性能处理具有相互作用的系统。因此，我们有 必要把吉布斯的系综法的阐述一下( 4 2 9 3 。 1 3 1 基本假设 ( 1 ) 吉布斯系综假设 怎样通过系统的微观本质来推知系统的宏观性质呢? 系统的宏观性质是由系统的宏观 量体现出来的。系统的宏观量是系统微观量的统计平均值。根据系综理论的一个基本观点： 宏观量是微观量的时间平均，并等价于微观量的系综平均。两种平均等价的依据是统计物理 中一个基本的，但迄今仍未得到严格证明的各态历经假说。统计系综平均值的计算过程如下： l ，知道系统的每一个微观状态的概率尸( c ) 。2 ，宏观量( x = 尸( c ) x ( c ) 。问题的关 键是怎么样来确定p ( c ) 呢? 怎样理解这个概率呢? 系综是所有具有相同条件的系统的集 合。根据系综假设，考察由n 的相同系统组成的系综，尸( c ) = 处于微观状态c 的系统的个 数。除以总系统数，当趋向于无穷大时成立，即：尸( c ) = 熙等。 ( 2 ) 平衡态基本假设：等几率原理 处于平衡状态时，孤立系统的每一个可达到微观状态出现的几率是相等的。这就是统计 力学的等几率原理。根据这个假设，我们得到的系综密度函数称为微正则分布。也就是说， 微正则分布是一个基本假设，它的正确性只能通过将它的推论和实验比较而加以验证，它是 一个基本假设，是整个统计物理理论的基石。由于计算q ( e ) 的困难，直接运用微正则分布 9 9 往往并不方便。由微正则分布, - i p a 推得正则分布和巨正则分布。用正则分布和巨正则分布研 究具体系统的宏观性质要方便得多。 1 3 2 基本系综 ( 1 ) 微正则系综 由孤立系统组成的系综叫做微正则系综。微正则系综的密度函数是微正则分布。微正 则分布如下： ( 2 ) 正则系综 由恒温封闭系统组成的系综叫做正则系综。正则系综的密度函数是正则分布。正则分 布可以由微正则分布推导出来：以c ) = 三e x p ( 一f i e ( c ) ) 。正则分布是本文用到的分布。因 为我们研究的系统是恒温封闭系统。通过正则分布，我们可以求得系统中各种宏观量。这是 下文要重点推导的。 ( 3 ) 巨正则系综 有开放系统组成的系综叫做巨正则系综。正则系综的密度函数是巨正则分布。同样，巨 正则分布也可以有微正则分布推导出来。 1 3 3 宏观物理量的计算 根据本文计算的需求，我们着手计算恒温封闭系统中的一些物理量。 ( 1 ) 内能的计算 恒温封闭系统是与大热源可自由交换能量而处于热平衡的系统，恒温系统的内能u 是 能量e ( c ) 在给定条件下的一切可达微观态上的系综平均，即 u = p ( c ) e ( c ) ( 3 1 ) = 善三e x p ( 一e ( c ) 皿( c ) = 三善e x p ( 一e ( c ) 皿( c ) = i 1 ( 一旁善e x p ( - 麒c ) ) ：一旦1 n z 邵 l o l o 其中，z 为配分函数，z 的物理意义是一切可达微观态的玻耳兹曼因子之和。它的数学形式 推导如下，由几率的归一化条件： 又因为： 可以令： 所以 即 尸( c ) = l c p ( c ) 芘e x p ( 一占( c ) ) 峒= 三州一触c ) ) 善三e x p ( - 艇c ) ) - 1 z = e x p ( 一肚( c ) ) c ( 3 2 ) ( 3 3 ) 配分函数在统计物理中的重要性无异于特性函数在热力学中的重要性。对于一个热力学系 统，当我们知道了它的特性函数，就可以计算出其他所有的热力学函数。同样，对于一个统 计物理学系统，当我们知道了它的配分函数，就可以计算出其他所有的宏观物理量。统计物 理的关键部分是要求出系统的配分函数。而求配分函数，一要求出系统的能谱：不管是用经 典力学还是量子力学，先把微观状态分类编号，然后计算出第c 个状态的能量e ( c ) ；二是 对全部能谱求和，计算统计配分函数：z = e x p ( - , e e ( c ) ) 。 c ( 2 )比热的计算 系统的比热是一个非常重要的物理量。在系统存在相变的时候，系统比热的突变表征着 相交的存在。在计算系统比热之前，我们趁着上文计算宏观物理量u 的余热来计算另一个 重要宏观物理量能量的均方涨落。由于恒温系统可以与大热源自由交换能量，因此其能 量并不总是等于平均值，而是在平均能量上下变化。根据定义，系统能量与平均能量偏差的 平方的平均值叫能量的均方涨落。运用和计算内能同样的方法和步骤，我们来计算能量均方 涨落： - - e 尸( c ) ( ( c ) 一 一( e ) 2 乙v2 丽丁一 ( 3 ) 一般物理量的计算 在正则系统中，x 为系统的宏观量，c 为系统所能处的微观状态，x 为与系统宏观量 对应x 对应的系统微观量。p ( c ) 为正则分布函数。所以， x = p ( c ) x ( c ) = 善圭e x p ( - 艇c m c ) ：1e e x p ( 一e ( c ) h ( c ) 厶，、 其中：配分函数z = e x p ( - f l e ( c ) ) 1 4m o n t ec a r l o 方法 引言：计算机模拟 在最近几十年来，计算机模拟的方法改变了传统的科学研究方式，多多少少引起了一些 科学革命。将物理学分成理论物理和实验物理两的部分的传统划分将一去不返了。计算机模 拟已经成为理论物理和实验物理相补相成的物理学的第三个分支。 计算机模拟到底有什么特别的重要意义呢? 答案非常简单，计算机模拟在处理已经被 精确了解的模型系统中能精确的信息。相反，只有在极少数情况下，才能由解析理论得到精 确的信息，在大多数情况下，问题的处理需要近似方法的运用。即使非常简单的物理模型， 如三维伊辛模型，也是不能精确求解的。对考虑了原子间的真实相互作用的模型，那么解析 所能获得的信息就更少了。基于以上的考虑，运用m o m ec a r l o 模拟的方法来研究系统的性 质成了有效的方法3 1 3 孙。 1 2 1 2 1 4 1m o n t ec a r l o 方法 1 m o n t ec a r l o 积分 6 ，= ，厂( x ) 出 导羔讹) 一7 ，i z i n 急。一 对于这个简单的积分，我们有两种方法： 方法一，将积分区间 口，6 】分成n 等分，每一段的长度为等，第f 段上的函数值近似 用f ( x ，) 表示，于是积分就能表示成累加形式。 7 y 法- - ，上面的方法对薯的取值方式是在间隔【口，6 】内规则地取的t = 篙i 二尘我们 改变一下取值方式，在间隔 口，6 】随机选择t 的值， 由此产生的误差是纯粹统计的，夕孑万，而与积分的维度无关 2 m o n t ec a r l o 模拟 为了计算多重积分，我们需要采取m o n t e c a r l o 技术。依据上文提到的m o n t e c a r l o 积 分，我们能够随机地产生位形，而后趋向于真实的热力学平均，例如m ，由m o n t ec a r l o 平 均得到： 一 1 m ( e ) p 以驯打 扯专万 存在的问题是，由于玻耳兹曼分布是以指数函数变化的，在系统能量e 相对大的时候大，多 数随机选择的位形对整体只作出微不足道的贡献。 3 重要性抽样 模拟玻耳兹曼分布的系统，为了获得更准确的结果，在m o n t ec a r l o 积分中运用重要 性抽样的概念是至关重要的。理想的情况是这样的，样本位形是以概率为玻耳兹曼权重 p ( c ) 出现的。这样的话，m 的m o n t ec a r l o 平均值将为： 1 3 1 3 砑= 专善m ( e ) 多么简捷的答案，关键是要使得位形的概率为p ( g ) = 圭p 以蚂) ，玎。 ( 1 ) m a r k o v 过程 我们建立一条所谓的位形m a r k o v 链c f ，f 是计算机时间，而不是真实时间。令尸( 4 ，d 为系统在时间f ，处于位形4 上的概率；令形( 么专b ) 为从位形彳到位形b 的转移概率。 因此， p ( a ，f + 1 ) = p ( 4 ，f ) + w ( b - - a ) p ( b ，t ) - w ( a - - b ) p ( a ，f ) 】 期望在时间足够大的情况下，初始位形将被忘记，这样的话，需使得p ( a ，f ) 专p ( a ) 。 ( 2 ) 细致平衡 为了得到平衡态概率分布，一个充分条件是所谓的细致平衡条件： w ( a b ) p ( a ，f ) = w ( b 寸a ) p ( b ，r ) 这个方法可以运用于任何一种概率分布，对于我们选择的玻耳兹曼分布来说， w ( a 专b ) p ( b ) e 。e 丑7 玎 w ( b 专a ) p ( a ) e e 一肿 = f 谴| 其中：a e = e ( b ) - e ( a ) ( 3 ) m e t r o p o l i s 算法 有很多种方法来选择w ，而满足上文所说的细致平衡条件。根据m e t r o p o l i s 算法，我 们选择一种非常简单的： w ( a 专b ) = p 越m ，缸 0 = 1e e ( 彳) ， 1 4 w ( a - - , b ) ：导- e ( b ) - e ( a ) k f ：p 址，盯 一= 一 = 卢一 w ( b _ 彳1 1 。 1 4 满足于玻耳兹曼分布的细致平衡条件。 或者，如果e ( b ) e ( 么) ， 形( b 专4 ) 品：p 删灯 e - e ( 占) 一f ( ) l ，七r l ， 也满足于玻耳兹曼分布的细致平衡条件。综上所述，m e t r o p o l i s 算法是一种能很好实现细 致平衡条件的算法。 1 4 2 计算机模拟 ( 1 ) 伊辛模型的m e t r o p o l i s 算法 对于伊辛模型，自旋翻转显然是一种改变位形的有效方法。当我们尝试同时改变很多自 旋时，e 将很大。接受这种改变的概率e 篮肿，将变得很小。所以选择单自旋翻转的方法。 对于单自旋翻转，肚仅仅取决于自身格点和最近邻格点上的自旋值。如果舡0 ，我 们就翻转自旋；如果衄 0 ，我们将以概率p 蛆7 打翻转自旋。 ( 2 ) 物理量的测量 利用m o n t ec a r l o 算法，我们产生了伊辛模型的位形。那么怎么处理这些位形呢? 我 能量e = - j ：s s ， _j 磁化强度m = 万1 军墨，= 三三 比热 c = 丙i 而o e = = 2 磁化率z = 丙i 瓦o m = ( ( m 一( m ) ) 2 ) = ( m 2 一 2 自旋关联：y ( r ) = ( 墨s + 1 ) 部分熵：& ( 丁) 暑一t r p p p ( t ) l n p p ( t ) _ 2 l n 2 - 三汕苦+ k l - y 2 ) 】 1 4 3 模拟过程中需要解决的问题 ( 1 ) 热化问题 1 5 在进行对物理量测量之前，我们要确保m a r k o v 过程已经热化，即系统已经到达平衡 态，使得尸( 彳，f ) = 尸( 彳) 。一个有效的检验方法是：分别从随机位形和有序位形出发进行 模拟，当所得到的结果相同时，说明在对物理量测量之前，系统已经达到平衡态。 ( 2 ) 各态遍历问题 很难证明由模拟所产生的位形是各态遍历的，因为可能在子空间之间存在高的势垒， 这就可能造成所产生的位形并没有包含所有可能的位形。特别地，在做有限时间模拟的时候， 情况更是如此。检验各态遍历的一个方法是：比较有不同初始位形开始的模拟结果。 1 4 4 数据的处理方法：有限尺寸标度理论3 4 ) ( 1 ) 有限尺度效应 当我们要研究具有大量自由度的宏观系统的时候，不可避免地要近似研究和模拟更小 的或离散的系统。这就导致了系统误差，我们称之为有限尺度效应。一般地，我们通过对不 同尺度系统的模拟来理解有限尺度效应，并且由此外推出无限尺度系统的一些性质。 对于自旋系统，我们研究一个含有n = 格点的d 维晶格。但是只有当三一0 0 的 时候，我们才能观察到相变。对于一个有限尺度的系统，我们在临界点观察到的是物理量的 一个光滑的高峰，而不是表征相变的物理量的发散。这个光滑的高峰随着三的增加而变得越 来越高和越来越窄，且高峰的位置会慢慢变化。 很多问题需要通过模拟不同尺度的系统，凭经验去外推出一个无限尺度的系统的性质。 但对于统计物理中的相变，一些优美而有用的理论结果已经存在着呢。 ( 2 ) 有限尺度标度 在一些情况下，例如二级相变，由有限尺度系统的渐进行为的形式可以推导出： g 嗽( ) 彤，c i 嗽( 三) 是系统尺度为三的比热的最大值。 i 瓦( 三) 一瓦卜，疋( ) 是系统比热c ( 工) = c 雠( 上) 时所对应的温度，t 。= t a r o ) y “( 三) ”，双( ) 是系统尺度为l 的磁化率的最大值 一8 ， m ( 正( 三) ) 三办，t ( 三) 是系统比热z ( l ) = 缸( 三) 时所对应的温度 s 口( 疋( 三) ) 一彤，r a l ) 是有限系统的临界温度。 上文列出的一些关系式非常有用，它们能帮助我们去推导出临界指数( 口，y ，y ) 和 1 6 1 6 临界温度疋( o o ) 。一般情况下，我们并不知道有限标度的形式，所以要试着将实验数据拟合 成标度函数或者模拟足够大的系统使结果趋向常数。 1 5 部分熵的引入与本文的研究工作 1 5 1 部分熵的引入 ( 1 ) 部分熵提出的背景 近年来，研究者们发现可以通过对量子纠缠的测量来量化量子相变5 - 1 4 、。研究者们发 现，在量子临界点附近，作为量子纠缠的一种度量，y o nn e u m a n n 熵显示出有限尺度标度行 为。这个方法能有效直接地得到量子模型中的量子相变。出于对应用y o nn e u m a n n 熵来研 究量子相变的成功来考虑，j u n p e n gg a o 等学者指出：对应于量子纠缠中的度量v o l ln e u m a n n 熵，经典热力学中可以用部分熵来度量热力学相变。通过对一些模型的研究，他们发现，在 临界温度附近，部分熵显示出非常好的有限尺度标度行为，并且找到了系统的相变点和一些 临界信息1 。在前人的基础上，我也试着利用部分熵来研究伊辛模型，得到了一些小结果。 ( 2 ) 系统部分熵的定义 5 _ 1 6 y o nn e u m a n n 熵的概念可以直接推广到有限温度丁的热力学系统： 1 对于量子正则系综， 丕统的蜜廑缒睦! 胛) = 三e x p ( 一h k t ) ，“1 ) h 为系统哈密顿量，z = t r ( e 一日7 灯) 称为配分函数，k 为玻尔兹曼常量。 丕缠酸缝； s = 一护p ( r ) l n p ( r ) ( 2 ) 查筐量塞塞圭( 基矢l 拧 ，hj n = e 。k ) ， = ( 刀协t ) - = 一；( 玎愀争驴) n 旁w ) 一；( 争引灯) 1 n ( 三p 喝肿)厶 厶 令见为密度矩阵的本阵值，那么p ( r ) k ) 2p 。h ) ，x m 为p ( t ) l ，z ) 2 壶e 一引玎i 挖) ，所以 a = - 乏1 g 瓦脚。所以， s = 一；c 圭p 也脚，蚁三e - e , k r ) = 一；见h 见“5 ， 差丝王窒廑缝隆的庭望：互丛庭竖约丝蜜廑缒睦； 砟( 丁) 暑甲( 即? 6 其中p ( 丁) 为系统密度矩阵，p ( 丁) = 专e x p ( - l - i k t ) ，t r _ 表示对除了子系统外的其他剩 厶p 余部分求迹。 再由约化密度矩阵定义系统的部分熵： ( r ) 兰一砟( r ) h 砟( r ) ：一羔t l l l 只- ( 7 ) 表示对子系统求迹，为约化矩阵砟( 丁) 在子系统h i l b e r t 空间中的本征值，巩为子 系统h i l l ) e r t 空间的空间维数。 2 对于经典正则系综： 丕统的佥查鱼錾 1 f ( c ) = 专e x p ( 一e ( c ) k t ) ( 8 ) 厶 e ( c ) 为系统的能量，z = e x p ( 一e ( c ) ) 称为配分函数，七为玻尔兹曼常量。 c 丕统的缝； s = - p ( c ) l n p ( c ) ( 9 ) c 丕统的部筮缝! 1 8 1 8 砩( r ) = 一p ( c ) l n p ( c 9 ( 1 0 ) c 其中c 表示子系统p 的位形状态，p ( c ) 表示子系统的分布函数。 ( 3 ) i s i n g 模型的部分熵的计算 研究的系统：系统哈密顿量日= 一厶墨2 墨。， ( 扩 其中s 2 = 1 ，( 耖 表示最近邻格点。 对硐阏i 、最迎邻阴聒点组厩阴系统p 计艽 ! ：约丝缝睦的盐篡! 砟( r ) - t r p _ p ( r ) 因为系统具有转动不变性，砟( r ) 与相互作用常量厶无关， 并且具有砟( r ) = 【1 + t ( t ) s 2 i s z 2 4 的形式 2 ：壑筮擅的盐簋； & ( 丁) 暑一t r p p v ( t ) l n p p ( t ) 由于子系统p 的本征态状态数为四个，不妨设子系统夕的h i l b e r t 空间的基矢为 i d = 1 1 。1 1 ：，1 2 = i 一1 ，p l l ：，1 3 ) = 1 1 ，固l l ：，1 4 = l 一1 ，p 1 1 ) ： ( 1 忡灿岛( 啪= i 1 + 孕) 畸+ 争 ( 2 l 俨m 俨) f 2 ) = 1 + 等) 畸卜华 ( 3 伽m 砟( 乃f 3 = i 1 一竽) 吒一华 ( 4 们m 咿) 1 4 ) = i 1 一竽) 畸一孥 所以， & ( 丁) 善一t r p p p ( t ) i n p v ( t ) 叫c + 竽，域 + 竽h 孑i + 孥h c 睾 + c 三一等，畸一华h i i 一竽m c 丢一孕， t c 丢+ 竽m c + 竽h 三1 一争k 三一华， 1 9 1 9 一一 - 2 1 n 2 + l l n ( 1 - r 2 ) + 考喘) 】 = 2 l i l 2 一丢汕茜地( 1 - y 2 ) “1 1 ) ( 墨。岛7 = t r l o ( r ) s 1 。逆” = 魄( 丁) 墨2 岛2 】 4 = 如i 砟( 丁) s 2 是。 刀) = 善4q i 华删，z ) = 丢喜( 拧隅( 啾m 2 ( 2 i 甩) = 去( ，z b 2 s 2 z + r ( r ) l 胛) t h = l = 丢喜如b 2 是2i 刀) + 丢喜( ，z 纱( 丁) l 玎) = 7 ( 丁) ( 1 2 ) 因此， r ( r ) = = t r p ( r ) s 1 2 曼2 】，r ( r ) 就可以通过计算机模拟算出来。 1 5 2 本文的研究工作 本文试着用部分熵对经典热力学系统进行一定的研究。我们研究的对象i s i n g 模型的三 种不同的情况。分别获得了均匀系统，准周期系统，无序系统的临界性质。均匀系统的部分 熵已经由j u n p e n g g a o 等学者研究过了我们的研究验证了他们的结果。而准周期系统的和 无序系统的部分熵的研究，是我们首次用部分熵的概念来研究的。并且得到了一些有意义的 结果。 第二苹均匀系统的性质 2 0 前言： 均匀系统的二维伊辛模型有着重要的价值，一是它揭示了二维伊辛模型存在二级相交 这个重要的结果，二是它有严格的解析解，可以用来检验我们的计算机模拟工作的准确性。 所以，我们首先来研究二维均匀系统的伊辛模型。 对于相变的研究，我们关注的焦点：一，是系统什么时候发生了相变乏；二，发 生了什么样的相变e ( 丁) 等物理量的行为；三，临界指数的确定。对于二维均匀系统的 伊辛模型，解析结果如下： ( 1 ) 相变的临界温度瓦- - 2 2 6 9 1 9 ( 2 ) g ( 丁) 以对数发散，表明系统发生了二级相变。 ( 3 ) 临界指数： 口一o ( 对数发散) ，= 丢，y = 三= 1 7 5 ，y = 1 接下来，我们通过计算机模拟来测量二维均匀系统的伊辛模型的一些物理量： 磁化强度m = 丙1 乍s ，n = l x 三 磁化率z n = 专券= ( ( m 一 ) 2 ) = ( m 2 一 2 自旋关联：7 ( 丁) = 随温度丁的变化规律其中，( m ) = 万= 专善m ( c ) ，m = 专军墨， n = l 三。我们所要研究的系统大小n = 三三= 1 0 0 x 1 0 0 。测量时，选择总m o n t ec a r l o 步数为m c $ 一- - - 1 0 0 0 ，在m c s l o 的情况下进行测量。测量结果如下： e 而l 0 0 ： 0 4 0 2 n o 图( 1 ) 初始位形为完全有序( 自旋全部向上) 。 芏 1 0 = 1 21 4 与1 8 2 02 22 42 62 83 0 t 图( 2 ) 初始位形为完全无序( 随机的选一半自旋朝上) 。 1 o o 4 1 21 41 e1 82 02 22 2 e2 83 o t 图( 3 ) 初始位形为随机选四分之一的自旋向上。 n 4 0 2 n o 1 21 41 鼻1 82 02 22 42 e2 e3 0 t 图( 4 ) 是将图( 1 ) ，图( 2 ) ，图( 3 ) 画在了同一个坐标系中。 图( 1 ) 的结果是在初始位形为完全有序化的情况下模拟得到的；图( 2 ) 的结果是在初 始位形为完全无序化( 随机的选一半自旋朝上) 的情况下模拟得到的。图( 3 ) 是在部分无 序( 随机选四分之一的自旋朝上) 的情况下模拟得到的。图( 4 ) 是由图( 1 ) ，图( 2 ) ，图 ( 3 ) 合并而成的。仔细观察图( 4 ) ，我们发现，对于不同的初始位形，最终的测量结果是 不同的。根据统计力学的知识可知：同一个物理量的统计平均值是和系统的初始位形无关的， 即不同的初始位形也应该得到相同的测量结果。其中的原因就是我们在对物理量 1 0 0 ，m c s 1 0 0 0 ，m c s 9 0 0 0 的情况下进行测量。模拟结果如下： 2 4 2 4 1 21 j1 鼻 1 j 2 o2 2 2 , 42 62 1 13 t 图( 5 ) 初始位形为完全有序( 自旋全部朝上) ，m c s 1 0 0 模拟得到的结果。 1 2 j1 jt , 82 02 22 42 , 6z 毒3 0 t 图( 6 ) 初始位形为完全无序( 随机的选一半自旋朝上) ，m e s 1 0 0 模拟得到的结果。 1 0 o 0 8 芒 罩0 4 卜 0 2 o o 1 21 jt 6 2 02 22 j2 鼻2 83 0 x a x i s 仙 图( 7 ) 为图(