（管理科学与工程专业论文）期权定价理论与不确定性投资决策分析.pdf

摘要 实物期权理论是期权定价理论的一种延伸与发展，该理论对于不确定性的投资决策尤为适 用。论文以金融期权的相关理论为起点，引入了实物期权的相关概念，分析了金融期权和实物期 权的关系，并对实物期权与传统的投资决策方法- - n p v 法进行了比较，指出n p v 法由于无法适 当的估计蕴含于投资项目中的管理灵活性的价值而往往容易造成对投资项目的低估：在两个实例 中通过使用不同的方法介绍了如何求解实物期权的价值。本文的重点是考察在同时存在不确定性 和竞争的情况下，如何用实物期权的理论估算投资项目的价值，为此，文中发展了两个模型。第 一个模型是对d i x i t p i n d y c k 的模型的扩展，它通过一个相关的随机变量来考察竞争对项目价值 的影响，但没有考虑企业间的相互博弈，文中给出了一个例子详细地说明了该模型的求解并做了 敏感性分析；第二个模型是一个不确定情况下的双寡头模型，文中给出了用实物期权方法计算的 两企业在处于领导者和跟随者两种不同境况时的价值，并将企业间的相互博弈考虑在内，考察了 可能的均衡状态。 关键词：实物期权，不确定性，期权博弈 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , ii n t r o d u c e dan e wm e t h o d ，n a m e l yt h ec o n t i n g e n tc l a i m sa n a l y s i so rr e a l o p t i o n s a n a l y s i s ( r o a ) f o rt h ed e c i s i o n m a k i n go fi n v e s t m e n tu n d e ru n c e r t a i n t y b e g i n n i n gw i t h f i n a n c i a l o p t i o n s ，i i n t r o d u c e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nf i n a n c i a lo p t i o n sa n dr e a lo p t i o n s ，a n dt h e nm a d ea c o m p a r i s o nb e t w e e nr o a a n dt h en p vm e t h o dw h i c hi sp o p u l a rn o wi nd e c i s i o n - m a k i n go f i n v e s t m e n t ， a n dt h r o u g ht w oe x a m p l e s ，i l l u s t r a t e dh o wt os o l v ef o rt h ev a l u e so fr e a lo p t i o n sb yv a r i o u sm e t h o d s ， s u c ha sb i n o m i a lt r e e sa n dd e f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s b u tm yf o c u sw a ss p e c i a l l yl a i do nt h e d e c i s i o n - m a k i n g o fi n v e s t m e n tu n d e r u n c e r t a i n t ya n d w i t h c o m p e t i t i o n ，if i r s te x t e n d t h eb a s i cm o d e lo f d i x i t & p i n d y c k sb ya l l o w i n gt h er e l e v a n tp a r a m e t e rt o b ear a n d o mv a r i a b l e t h e n p r o p o s e da r l n u m e r i c a le x a m p l e1 0s h o wh o wt os o l v et h i sm o d e l 1g a v et h ea l g o r i t h ma n dd i dt h e c o m p a r a t i v es t a t i c a n a l y s i s ，f i n a l l yid e v e l o p e d am o d e l o f d u o p o l y u n d e r u n c e r t a i n t y , c o n s i d e r i n g t h ec o m p e t i t i o nb e t w e e n t h ef i n n se x p l i c i t l y , u s i n gr o a ，ic a l c u l a t e dt h et w of i r m sv a l u e s r e s p e c t i v e l yw h e nt h e yt a k ed i f f e r e n t r o l e s - t ob el e a d e ro rf o l l o w e r , a n dt h e nc h e c k e dt h ep o s s i b l ee q u i l i b r i u m s k e y w o r d s ：r e a l o p t i o n s ，u n c e r t a i n t y , o p t i o ng a m e s 独创l 生声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国农业大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 时间：协# 年 月c 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国农业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫插等复 制手段保存、汇编学位论文。同意中国农业大学可以用不同方式在不同媒体上发表、 传播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：多乡前钐 导师签名 彩琢i 时间：叫彻年；月占日 时间：五一年；月日 中国农业大学硕士学位论文 第一章导论 1 1 论文的写作目的与意义 第一章导论 唯一不变的事情是万物都处于不断的变化之中。经济中的每一个个体都要面对不确定性因素 的影响，它的每一个行动的效果都由确定性因素和不确定性因素共同决定。帮助人们处理确定性 问题的理论现在已经发展的非常完善，但是到目前为止人们依然感到不确定性问题难以处理。 在大多数决策问题中我们都要面对不确定性因素的影响，这样，如何把随机性的因素考虑其中 井在不确定的环境中做出最优的决策就成为了一个非常重要的问题。幸运的是，人们面对不确定 性的时候并不是无所作为，在大多数情况下，决策者都或多或少的享有一种管理上的灵活性，这 种管理的灵活性使得管理者在环境变得有利或不利的情况下，都能采取相机的行动而使得企业的 价值最大化管理灵活性赋予企业的是一种权利，而不是义务。从这个角度看，管理灵活性具有 类似与金融期权的性质，因而理所当然的具有一定的价值。但是在现实的经济生活中很少有人能 够意识到管理灵活性的存在，更遑论它的价值了。 这篇论文的目的就在于分析不确定性对于投资决策的影响，对内嵌于投资项目中的管理灵活 性进行评估，在同传统方法进行对比的基础之上，提出一些新的决策方法，即动态规划法与实物 期权法( 或有要求权法) 。尽管这些新方法在投资决策中的应用近年来已获得了长足的发展，但 是它们依然不是投资决策理论的主流，还远远没有成为帮助决策者对投资项目进行评估的常用工 具。这不仅仅是因为这些新方法在数学上的复杂性无形之中阻碍了人们对其的认识与了解，更重 要的是因为人们在实践中往往不能全面的认识到不确定性和管理灵活性对于投资项目价值的影 响。 尽管传统的投资决策方法，比如净现值法，这是目前的主流方法，存在一些缺陷，尤其是它 们通常不能恰当的确定不确定性对于投资项目的影响并且几乎不能评估管理灵活性的价值，但是 这篇论文所着重描述的新方法也并不是万能良药，它们也有其自身的不足之处。因此，这篇论文 的目的并不在于彻底的否定那些简单并且流行的传统方法，本文仅仅是想表明在存在很大的不确 定的情况下，实物期权法( 或有要求权法) 的确比传统方法更具优势，从而也为决策者提供了一 个全新的视角。 实物期权理论的相关研究在理论上和实践上都具有很大的意义。一方面，实物期权和金融期 权之间存在着一种天然的联系，大多数的金融期权理论在经过一些修正之后即可直接应用于实物 期权的相关问题，甚至一些非常复杂的数学理论也都能在实物期权的相关研究领域中找到用武之 地，目前，实物期权理论的引人注目的一个发展是它与博弈论的结合，这种结合产生了一个新的 交叉学科，即期权博弈理论，这篇论文对这理论也有所涉及：另一方面。实物j j j 权理论的存在 与发展有其自身的合理性与必然性，在现实的经济生活中，存在着大量的具有管理灵活性的不确 定性的投资决镱问题，传统的方法，比如净现金值法会低估这些投资项目的价值，并且其误差在 有些情况下会非常之大，因此人们迫切的需要一种新的方法，这种方法能够用一种合理的方式将 不确定性和管理灵活性纳入到项目评估的过程之中。实物期权理论目前被认为是最有希望满足人 们这种需要的理论发展，这篇论文也同样反映了这种投资决镱理论发展的趋势。 中国农业大学硕士学位论文 第一章导论 1 2 拟解决的主要问题 本文主要关注两个相关的领域：第一，一些关于金融期权的理论分析，将实物期权处理为金 融期权的衍生物，然后将作为一种新的能够处理不确定性和管理灵活性的投资决策工具的实物期 权理论与净现金值法这一传统的方法进行对比，尽管这些内容己被其他的一些学者探讨过，如 d i x i t p i n d y c k ( 1 9 9 4 ) ，但是由于这些内容是整个论文逻辑结构中不可或缺的一环，文中仍然对 其进行了相当详尽的讨论；第二，实物期权理论在不确定性投资决策中的应用，特别地，论文的 重点放在了既存在不确定性又具有竞争的投资项目的决策上，论文也将借助于期权博弈理论处理 这种问题，在这个过程中，将先后建立两个模型，第一个模型较为简单，它来源于d i x i t p i n d y c k 的模型，本文通过将其中的参数设置为随机变量扩展了他 f 】的模型，并设计了相关的算法，第二 个模型关注的是不确定情况下的双寡头竞争的问题，文中提出的模型采用的是d i a s & t e i x e i r a 模 型的框架，但是考虑的是当两个企业不对称时的情况，这是更为复杂的一个模型，除了相关的数 学求解外，还解释了所得到的结果的经济学含义。 1 3 文献综述 因为这篇论文所要解决的主要问题要涉及到金融期权、实物期权以及期权博弈的相关理论， 所以本文将分三部分回顾这些理论的发展，第一部分为金融期权，第二部分为实物期权，第三部 分为期权博弈理论，为了保持完整性，把第三部分内容放在了第五章。 c o x ，r o s s & r u b i n s t e i n 最早建立了单期买入期权和多期买入期权的二项式定价公式，但是建 立在严格的数学分析基础之上的期权定价理论和或有要求权的分析方法却首先是由布莱克和斯 科尔斯( 1 9 7 3 ) 和莫顿 爿时对持有者来说最佳的选择是执行期权，持有者获得 的利润将会达到s ，一x ，当曲 x ，这意味着n p v 为正值，接受投资项目：如果v - x x 。 假设在初始项目已经完成的时刻，公司有另外的n 年时问来决定是否进行扩张，超过了这个 有效期，公司将不能再享有扩张期权所带来的便利。在这些假设条件下，可以得出结论：扩张期 权同样类似于美式买权，因为它可以在有效期内的任意时刻执行。 假设一家公司正在考虑在法国建立一家小商店根据目前的判断，这家小商店将会带来1 1 0 万法郎的流入现金流的现值，建立这家商店的成本为1 2 0 万法郎，因此该公司从它的这一初始投 资项目中所获得的净现值为一1 0 万法郎，但是这一初始的投资项目却使得公司有权利在今后5 年 内的任一时刻将这一家小商店扩张为一家规模更大的商店。假设扩张的成本为2 0 0 万法郎，目前 扩张后的流入现金流的现值预计会达到1 5 0 万法郎，这种流入现金流的现值有很大的不确定性， 比如市场份额的大小、竞争强度的变化等等。现值的方差为0 0 8 ，5 年期的无风险利率为6 。 根据上面的信息，用以估计扩展期权价值的参数如下： 标的物资产的价值= 1 5 0 万法郎； 执行价格= 2 0 0 万法郎： 标的物资产价值的方差= 8 ： 有效期= 5 年： 无风险利率= 6 。 和前面一样，本文将使用数值方法来计算这个扩张期权的价值。这里采用前面提到的有限差 分法，使用隐性差分法所需要的参数如下： = 4 0 。 h = 2 0 0 a t = 0 0 2 5 ， s = 1 0 。 用这些参数值。可以使用m a t l a b 实现相关的算法( 见附录a 和附录b ) 。运行相关的程序 后即可得到扩展期权的价值，结果是1 1 4 4 万法郎，也就是说初始投资项目所蕴含的扩张期权的 价值约为1 1 4 4 万法郎，所以，初始投资项目的价值就等于净现值( 1 0 万法郎) 加上扩展期权的 价值( 1 1 4 4 万法郎) ，这等于1 4 4 万法郎。 1 8 第三章不确定性投资决策分析 在第二章，本文通过两个简单的例子计算了实物期权的价值，但是并没有考虑如何做出最优 的投资决策，这一章将主要关注这一问题，首先本文将给出d i x i t 和p i n d y c k 的基本模型。 3 1 基本模型 假设投资项目的价值为y ，该投资项目要求的沉没成本为，。v 服从几何布朗运动： d v = a v d t + c r v d z ，( 1 ) 其中出是一个维纳过程的增量，这就是说d z = 。础，占，是服从标准正态分布的随机变量。d 是期望的增长率，盯是价值百分比变化的均方差。很明显，即便投资项目现在的价值是知道的， 投资项目在未来的价值也是不确定的。方程( 1 ) 只是现实生活的一个抽象，尽管在某些情况下 也许用其他的随机过程来描述投资项目价值的变化是更为合适的，但出于计算的简便起见，本文 主要考虑投资项目的价值服从几何布朗运动的情况。 文中所要解决的问题可分为三部分：一、求出投资项目的价值；二、确定投资机会的价值( 也 就是实物期权的价值) ；三、确定最优的投资决策。 从前面的分析已经知道公司的投资机会实际上是公司所拥有的对未来可能收益的要求权，这 相当于是一神买权，它是一釉权利但不是义务。这样就可以使用推导金融期权价值的方法求得投 资机会的价值。此外，还可以借助动态规划法确定投资机会的价值，在本文的模型中将同时使用 这两种方法并比较由这两种方法所得到的结果。 在后面的章节中投资机会的价值，也就是实物期权的价值将用f ( y ) 表示，因为文中考虑 的是不确定情况下的投瓷决策问题，所p a o - 0 。现在要做的是确定一个阐值v ，当v v 时 实施投资项目，也就是执行实物期权将是最优的决策，而当v 口，或者占 0 。这样可以得到f ( v ) 必须满足的微分方程： 盯2 矿2 f ”( 矿) + ( p - f i ) v f 。( 矿) 一p f = 0 。( 3 ) 进一步的，f ( 矿) 也必须满足下面的边界条件； f ( 0 ) = 0 ，( 4 ) f ( v ) = v 一i ，( 5 ) f ) = 1 。( 6 ) 条件( 4 ) 通过方程( 1 ) 可以看得非常清楚，它说明一旦v = 0 ，那么就有d v = 0 ，这样它 将会永远停留在零点，所以当v = 0 时，投资机会将不再有任何价值。另外两个边界条件是由最 优投资决策的含义推导出来的在v 的闽值点v + 处，决策者对于立即投资还是继续等待两者的 态度是没有差别的，这就是边界条件( 5 ) 的含义。也可以从经济学的角度解释方程( 5 ) 的含义， 如果投资者立刻投资，将会得到投资项目的价值v ，但同时他也将失去投资期权以及它的价值 f ( v ) ，这样，除去机会成本f ( v ) 后，投资项目的收益为v f ( v ) 。在阈值v 处，立即投资 的净收益为v 一f ( v ) ，它应当等于投资项目的直接成本，也就是v 一f ( v 。) = 1 。重新 排列一下这个方程，可以得到v = i + f ( v ) ，这个表达式说明在阈值v 处，投资项目的收益 等于投资项目的直接成本加上机会成本。另外，在阈值v 处，a ( v ) ，代表投资项目的净收益， 一2 0 中国农业大学硕士学位论文 第三章不确定性投资决策分析 它应当和f ( v 1 相切，这就是边界条件( 6 ) 的含义。 注意方程( 3 ) 是一个二阶常微分方程，但现在却有三个边界条件需要满足，腺闻是尽管条 件( 4 ) 是已知的，但闽值v 。却是未知的，它必须作为整个解的一部分加以确定，条件( 5 ) 和 ( 6 ) 的作用就在于此。 现在就可以利用边界条件求解微分方程( 3 ) ，注意到方程( 3 ) 就它的变量和其导数而言是 线性的，我们可以用标准的程序求解这个方程，方程( 3 ) 的通解可以表示为 f ( y ) = a 1 v a + a 2 v 虎，( 7 ) 其中a 和a 2 是待确定的常数，卢，和声2 是下面的二次方程的两个根 盯2 声( 卢- 1 ) + ( p 万) 一p = 0 ，( 8 ) 卢。= 一( p j ) 盯2 + i 万二j 万：了= 亍_ _ 万 1 ， ：= 一( p 一万) 盯2 一 ( ，一万) 盯2 一 】2 + 2 p c r 2 1 ，由方程( 1 0 ) 可知，v 要大于，。这个结果明显的 说明只有当投资项目的价值比直接的投资成本大丢鲁一1 倍时，投资项目才会被实施。但是净 现值法却指出只要投资项目的价值y 大于投资的直接成本，就应当立即实施投资项目，这也说 明在有些时候使用净现值法是不合适的。 3 1 2 实物期权法 在这一部分本文将使用或有要求权法( 实物期权法) 完成和上一节相同的丁作。但是为了应 用实物期权法，必须引入一个主要的假设条件：y 的随机变化必须能够被市场中已经存在的资产 所复制。资本市场必须具有充分的完备性以使得任何一个人都能找到一个资产或动态的投资组 合，这个资产或投资组合的价值和矿的值完全相关。动态投资组合是指它的组成会随着资产的价 格的变化而不断的调整，这个可复制性的假设对于大部分在现货市场和期货市场上交易的商品而 言都是成立的，但是也的确存在这一假设不成立的情况，如果这种情况发生了，尽管不能再使用 一2 l 中国农业大学硕士学位论文第三章不确定性投资决策分析 实物期权法，但是动态规划法依然成立。在这一部分的结束部分，文中也将讨论动态规划法和实 物期权法之间的关系。 用x 表示和矿完全相关的资产和投资组合的价格t 用p 。表示，和整个市场投资组合的相关 系数。因为x 和v 完全相关，所以p 。= p 。另外也假设这个资产或投资组合没有股利分红， 因此它的全部收益都来源于资本收益。x 和y 服从相同的随机过程，也就是说， d x = 缎d + o - x d z ， 其中，漂移率，是持有这个资产或投资组合的期望收益率，盯是比例变化的方差。根据资本资 产定价模型( c a p m ) ，“可以表示为 x = ，+ 咖。盯， 其中，是无风险利率，西是风险的市场价格。用口表示v 的期望的比例变化率并且假设口小于经 过风险调整的收益率，用占表示和口之间的差，也就是艿= 一口，这样实际上是在假设 占 0 。因为是项目完成时的期望收益率，所以可以把占看作是项目支付的红利，也就是推迟 项目实施的机会成本。如果占= 0 ，推迟项目的实施就不会有任何的机会成本，延迟期权将会被 保留，无论投资项目的净现值有多高，决策者都不会进行投资。如果j ，推迟项目实施的 机会成本将会变得非常巨大，延迟期权的价值将趋近于零，文中所说的问题将蜕变为只有一种选 择的问题一要么现在投资，要么永不投资，而这正是标准的净现值法适用的情形。因此假设占 0 是非常合理的。 为了一致起见，文中用f ( 矿) 表示公司投资期权的价值。实物期权法的基本思想是：首先构 造一个无风险的投资组合，计算出它的期望收益率，在一个完备的市场中，由于不存在套利机会， 所以它的期望收益率应当等于无风险的市场利率，通过这个关系，就能建立起f ( 矿) 所必须满足 的微分方程。 可以这样构造投资组合：持有一份投资期权，它的价值为f ( v ) ，并且卖空n = f ( y ) 份投 资项目。因为在从一个较短的时间间隔到另一个较短的时间间隔内，f ( 矿) 会随着v 的变化而变 化，所以这样构造的投资组合是动态变化的。但在每一个很短的时间间隔内，可以认为”= f ( 矿) 是固定不变的。这个投资组合的价值为 m = f f ( 矿) y 。 注意为了确保所构造的投资组合能够成立，这个组合的空头者必须要付给这个组合的多头者 8 v f ( 矿) 美元，否则理性的投资者将不会进行这笔交易。前面的讨论已经说明j 可以被看作是投 一，一 资项目的分红，它应当被该投资组合的多头者所获得。在所构造的投资组合中总共有n = f ( y ) 份卖空的投资项目，所以应付给多头者的红利应达到b v f ( 矿) 美元，则在个很短的时间间隔d t 内，持有该投资组合所获得的全部的预期收益为 e ( d f f 。( v ) d v 一6 v f ( 矿) 撕) 。 用伊藤定理把d f 展开可以得到 d f = f ( v ) d v + f ( 矿) ( d 矿) 2 。 把这个方程带入到上面的表达式中，投资组合的总收益变成了 e ( f ”( 矿) ( d 矿) 2 一( ，p 下( 矿) 出) 。( 1 4 ) 由方程( 1 ) 知道 ( d 矿) 2 = 口2 v 2 ( 西) 2 + 2 a t c r v 2 d t d z + 盯2 v 2 ( 出) 2 。 这个方程右边三项的阶数分别是( 2 ，( 研) 和廓。第一项和第二项的阶数比第三项的阶 数高，所以在求极限的过程中，它们将比第三项更快的趋近于零，因此可以忽略掉这些项，并得 到 y ) 2 = c r 2 v 2 ( 沈) 2 。 已经知道五( ( 出) 2 ) = d t 。这样表达式( 1 4 ) 可以写成 圭盯2 矿2 f ”( v ) d t 一胛( v ) a t 。 注意到这个收益是无风险的，根据在完备的市场中不存在套利机会的原则，这个收益必须等 于，商卉= r f f ( v ) v a t ，于是可以得到如下的方程： 盯2 v 2 f ”( v ) a t j k f ( 矿) 出= r f f ( v ) v a t 。 将上面这个方程两边同时除以西并重新整理可以得到 盯2 v 2 f “( 矿) + o 一5 ) v f ( y ) - r f = 0 。( 1 5 ) 观察这个方程，除去用无风险利率r 代替折现率p 外，它和前砸文中用动态规划法所推导出 来的方程( 3 ) 几乎完全一致，出于同样的原因，边界条件( 4 ) 一( 6 ) 在这里依然适用。可以 用和动态规划法中一样的程序来求解这个微分方程，这样就可以得到f ( v ) 和阈值v 。也可以说， 在风险中性的假设条件下( 也就是，折现率等于无风险的市场利率) ，使用实物期权法和使用动 。我们已经说过在一个很短的时间间隔d t 内，以= f ( y ) 是保持不变的。所以这个表达式不包含讲一( ) 。 一2 3 3 1 3 比较静态分析 前而已经指出仃的值越大，所求得的闽值矿+ 也将会越大，现在就来详细的说明这一事实。 因为在已经确定的条件下，阈值矿将完全由届的值确定，所以可以首先考虑届和仃之间的关 系。用。表示方程( 8 ) 的左边的那一部分，也就是 o = 盯2 p ( p 一1 ) + ( p 一占) 一p 。( 1 6 ) 因为现在考虑的是届和盯之间的关系，所以可以忽略掉其他参数的影响并把它们当作已知 的变量，这样可以把o 当作p 和盯的函数并重新写成 = ( 卢( 盯) ，盯) 。 在点届处求 关于盯的全微分可以得到 嚣乱+ 剖m - o ，m ，妒a 盯i 口： a 盯i ，呐 其中o o t a a = 矽( 卢- 1 ) 0 ，届 1 。 为了判断日臼归盯在点届处的符号，需要首先确定a 9 口卢在在点届处的符号，这看起来似 乎非常困难。首先回到方程( 1 2 ) ，出于便于分析 关于p 的偏导数的目的，把方程( 1 2 ) 看作 是p 的二次方程。利用已知的信息，可以得到下列关于这个二次函数的图形的一些特征： 第一，2 前面的系数是 盯2 ，这是一个正数，因此它的图形是一个开口向上的抛物线。 第二，这个二次方程有两个根，即届和p 2 - 届是一个大于l 的正数，p 2 是一个负数。 利用这些信息，可以得出结论：抛物线在点届处的切线的斜率，也就是刮p 卢，为正数， 这样由方程( 1 7 ) 可以明显的看出在点l 处，a p a a 的符号为负，这说明p 和盯将朝相反 的方向变化。现在转到方程( 1 0 ) ，并注意到闽值矿是变量屈的减函数，因而即是变量仃的增 函数，这也就是说盯的值越高，阈值v + 的值也会随之越大。也可以使用类似的方法分析其他参 数值对闽值v 的影响。 中国农业大学硕士学位论文第三章不确定性投资决策分析 3 1 4 动态规划法与实物期权法的关系 动态规划法和实物期权法之间最主要的区别在于它们对各自参数的不同处理。动态规划法把 折现率p 看作是一个外生变量，它并不是由模型本身所决定的。但在实物期权的分析方法中，资 产的期望收益率却是由整个资本市场的均衡状态所决定的，只有无风险的市场利率被当成是外生 变量，从这个角度看实物期权法比动态规划法更有优势。但是应当记住在使用实物期权法的时候 必须要满足一个主要的假设条件，即可复制性假设，这是一个相当苛刻的假设条件，但是在使用 动态规划法的时候并不要求这个假设条件，所以动态规划法的应用范围比实物期权的更为广泛， 这一点平衡了动态规划法和实物期权法之间的关系。 3 2 基本模型的扩展 到目前为止，本文已经使用了动态规划法和实物期权法讨论了基本模型，在讨论的过程中隐 含着一个重要的假设条件，即在文中的基本模型中，对于相同的投资项目，市场中不存在竞争者， 因此公司对于投资项目所带来的未来可能的收益的要求权是排他的。由于政府管制、知识产权保 护、技术壁垒以及自然垄断等原因，这种无竞争的假设在很多情况下都是成立的，但是的确还是 存在一些这一假设不再成立的情况，下面我们就转向对这一问题的讨论。 首先假设这样一种情况：公司享有的专利使得它有权实施某一投资项目，该投资项目的价值 为矿，与此同时，其他的公司也在做相关的研究，如果获得了成功，它们也将有权实施一个类似 的投资项目。如果这些潜在的竞争者成功的进入了同一个市场中，竞争的结果将使得利润降低， 从而减少项目的价值v 。假设如果潜在的竞争者进入到了同个市场中并和已有的公司展开竞 争，那么v 将会下降到它原来值的( 1 一倍。a v i n a s hk d i x i t 和r o b e r ts p i n d y e k 已经用动态规 划法研究了妒为一个固定的小数的情况。本文将扩展他们的模型，考虑妒为一个随机变量时的情 况，在这一章的其余部分，将给出这一模型，在接下来的一章，本文将通过个数值例子来说明 整个过程。 3 2 1 基本模型的修正 为了修正基本模型，假设v 服从几何布朗运动和跳跃过程的混和过程 d v = a v d t + c r v c l z v d q ，( 1 8 ) 其中幽是一个泊松过程的增量，它的平均到达率为五，也就是说， ，f 0w i t h p r o b a b i l i t y l 一九d t a q = 1 。 阈值矿和未知常数4 l 可按下式确定： v ：l ， 崩一1 a l = ( 矿一s ) ( v + ) = ( p l 一1 ) 岛1 【( 届) 届， 1 】。 3 2 4 比较静态分析 现在己经求得了问题的解，下一步本文将分析当模型中的参数变动的时候。所求得的闽值y 将会如何变化，也就是说本文将做比较静态分析。在这个模型中本文尤其关注阈值矿+ 和平均到 达率兄之间的关系，因为z 是扩展模型中唯一的一个新出现的参数。 为了比较方便的进行比较静态分析，用 来表示二次方程( 2 5 ) 左边的那一部分，也就是 = 吉叮2 ( 声一1 ) + ( 岱一 e ，谚一妇。叮2 + 旭，细2 ，) 多一r 注意到这个二次方程有两个根，即属 1 和屈 0 ，所以这个 函数的图形是一个开口向上的抛物线。因此，在点处该抛物线切线的斜率一定是正数，也就是， 一2 9 塑l 0 。( 2 6 ) 妒j 脚， 可以把 看作是和兄的函数，又因为在点= l 处，也可以看作是旯的函数，所以可 以把 写成 o = ( ，2 ) 。 在点= 届处求o 关于和五的全微分，可以得到 塑望l+ 塑 ：0 。( 2 7 ) 妒觑l ，：且觑i 脚， 经过简单却又繁琐的计算，可以得到 乱吨+ 器孙z s ， 从不等式( 2 6 ) 和( 2 8 ) 以及等式( 2 7 ) ，可以攉知 盟 o ， 这个不等式说明届和旯将朝同一个方向变化，或者说届是a 的增函数。已经知道阈值矿+ 是属的 减函数，所以闽值v 是五的减函数，这也就是说，五的值越高，所求得的v 的值将越小。从直 观上也可以理解矿和兄之间的这种关系，因为a 的值越高，在下一个很短的时间间隔内y 的值 下降的可能性，a d t 。也将会越大这意味着延迟投资项目将会产生一个更大的机会成本，而这 将导致一个较低的阈值v 。实际上，a 对矿有两种相反的作用效果，其中的一个正如本文上面 所描述的那样，可把这种效果称为负作用，而另一个效果并不容易识别出来。注意到现在矿的比 例变化的均方差为_ 、0 2 + 旭。 2 ) ，很明显z 的值越高，这个均方差的值也将会越高，而由本 文前面的分析知道，均方差的值越大，闽值v 的值也将越大。因此，五的值增加将会引起v 。也 随之增加，这就是丑对v + 的另一种作用效果，可称之为正作用。a 对v + 的最终的影响效果将由 这两个作用的相对大小决定，可以通过直接求y 关于a 的导数更清楚的看到这两个作用效果： 一3 0 a v ：丛盟 0 九8 8 。8 忑 1 盯2 ( 届一1 ) 2h 引卅嵩， +蹦卅嵩 其中在花括号中带负号的那一项就是负作用，带正号的那一项是正作用，因为正作用的分母大于 i ，所以正作用的绝对值要比负作用的绝对值小，因此，最终的结果由负作用决定。 到目前为止，本文已经完成了对扩展模型的讨论，下一章将通过一个数值的例子说明如何求 解文中用动态规划法得到的微分方程，并给出最优的投资决策。 中国农业大学硕士学位论文第四章投资理论的应用 第四章投资理论的应用 在这一章，本文将研究上一章中由动态规划法所得到的扩展模型的微分方程的数值解法，也 就是方程( 1 9 ) 的数值解法，同样的，其后文中也将做比较静态分析，最后给出了最优的投资决 策。 4 1 算法 为了方便起见，在这里重新引入方程( 1 9 ) 盯2 y2 ，”( y ) + p 一8 ) v f ( y ) 一p + ) f ( 矿) + 弛 f ( 1 一妒) 矿】) = 0 。( 1 ) 所需要的边界条件为： f ( o ) = 0 ，( 2 ) f ( v + 1 = v 一，( 3 ) f i ( y ) = 1 。( 4 ) 注意方程( 1 ) 是一个随机的微分方程，因为伊是一个随机变量，所以要求得这个方程的解 析解将非常困难。在开始处理这个棘手的问题之前。首先看一下，如果舻为常数的时候如何求解 方程( 1 ) ，在这种情况下，方程( 1 ) 变成了一个普通的常微分方程，它的解的形式为f ( v 1 = a v ， 但是现在届是下面这个更为复杂的非线性方程的正根： 盯2 p ( p 1 ) + p - 8 ) p 一驴+ a ) + 旯( 1 一妒) 4 = 0 。( 5 ) 方程( 5 ) 的正根届可以用数值方法求得，在届已经求得的情况下，闽值矿和常数一可由 如下等式求出： v ：i _ ，( 6 ) 届一l a = ( 矿一o ( v ) a = ( 届一1 ) 即1 【( 届) 且，刖】，( 7 ) 现在回到文中的问题上来，从方程( 6 ) 和( 7 ) 可以看出，如果能够求得一个芦的近似解， 那么v 和a 的近似解都可以相应的求出，因此求出届的近似解对整个问题而言是至关重要的， 下面首先就来求届的近似解。 一3 2 在1 , o 的分布已经确定的情况下，根据上面的分析和大数定理，可按如f 步骤得到届的近似 首先，抽取一个随机数，用妒l 来表示，仍是一个和妒有相同的分布的随机变量的一次随机 抽样。 第二，在方程( 5 ) 中用仍代替妒，使用数值方法，比如二分法，求解这个方程并得到正根 届。 第三，重复上面的两步行次，得到尼，i = 1 , 2 ，h 。对每一个f ，计算。的算术平均数， 岛 用属表示，也就是，厦= 上 ，f - 1 ，2 ，3 ，珂。然后计算万的均方差，用c 表示，也即 c =丽 互 其中万= 上；一，z 的值应能使得c 占，其中占是一个事先确定的误差范围，通常占取很小的 值，比如s = 0 0 0 3 ，可以把厦看成是属的一个近似值。 第四，根据等式( 6 ) 和( 7 ) ，用届的近似值厦分别求出矿和彳的近似值。 4 2 一个算例 在这一部分，本文将通过个数值的例子详细的说明上述算法。首先定义p 的分布，为了简 便起见，定义妒服从区间( 0 ，1 ) 上的均匀分布，也就是说，伊的概率密度函数为： 驰) = 怯慧1 。 其他参数的值可以这样选择：丑= 0 i ，r = 占= 0 0 4 ，：0 2 ，：1 。 本文已经使用m a t l a b 编写了相应算法的程序，整个程序包括了三个扩展名为“m ，的文 件，第一个文件的名字为“e r f e n i n ”，它是用来求解非线性方程( 5 ) 的，程序代码如f 。 e r f e n m f u n c t i o ny 2 e r f e n 1 ( f u n ，a ，b ，e s p ) i f n a r g i n 4e s d = 1 e 4 ；e n d 一3 3 i f r e v a l ( f u n ，a ) + r e v a l ( f u n b ) e s p i ff e v a l ( f u n ，a ) + f e v a l ( f u n ，c ) 5 0 0 0 0 b r e a k e n d e r f e n l ( f c ，0 ，1 0 ，0 0 0 0 1 ) ； y o ，m ) = a r t s ； s b = y ( 1 ：l ，l ：m ) ； b ( i ，m ) = s u m ( s b ) m ； s v = b ( i ：1 ，1 ：m ) ； a b = s u m ( s v ) m ； f e h a = s v - a b + o n e s ( 1 ，m ) ； c ( 1 ，m ) = “1 ，( m 一1 ) ) + d o t ( f c h a , f c h a ) ) 0 5 ； e n d i f m 5 0 0 0 0 b i = b ( 1 ，m - 1 ) ； e l s e b i = b ( 1 ，m ) ； e n d v s t a r = ( b i ( b i 1 ) ) + t ； a c o n = ( o a i - 1 ) ( b i - 1 ) ) ( b i “b i + 州b i - 1 ) ) ； r e s = a c o n ，v s t a r , b i ； d i s p ( r e s ) 这个文件用来实现算法中的第三步和第四步。可以看到文中选择的误差范围占等于o 0 0 3 。 注意这个程序中有一个循环，它确保了当计算误差超过事先确定的值时，程序将一直运行下去。 但是在程序运行的过程中有可能会出现这样一种情况：计算误差依然大于事先确定的闽值，但是 计算的收敛速度将变得非常缓慢，这意味着为了使计算误差达到文中的要求，程序将循环运行非 常多次，在最糟糕的情况下，程序的运行将永远不会停止。为了排除掉这种意外情况，文中为程 序的循环次数规定了一个最大值，在该程序里这个最大值为5 0 0 0 0 ，这足以使计算结果的达到令 人满意的精度，如果程序已经循环运行了5 0 0 0 0 次，那么它将自动终止，通常情况下，程序的循 环次数越多，计算结果的精度也会越高但这个过程也将是非常耗费时间的，因此，需要在运算 时间与计算结果的精度之间做一个权衡。相反在程序的运行过程中还可能出现另外一种可能： 程序只经过很少的几次循环就终止了。只经过几次循环运算而得到的结果一般来说是不可靠的， 3 5 如果这种情况发生了，解决的办法将非常简单，只需要再运行一次程序般说来，这种情况连 续发生的可能性非常小。 经过在m a t l a b 中执行上面的计算程序，可以得到这个数值例子的箍终结果： 最= 2 7 5 1 3 ，v + = 1 5 7 t 0 ，a = o 1 6 4 8 。 因此公司投资期权的价值f ( y ) 可以表示为 f f 矿1 = 0 1 6 4 8 v 27 5 ”，v 1 5 7 1 0 。 4 3 比较静态分析 在这一部分，本文将做比较静态分析，也就是说本文将分别研究。，v 和a 对参数盯 五和j 的依赖程度。因为在上节的例子中，不能把届，v 和4 表示参数盯，五和j 的显函数， 所以本文将用数值试验的方法说明当自变量变化的时候，变量将如何变化，本文已经做了相关的 工作，计算的结果放在了下面的表格中。 4 3 1 盯对届，v 和4 的影响 表4 i 盯对肛，v + ，a 的影响 注意：i = 1 ，= 万= 0 0 4 2 = 0 i 。 3 6 中国农业大学硕士学位论文第四章投资理论的应用 图4 1 投资机会的崭值，仃= 0 2 和o3 正如前面分析的那样，从上面的表格中可以看出，随着盯的增加，阈值矿也在同时增加但口 却在减小，这和前面的结论是一致的。当仃= 0 2 时，闽值v 大约是投资项目直接成本的2 倍。 当口= 0 9 时，阈值矿大约是直接成本的1 3 倍，因此，不确定性不仅为公司创造了价值，而且 其对公司价值的影响也是非常显著的。不确定性实际上正是公司投资期权价值的源泉。图4 1 显 示的结果与表4 1 完全相同，最下面的直线代表v i ，从图中可以看出，当仃= o 3 时f ( v 、与 矿一i 的切点位于当盯= 0 2 时f ( y ) 与矿一，的切点的右侧。 4 3 2 丑对届，v 和a 的影响 中国农业大学硕士学位论文第l ! ! j 章投资理论的应用 表4 2 a 对l ，矿+ 和一的影响 注意：= 1 ，r = d = 0 0 4 ，盯= 0 2 。 v 图4 2 投资机会的价值，丑；o i 和0 5 可以看出表4 2 中的结果与前面得到的结果一致，较大的丑值将会导致一个较大的届的值和 一个较小的y 的值，因为丑的负作用大于它的正作用。同盯相比，兄对阈值y 的影响较为温和 从图4 ，2 中可以明显地看出，和五= o 5 时相比，a = 0 1 时的闽值矿更大。 4 3 3 占对届，矿和彳的影晌 一3 8 中国农业大学硕士学位论文第心章投资理论的瘦用 表4 3 j 对崩，v 和彳的影响 注意：i = 1 ，= 0 0 4 ，盯= 0 2 ，a = 0 1 。 v 图4 3 投资机会的价值占= o0 2 和0 0 8 在前面的章节中，本文并没有特别的研究占对阐值v + 的影响，但从表4 3 中可以看出d 和矿 朝相反的方向变化，较大的艿将会产生一个较小的v 值，反之依然。这是因为艿被看作是投资 项目的红利率万的值越大，延迟投资项目的实施将会导致一个更大的机会成本。图4 3 也说明 了占和阈值v 之间的这种关系。 4 4 最优投资决策 在这一部分，本文将给出这个数值例子的最优的投资决策，为了便于说明，把f ( 矿) 和v i 在同一张图中表示出来。从不同的角度看，公司的投资机会可以有两种含义：第一，投资机会赋 予公司一种对未来的可能收益的要求权，这实际上是赋予公司了一种期权。在公司实旅投资项目 3 9 中国农业大学硕士学位论文第四章投资理论的应用 之前，没有任何现金流发生，公司的全部价值f h 它所拥有的投资期权的价值组成；第二，公司的 投资期权也可以看成是公司实施项目的机会成本，实施投资项目就意味着投资期权的执行，因而 它的价值也将随之消火。 图4 4f ( y ) 作为v 的道数 在图4 4 中，f ( v ) 的曲线与直线v i 相交于a 点，在该点处v = v = 1 5 7 。当v 矿一i ，所以有v v 时，也就是说矿进入到了执行