人教版选修21第三章两个向量的数量积讲义

案例（二）精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 两个向量夹角空间两个向量与的夹角的定义与平面内向量与的夹角的定义类似。（1）定义：已知两个非零向量，在空间任取点，作，如下图，则叫做向量与的夹角，记作。（2）的取值范围：，在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且。（3）如果，则称与互相垂直，记作。知识点二 异面直线及两异面直线所成角异面直线：把不同在任一平面内的两条直线叫做异面直线。两条异面直线所成的角：把异面直线平移到一个平面内，这时两条直线的夹角（锐角或直角）叫做两条异面直线所成的角，如果所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直。点拨（1）两个向量的夹角是将表示两个向量的有向线段的起点重合而形成的角。（2） 两条相交直线的夫角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是，而向量的夹角可以是钝角，其取值范围是。知识点三 两个向量的数量积（1）定义：已知空间两个向量，总可以把它们平移到一个平面内，把平面向量的数量积叫做两个空间向量的数量积（或内积）。（2）两个向量的数量积是一个实数，这个实数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关。其关系为：当时，；当时，；当时，。（3）空间两个向量的数量积的性质： 性质 作用 理解数量积的几何意义 解决有关两向量垂直的问题 可以进行数量积的运算与模的转化 比较大小或证明不等式（4）空间两个向量的数量积的运算律：（a）b=A（ab）；交換律：；分配律：。 典型例题分析 题型1空间向量数量积的定义 【例1】（1）已知空间向量满足，试求；（2）已知向量满足，且，试求。 解析 应用向量数量积的定义计算。 答案 （1）。（2）由题设条件知：，于是，。 规律总结 （1）理解了空间任意两个向量都是共面的，就可以将空间任意两个向量的数量积、夹角及其范围、模、性质和运算定律转化为平面向量的相关问题；（2）根据向量的数量积的运算定律，在求两个向量数量积时，可以接照多项式的乘法那样进行去括号计算。 【变式训练1】 已知向量，且，试求：（1）；（2）；（3）。 答案（1）；（2）；（3）。【例2】 如下图所示，在棱长为1的正四面体中，点分别为棱的中点，试计算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）。 解析 要计算向量的数量积，只要求出对应向量的模及夹角，再根据向量数量积的定义求解。 答案 在棱长为1的正四面体中，（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，又，所以，所以；（4）因为，又，所以。规律总结（1）在计算向量数量和的过程中，一般都要用到向量的夹角的确定，这里要注意向量夹角与射线所成角的联系和区别。例如，在第（2）小题中，与并不相等，它们是互补的关系；（2）由立体几何知识知道，但不能直接使用。这里通过将向量用，来表示，这样就可以求出相应的结果。【变式训练2】 在棱长为2的正方体中，试计算下列各式的值；（1）；（2）；（3）；（4）。 答案（1）；（2）；（3）（4）。 题型2 空间向量夹角与两异面直线所成角 【例3】如下图所示，已知是边长为1的正三角形所在平面外一点，且，分别是的中点，求异面直线与所成角的余弦值。 解析 要求异面直线与所成角的余弦值，只要求与所成的角的余弦值，因此就要求以及，然后再用向量央角公式求解。 答案 设，则，且三个向量两两夹角均为60，。所以，异面直线与所成角的余弦值为。 规律总结 求两条异面直线夹角问题，经常是先求这两直线上的向量所成角，再取锐角或直角。 【变式训练3】 如下图，在正四棱柱中，为上使的点，平面交于，交的延长线于，求异面直线与所成的角的大小。 答案 令。由题意可知，且。由平面平面，又平面分别交两平面于和，得，同理，则四边形为平行四边形。由与相似，又可得。所以。所以，所以。所以。即异面直线与所成的角为。题型3 空间向量数量积与垂直【例4】 如下图，已知在空间四边形中，求证。解析 欲证，只须证明，即只需用已知向量表示出来后，进行向量运算即可。答案 令，因为。所以，即，所以。因为，所以，即，所以，所以，即，所以。规律总结 本题也可以通过证明线面垂直，进而证明线线垂直，上述解法新在借助于向量运算将空间线线垂直关系转化为向量关系解决，大大降低了运算量。【变式训练4】 正方体中，分别为正方形和的中心。（1）求证：平面；（2）求与夹角的余弦值。答案 （1）设，则，。注意。则有。同理，。，平面。（2）。 题型4 向量数量积与线段长 【例5】如下图所示，已知线段平面，平面，平面，且，与在平面的同侧，若，求的长。 解析 求线段的长，可以转化为求其对应向量模的长。答案 因为，因为，所以。因为平面，平面，所以，所以。因为，所以。如图所示，。又因为，所以ABDF，所以，所以。将上面的结果代入的表达中，得，所以，从而。规律总结 求线段的长，可以转化为求对应向量的模长，而求向量的模可用公式来求解。在解本题的过程中，要注意。【变式训练5】如下图所示，正方形与正方形边长均为1，且平面平面，点在上移动，点在上移动，若。（1）求的长度；（2）当为何值时，的长最小。答案（1）由已知得，。（2）由（1）知当时，的最小值为，即、分别是、的中点时，长最小，最小值为。 【变式训练6】如右图，在棱长为1的正方体中，分别是，中点，在棱上，为的中点，（1）求证：；（2）求所成角的余弦值；（3）求的长。 答案 设，则。（1）。，。所以所成角的余弦为。（3），的长为。规律方法总结（1） 注意空间向量与平面向量是有区别的。如若向量不共线，向量，则在空间可能有且，但在平面上则不可能；（2）向量的数量积不满足消去律，即，且，不能得出；（3）向量的数量积不满足结合律，即不成立；（4）向量的数量积的绝对值与实数的绝对值的运算有区别。 如，而时，有。（5）求向量模时常用，通过向量运算求出。（6）求向量的夹角（或的余弦值）时一般利用设法求及，进而确定所求值。 （7）用向量方法证明直线与平面垂直，只要证明直线上的向量与平面内两个不共线的向量垂直即可，这又转化为证明向量的数量积为0。证明直线与平面垂直的方法是空间向量所特有的，要认真领会其中的思想方法。定时 巩固 检测基础训练1.下列式子正确的是 （ ）A. B.C. D.【答案】 B（点拨：。）2.已知是两两垂直的单位向量，则等于（ ）A.-2 B.-1 C. D.2【答案】A（点拨：。）3.、是两个非零向量，现给出以下命题：；其中正确的命题有 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B（点拨：正确的有。）4.已知，则（ ）A.22 B.48 C. D.32【答案】A（点拨：，。）5.正方体中，向量与的夹角是（ ）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】C（点拨：，为正三角形，。）6。已知矩形，面，则以下等式可能不成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】B（点拨：当为菱形时一定成立。）能力提升7.已知、满足条件：，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】B（点拨：因为与垂直，所以，即，所以，所以，所以与的夹角为45。）8.设，且，则 。【答案】（点拨：。）9.已知在平行六面体中，,则等于 。【答案】（点拨：）10.已知下列命题：如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果，那么与的方向相反；如果，那么与的夹角为钝角。其中假命题有 。 【答案】 （点拨：中时，可能与共线且反向。）1.直