人教版八年级数学下册 第18章《平行四边形》讲义 第10讲中位线及矩形

第10讲 中位线、矩形第一部分 知识梳理知识点一：三角形中位线三角形的中位线的定义：连结三角形两边_叫做三角形的中位线三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半知识点二：基本概念 1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、基本性质： （1）角：矩形的四个内角都是直角； （2）边：矩形的对边平行且相等； （3）对角线：矩形的对角线相等且互相平分； （4）对称性：矩形是轴对称图形，中心对称图形，旋转对称图形； （5）面积：S=长宽。知识点三：矩形的判定方法 （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； （2）有三个角是直角的四边形是矩形； （3）对角线相等的平行四边形是矩形； （4）对角线相等且互相平分的是矩形。知识点四：直角三角形中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。第二部分 考点精讲精练考点1、中位线例1、如图，D，E，F分别为ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为_例2、如图，在ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE3cm，则AD的长是_cm例3、如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ） A、线段EF的长逐渐增大 B、线段EF的长逐渐减小 C、线段EF的长不变 D、线段EF的长与点P （例1） （例2） （例3）例4、如图，四边形ABCD中，一组对边AB=DC=4，另一组对边ADBC，对角线BD与边DC互相垂直，M、N、H分别是AD、BC、BD的中点，且ABD=30求：（1）MH的长 ； （2）MN的长。例5、已知：如图，E为ABCD中DC边的延长线上的一点，且CEDC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF求证：AB2OF举一反三：1、如图，已知ABC的周长为1，连结ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2019个三角形的周长为 。2、如图所示，在ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求DEF的面积3、如图：已知D、E、F分别是ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分4、如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MNBC5、如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上求证：EF和GH互相平分6、如图所示，在ABCD中，EFAB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MNAD且MN=AD考点2、矩形的性质例1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线（ ） A、互相垂直 B、相等 C、互相平分 D、互相垂直且相等例2、如图所示，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分ADC交AC于E，BC于F，BDF=15，则COF=_例3、如图，矩形的面积为，顺次连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是 。 （例2） （例3）例4、如图，已知矩形ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N ，则 M + N 不可能是（ ）A . 360 B . 540 C. 720 D . 630例5、如图，ABCD是矩形纸片，翻折B、D，使BC、AD恰好落在AC上。设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点。（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB4cm，BC3cm，求线段EF的长举一反三：1、如图，矩形ABCD中，E点在BC上，且AE平分BAC若BE=4，AC=15，则AEC面积为（） A、15 B、30 C、45 D、602、矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（ ） A、6cm和9cm B、5cm和10cm C、4cm和11cm D、7cm和8cm3、矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于O点，AOB=2BOC，若对角线AC的长为18cm，则AD= cm。4、如图，四边形ABCD是矩形，PBC和QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内求证：（1）PBA=PCQ=30； （2）PA=PQ考点3、矩形判定例1、已知：如图，在ABC中，BAC=90，DE、DF是ABC的中位线，连接EF、AD求证：EF=AD例2、设凸四边形ABCD的4个顶点满足条件：每一点到其他3点的距离之和都要相等试判断这个四边形是什么四边形?例3、如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF（1）试判断线段BD与CD的大小关系；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；例4、如图，ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。DACBHGFE例5、如图，在RtABC中，C=90，E、O是边AC，AB上的中点，BFAC，连接EO交BE于F（1）求证：AOEBOF；（2）求证：四边形BCEF是矩形举一反三：1、在四边形ABCD中，ADBC，B=C，要使四边形ABCD为矩形，还需添加一个条件，这个条件可以 2、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。3、如图，在矩形 ABCD 中，AB = 20 cm，BC = 4 cm动点 P 从点 A 开始沿 AB 边以 4 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CD 边以 1 cm/s 的速度运动点 P 和点 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动设动点的运动时间为 t s，（1）当t=1秒时,四边形APQD的面积是多少？（2）当 t 为何值时，四边形 APQD 是矩形？4、如图，在ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形求证：四边形ADCE是矩形5、在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE（1）求证：BECDFA；（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论考点4：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例1、如图，BE和AD是ABC的高，F是AB的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个例2、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、F分别是BC、DE的中点。 求证：MNDE例3、过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EFAC分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若AOG30o 求证：OG=DC例4、如图，四边形ABCD中，DAB=DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。MN、AC的位置关系如何？证明你的猜想。例5、如图，已知：ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DGCE，G是垂足求证：（1）G是CE的中点； （2）B=2BCE举一反三：1、在ABC中， ACB=90 ，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_，与A相等的角有_，若A=35，那么ECB= _。2、如图，在RtABC中，ACB=90，点D是斜边AB的中点，DEAC，垂足为E，若BC=4，CD= ，则BE的长为（） A、 B、 C、 D、3、如图，M是RtABC斜边AB上的中点，D是边BC延长线上一点，B=2D，AB=16cm，求线段CD的长ABMCD4、如图，在RtABC中，CD是斜边上的中线，CE是高已知AB=10cm，DE=2.5cm（1）求：BDC的度数；（2）求BCD的面积5、如图所示；过矩形ABCD的顶点A作一直线，交BC的延长线于点E，F是AE的中点，连接FC、FD。求证：FDA=FCB第三部分 课堂小测1、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是（ ） A、对角相等 B、对角线相等 C、对边相等 D、对角线互相平分2、如图，ABC中，C=90，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB若B=20，则DFE=（） A、40 B、50 C、60 D、703、如图，ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（） A、20 B、12 C、14 D、134、在矩形ABCD中, 对角线交于O点，AB=0.6, BC=0.8, 那么AOB的面积为 ; 周长为 .5、已知，矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直，且该矩形的周长为24 cm，则矩形的面积为 cm2。6、如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？7、如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，BE=5,求BED的面积。8、如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？9、如图,AD/BC,AB=DC,BDC=BAC=90,BC=2AD=4CM,E是BC中点 问：（1）求ADE周长 （2）ADE是什么三角形?说明理由. （3）线段AC与DE有什么关系?10、如图在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BDCE，M、N分别是BE、CD的中点过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?第四部分 提高训练1、如图所示，在ABCD中，AB=2AD，A=60，E，F分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？2、如图所示，在ABC中，E为AB的中点，CD平分ACB，ADCD于点D试说明：（1）DEBC ； （2）DE=（BC-AC）3、如图，ABC中，B=2C，AD为BC边上的高，点E为BC的中点求证：DE=AB4、（1）如图1，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PFBE于点F，PGAD于点G判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由（2）如图2，当四边形ABCD变为平行四边形，其他条件不变，若ABC=60，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由（3）如图3，当四边形ABCD满足ABD=90，AB=3，BD=4，其它条件不变，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由第五部分 课后作业1、如果矩形的一条对角线与一边的夹角为40那么两条对角线所夹锐角的度数为_2、矩形中，对角线、交于点，于若则 3、如图，在ABC中，ABC=90，AB=8，BC=6若DE是ABC的中位线，延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ） A、7 B、8 C、9 D、10 4、如图，已知OP平分AOB，AOB=60，CP=2，CPOA，PDOA于点D，PEOB于点E如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ） A、2 B、 C、 D、2 （3） （4）5、已知AD是三角形ABC的中线，E是AD中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证:AF =FC6、如图，在等腰直角ABC中，ABBC ，点E在AB上，DEAC，DE交AC于点D，M是EC的中点，求证：（1）MBD是等腰三角形；（2）将DEA绕点A逆时针旋转，使点D落在AB上，如图（2）中的“MBD为等腰直角三角形”仍然成立吗？请说明理由7、在等边ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边ADE（1）求CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形8、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，ON=OB，再延长OC至M，使CM=AN，求证：四边形NDMB为矩形9、如图所示，ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于E，交BCA的外角平分线于点F.（1）求证：EO=FO（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.第10讲 中位线、矩形参考答案第二部分 考点精讲精练考点1、中位线例1、3 例2、6例3、C例4、由勾股定理 ：例5、举一反三：1、2、3、4、5、6、考点2、矩形的性质例1、A例2、75例3、例4、D例5、举一反三：1、B2、B3、94、考点3、矩形判定例1、证明：DE，DF是ABC的中位线，DEAB，DFAC，四边形AEDF是平行四边形，又BAC=90，平行四边形AEDF是矩形，EF=AD例2、例3、例4、例5、举一反三：1、略 （符合条件即可）2、3、（1）当t=1秒时,四边形APQD的面积是462；4、5、考点4：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半例1、D例2、例3、例4、例5、举一反三：1、AE，BE ； ACE ； 552、D3、4、5、解：连接BF。矩形ABCDADBCDAE=AEB点F是AE的中点BF=1/2 AE=AF （RT斜边上的中线等于斜边的一半）AD=BC (矩形的对边相等）ADFBCF （SAS)FDA=FCB （全等三角形对应边相等）第三