2015广东卷文数(含解析).doc

新高考学习群：2188482912015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合，则（ ）A B C D【答案】C【解析】考点：集合的交集运算2.已知是虚数单位，则复数（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：，故选D考点：复数的乘法运算3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为考点：函数的奇偶性4.若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C考点：线性规划5.设的内角，的对边分别为，若，且，则（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B考点：余弦定理6.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）A至少与，中的一条相交 B与，都相交C至多与，中的一条相交 D与，都不相交【答案】A【解析】试题分析：若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，故选A考点：空间点、线、面的位置关系7.已知件产品中有件次品，其余为合格品现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：件产品中有件次品，记为，有件合格品，记为，从这件产品中任取件，有种，分别是，恰有一件次品，有种，分别是，设事件“恰有一件次品”，则，故选B考点：古典概型8.已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C考点：椭圆的简单几何性质9.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，则（ ）A B C D【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算10.若集合，用表示集合中的元素个数，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：当时，都是取，中的一个，有种，当时，都是取，中的一个，有种，当时，都是取，中的一个，有种，当时，都取，有种，所以，当时，取，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，所以，所以，故选D考点：推理与证明二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（1113题）11.不等式的解集为 （用区间表示）【答案】【解析】试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：考点：一元二次不等式12.已知样本数据，的均值，则样本数据，的均值为 【答案】考点：均值的性质13.若三个正数，成等比数列，其中，则 【答案】【解析】试题分析：因为三个正数，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：考点：等比中项（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为 【答案】【解析】试题分析：曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，由得：，所以与交点的直角坐标为，所以答案应填：考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点15.（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为若，则 【答案】【解析】试题分析：连结，则，因为，所以，所以，由切割线定理得：，所以，即，解得：或（舍去），所以，所以答案应填：考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（本小题满分12分）已知（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得，再分子、分母都除以可得，代入数值，即可得的值试题解析：（1）（2） 考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）；（2），；（3）【解析】（2）月平均用电量的众数是因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，（1）证明：平面；（2）证明：；（3）求点到平面的距离【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由四边形是长方形可证，进而可证平面；（2）先证，再证平面，进而可证；（3）取的中点，连结和，先证平面，再设点到平面的距离为，利用可得的值，进而可得点到平面的距离试题解析：（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19（本小题满分14分）设数列的前项和为，已知，且当时，（1）求的值；（2）证明：为等比数列；（3）求数列的通项公式【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】试题分析：（1）令可得的值；（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式试题解析：（1）当时，即，解得：（2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，（1）求圆的圆心坐标；（2）求线段的中点的轨迹的方程；（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，或【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程可得圆的圆心坐标；（2）先设线段的中点的坐标和直线的方程，再由圆的性质可得点满足的方程，进而利用动直线与圆相交可得的取值范围，即可得线段的中点的轨迹的方程；（3）先说明直线的方程和曲线的方程表示的图形，再利用图形可得当直线与曲线只有一个交点时，的取值范围，进而可得存在实数，使得直线与曲线只有一个交点所以，所以，解得或，又因为，所以.所以满足即的轨迹的方程为.（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线.结合图形，表示的是一段关于X轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设，则,而当直线与轨迹相切时，.，解得.在这里暂取，因为，所以结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或.综上所述：当或时，直线与曲线只有一交点.考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系.21（本小题满分14分）设为实数，函数（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点【解析】试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数试题解析：（1），因为，所以当时，显然成立；当，则有，所以.所以综上所述，的取值范围是.（2）对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增；对于，其对称轴为，开口向上，所以在上单调递减.综上，在上单调递增，在上单调递减.（3）由（2）得在上单调递增