高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布学案含解析.docx

2.4 正态分布正态曲线及正态分布1正态曲线函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线随机变量X落在区间(a，b的概率为P(aXb)，(x)dx，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b的概率的近似值，如图2正态分布如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，2)如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)参数和的意义：正态分布中的参数和完全确定了正态分布，参数就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计把0，1的正态分布叫做标准正态分布.正态曲线的特点及3原则1正态曲线的特点正态曲线，(x)e，xR有以下特点：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值(最大值)；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散23原则正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_4.正态曲线的特点的理解特点(1)说明函数的值域为正实数的子集，且以x轴为渐近线；特点(2)是曲线的对称性，曲线关于直线x对称；特点(3)说明函数在x时取得最大值；特点(4)说明正态分布的随机变量在 (，)内取值的概率为1；特点(6)说明当均值一定，变化时，总体分布的集中、离散程度正态曲线的图象和性质如图是一个正态曲线试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值为，所以20，解得.于是概率密度函数的解析式为，(x)e，x(，)总体随机变量的均值是20，方差是2()22.利用正态曲线的性质可以求参数，(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x对称，由此性质结合图象求.(2)正态曲线在x处达到峰值，由此性质结合图象可求.设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12B12C12，12，12解析：选A反映的是正态分布的平均水平，x是正态密度曲线的对称轴，由图可知12；反映的是正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知12正态分布中的概率计算设随机变量XN(1,22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)(1)P(1X3)P(12X12)0.682 6.(2)P(3X5)P(3X1)(0.954 40.682 6)0.135 9.关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(X)，P(2X2)，P(35)解：P(X5)P(X3)0.022 8.正态分布的实际应用设在一次数学考试中，某班学生的成绩XN(110,202)，且知满分是150分，这个班的学生共54人求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数因为XN(110,202)，所以110，20，P(11020X11020)0.682 6.于是X130的概率为(10.682 6)0.158 7，X90的概率为0.682 60.158 70.841 3，故及格的人数为540.841 345(人)，130分以上的人数为540.158 79(人)解决此类问题一定要灵活把握3原则，将所求概率向P(X)，P(2X2)，P(3X3)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0.52)在(430.5,430.5)之外的取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的随机变量服从正态分布N(0,1)，如果P(1)0.841 3，求P(11)10.841 30.158 7.所以P(1)0.158 7，所以P(10)0.50.158 70.341 3.1求解时，不注意结合图形对称性，错解为P(10)1P(1)0.158 7.2针对0的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式：(1)P(Xx0)1P(Xx0)；(2)P(aXb)P(X3)P(1)成立，则_.解析：因为N(，2)，故正态曲线关于直线x对称，又P(3)，从而2，即的值为2.答案：21设XN(，2)，则众数、中位数、平均数满足()A众数2，中位数平均数B平均数，众数中位数2C中位数，众数平均数2D众数中位数平均数解析：选D利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系2设XN，则X落在(3.5，0.5内的概率是()A95.44%B99.74%C4.56% D0.26%解析：选B由XN知，2，则P(3.50)若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为_解析：X服从正态分布(1，2)，X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.X在(0,2)内取值的概率为0.40.40.8.答案：0.84如图是三个正态分布XN(0,0.25)，YN(0,1)，ZN(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的_、_、_.解析：在密度曲线中，越大，曲线越“矮胖”；越小，曲线越“瘦高”答案：5设随机变量XN(0,1)，求P(X0)，P(2X2)解：对称轴X0，故P(X0)0.5，P(2X2)P(021X021)0.954 4.一、选择题1正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为()A1B1C0 D不确定解析：选C均值即为其对称轴，0.2已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，P(X4)0.84，则P(X0)等于()A0.16 B0.32C0.68 D0.84解析：选A由XN(2，2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x2，则P(X0)P(X4)1P(Xp2 Bp1p2Cp1p2 D不确定解析：选C由正态曲线的对称性及题意知，0，1，所以曲线关于直线x0对称，所以p1p2.4总体密度曲线是函数f(x)e，xR的图象的正态总体有以下命题：正态曲线关于直线x对称；正态曲线关于直线x对称；正态曲线与x轴一定不相交；正态曲线与x轴一定相交其中正确的命题是()A BC D解析：选C利用正态函数图象的基本特征判断5如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X服从正态分布N(，2)，当随机抽取某一个测量值时，可以说明假设不成立的是下列中的()A(3，3) B(3，3)C(2，2) D(2，2)解析：选B由生产实际中的3原则可知，P(3c1)P(c1)P(c1)，2，3，2，则c2.答案：28设随机变量XN(1,22)，则Y3X1服从的总体分布可记为_解析：因为XN(1,22)，所以1，2.又Y3X1，所以E(Y)3E(X)1312，D(Y)9D(X)62.YN(2,62)答案：YN(2,62)三、解答题9设N(1,1)，试求：(1)P(02)；(2)P(23)；(3)P(3)解：N(1,1)，1，1.(1)P(02)P(1111)P()0.682 6.(2)P(23)P(10)，P(20)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X4)解：(1)由于XN(2，2)，对称轴x2，画出示意图如图：P(0X2)P(2X4)，P(0X4)2P(0X4)(10.4)0.3.11在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即N(90,100)(1)试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人解：因为N(90,100)，所以90，10.(1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是0.954 4，而该正