高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式导学案苏教版.docx

3.3 几个三角恒等式课堂导学三点剖析1.三角函数恒等式应用举例【例1】 运用三角函数变换证明tan=.思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将tan变成角的三角函数.证明：tan=.tan=tan=成立.温馨提示 这组公式的结构特征是用cos与sin表示的正切值，可称为半角公式.2三角函数变换的应用【例2】 将下列各式化简为Asin(x+)的形式：（1）cosx-sinx；(2)3sinx+cosx；(3)3sinx-4cosx；(4)asinx+bcosx(ab0).思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形.解：（1）cosx-sinx=-(sinx-cosx)=(sinx-cosx)=(sinxcos-cosxsin)=sin(x-).本题化简结果不唯一，也可这样变换：cosx-sinx=(cosx-sinx)=(sinxcos+cosxsin)=sin(x+).（2）3sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+).(3)3sinx-4cosx=5(sinxcosx)令cos=，为第一象限角，则sin=.3sinx-4cosx=5(sinxcos-cosxsin)=5sin(x-).（4）asinx+bcosx=(sinx+cosx)=(sinxcos+cosxsin)=sin(x+).其中cos=,sin=.温馨提示 形如asinx+bcosx的式子均可化成sin(x+)的形式，这种变换的主要功能是把asinx+bcosx形的三角函数式表示成一个角的一个三角函数，这样做有利于研究f(x)=asinx+bcosx的图象和性质，或化简、求最值问题.3.在解题过程中怎样选择合适的公式【例3】已知函数f(x)=2asinxcosx+2bcos2x,且f(0)=8，f()=6+.求a,b的值及f(x)的周期和最大值.解：f(0)=2asin0cos0+2bcos20=2b=8,b=4.又f()=2asincos+2bcos2=a+b=a+6=6+.a=3.f(x)=3sin2x+4cos2x+4=5(sin2x+)+4(其中cos=,sin=),f(x)的周期是T=.当sin（2x+）=1时，f(x)最大值=9.温馨提示 当f(x)的解析式中有待定常数a，b时，可根据条件列关于a，b的两个条件等式，再通过解方程组求出a，b;求f(x)的周期和最值，通常需把f(x)化成Asin（x+）+k的形式.本例中（2）问是根据方程根的意义得到两个三角等式，再通过三角变换变出所需要的式子.各个击破类题演练1已知cos=，且（0，），求tan.解：（0，），2(0,)，tan0，tan=变式提升1求证：（1）sincos=sin（+）+sin(-);(2)sin+sin=2sincos.证明：（1）因为sin（+）=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin.将以上两式的左右两边分别相加，得sin（+）+sin（-）=2sincos,即sincos=sin（+）+sin(-).（2）由（1）可得，sin（+）+sin（-）=2sincos（*）设+=,-=,那么=,=.把,的值代入（*），得sin+sin=2sincos.温馨提示 本例是积化和差、和差化积公式的证明，所用的方程思想和换元的方法很巧妙，使公式的证明变得十分简单.类题演练2当y=2cosx-3sinx取得最大值时，tanx的值（ ）A. B.- C. D.4解析：y=sin(-x),y有最大值时，sin(-x)=1-x=2k+=2k+x,又由sin=,cos=，知tan=，故tan(2k+x)=tanx=-(kZ).答案：B变式提升2（1）当-x时，f(x)=sinx+3cosx的最值.解：f(x)=sinx+cosx=2sin(x+).设t=x+.-x，-x+，即-t.原函数化为y=2sint(-t).画出y=2sint的图象，观察图象可知当t=-，即x=-时，ymin=2sin(-)=-1,当t=，即x=时，ymax=2sin=2.ymin=-1,ymax=2.(2)(2005江苏高考，10)若sin(-)=，则cos(+2)等于（ ）A. B. C. D.解析：cos(+2)=2cos2(+)-1.(-)+(+)=,cos(+)=sin(-)=.cos(+2)=2()2-1=.答案：A类题演练3求证：（1）sin3=3sin-4sin3；（2）cos3=4cos3-3cos.证明：（1）sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin=2sincos2+(1-2sin2)sin=2sin(1-sin2)+sin-2sin3=3sin-4sin3.sin3=3sin-4sin3.（2）cos3=cos(2+)=cos2cos-sin2sin=(2cos2-1)cos-2sin2cos=2cos3-cos-2(1-cos2)cos=4cos3-3cos.cos3=4cos3-3cos.变式提升3求sin18的值.解：sin36=cos54,2s