常微分方程平衡点及稳定性研究

摘 要 本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义 之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否 稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就 需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过 稳定Liapunov 性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解 的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这 对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全 局吸引性研究了具时滞的单种群模型 . 1NtNtrtc 的平衡点 的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。1x 关键词：自治系统 平衡点 稳定性 全局吸引性 Abstract In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non- zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium of the following delay 1x single population model . NtNtrtc is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature. Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity II 目 录 摘 要 .I AbstractII 目 录 .I 第 1 章 引言 1 第 2 章 微分方程平衡点及稳定性分析 3 2.1 平衡点及稳定性定义 3 2.2 自治系统零解的稳定性 4 2.2.1 函数 4V 2.2.2 稳定性定理 .5Liapunov 2.3 非自治系统的稳定性 8 2.3.1 函数和 类函数 .8k 2.3.2 零解的稳定性 10 2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 14 2.4.1 相关定义 14 2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 14 2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 15 2.5.1 相关定义 15 2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 15 第 3 章 一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 17 3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 17 3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 19 第 4 章 常微分方程稳定性的一个应用 23 第 5 章 结论 25 参考文献 27 致谢 29 长春理工大学本科毕业论文 1 第 1 章 引言 20 世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动 力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物 理 化学 生物 天文）和社会科学（如工程 经济 军事）中的大量问题都可以用 微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变 的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型， 通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的 是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求 解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 20 世纪 5060 年代，在美国贝尔曼(RBellman)、莱夫谢茨(SLefschetz) 及拉萨尔(JP LaSalle) 等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速 发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支 可观的研究队伍。 叶鲁金等研究李雅普诺夫第 1 方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问 题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50 年代马尔金提出特征数的 稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的 重合等问题。 对于李雅普诺夫第 2 方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出 了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普 诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造 V 函数，基本上 解决了各种稳定性定理的逆问题。 关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如 定号性的减dvt 弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。 60 年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量 V 函数将微分方程稳定性的研究转化为以 V 函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。 李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑 全相空间的情形。50 年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念 把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应 用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。 早在 60 年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原 理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70 年代以来，不变性 原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。 通过对 V 函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。 2 70 年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了 5060 年代发展起 来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方 法等 继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同 时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。 李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、 振动性等。吉泽太郎(T Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有 界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。 李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、泛函 微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相 应的稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起 着重要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制 理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、 非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。 长春理工大学本科毕业论文 3 第 2 章 微分方程平衡点及稳定性分析 2.1 平衡点及稳定性定义 初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题 ， (2-1) dxat0()xt0x 的解为 . 是(2-1)的一个解，我们称它为零解。当 时，无论0()atxte a 多小，只要 ，当 时，总有 ，即初始值的微小变化会0t()t 导致解的误差任意大；而当 时， 与零解的误差不会超过初始误00axe 差 ，且随着 的增加很快就会消失，所以当 很小时， 与零解的误差也0xt ()xt 很小。这个例子表明 时(2-1)的零解是“不稳定的” ，而当 时(2-1)的零a 0a 解是“稳定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。 设微分方程 ， ， (2-2)(,)dtxf0(txnR 满足解的存在惟一性定理的条件，其解 的存在区间是 ，0)(,)tx(,) 还满足条件(,)tfx (2-3)(,t0f (2-3)保证 是(2-2)的解，我们称它为零解。()t0 定义 2.1 若对任意给定的 ，都能找到 ，使得当 时0(,)t0x (2-2)的解 满足0(,)tx ， (2-4)0(,)tx0t 则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2) 的零解是不稳定的。 注 1 (2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径 ，总能在 中找到一个以nR 原点为中心、半径为 的开球 ，使得(2-2)在 时刻从 出发的解曲线当B0tB 时总停留在半径为 的开球 内。0t 注 2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个 ，使得对任意的0 ，在开球 内至少有一个点 和一个时刻 ，使得 0x1t 0(,)tx 注 3 对(2-2)的任何一个解都可以定义稳定性。事实上，若 是(2-2)的一个解，为了考察其他解 和它的接近 0_(),)ttx 0(),)tt 程度，我们就可以令 ，带入(2-2)得()ttyx_( (2-5) _,(,)dtttfyxf 4 这样一来，(2-2)解 的稳定性就转化为(2-2) 零解的稳定性。所以在本文 _()tx 的讨论中，我们仅研究(2-2) 零解的稳定性。 定义 2.2 设 是 中包含原点的一个开区域，对所有 和任意给定的UnR0Ux ，总能找到一个 ，使得当 时，有 成00(,)Tt0tT0(,)t 立，我们就称 是(2-2)零解的一个吸引域，这时称(2-2)的零解是吸引的。 是(2-2)零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有 ，均有0x .即从 中出发的解趋于 。0lim(,)ttx 定义 2.3 若(2-2)的解释稳定的，又是吸引的，则称(2-2)的零解是渐近稳定 的；如果(2-2)的零解的吸引域是整个 ，则称(2-2)的零解是全局渐近稳定的。nR 定义 2.4 若定义 2.1 中的 与 无关，则称(2-2)的零解是一致稳定的；若定0t 义 2.2 中的 与 和 无关，则称(2-2)的零解是一致吸引的；若(2-2)的零解是T0tx 一致稳定和一致吸引的，则称(2-2)的零解是一致渐近稳定的。 定义 2.5 若有正数 ，对任意给定的 ，有 ，使得当 时有00x()0(,)ttex 则称(2-2)的零解是指数渐近稳定的。 2.2 自治系统零解的稳定性 前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定 义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是 否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解， 这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性， 直接方法就是解决这Liapunov 一问题的有效途径。这一节中我们先引入 函数的定义，然后再给出V 稳定性定理。Liapunov 2.2.1 函数V 设函数 在 中原点的某邻域 中有定义， 在 中连续可微，且()xnRU()xU 满足 。0 定义 2.6 若除原点外对所有 均有 ，则称 为正x()0()V()Vx 定函数(负定函数)；若对所有 均有 ，则称 为半正x 定函数或常正函数(半负定函数或常负函数)；若 中原点的任一邻域内 () 既可取正值，也可取负值，则称 为变号函数。()x 例如， 是 中的正定函数， 是 中的半正2213()VxR21()Vx3R 定函数，而 是 中的变号函数。 长春理工大学本科毕业论文 5 由定义 2.6 看出， 正定时必是半正定的。另外正定和半正定与空间的()Vx 维数和邻域 的大小有关。例如 是 中的正定函数，而它在U21()x2R 中仅是半正定的。利用化为极坐标的方法可以看出，函数3R 在 中的区域 中是正定函数，而在24112()VxxR21 中却不是正定函数。 最常用的 函数是二次型 ，因为二次型的表达式简单，其符号()VAx 类型可以利用线性代数中有关 的特征值理论来判定，且一些复杂的 函数往V 往可以通过对二次型的修改得到。 一般 函数的符号判断十分困难，通常是把 在原点展开为 级数V()VxTaylor1()mVx 其中 ， 分别是 的 次、 次齐次函数，根据 展开式中的()mx1() ()x 最低次项，在许多情况下就可以确定 在原点邻域内的符号。() 对正定函数 ，容易证明当 充分小时， 是 中包围原点()0c()VcnR 的闭曲面，且随着 趋于零， 缩向坐标原点。事实上，由正定函数的定c()Vx 义可知，在 内的闭曲面 上， 有正的下界 ，当 时，在连U0 接原点与 任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点 ，使 ，x x0()Vc 所以 是包围原点的闭曲面。()Vc 2.2.2 稳定性定理Liapunov 设 维自治微分方程 (2-6)(),dtxf0 的解为 。为了研究(2-6)解的稳定性，考察随时间变化时12(),()nxt 的变化情况。将 视为 的复合函数，关于 求导得VtVttt (2-7)12ndxdxdt Vt 1()()kkfVx (2-7)为函数 沿着(2-7)轨线的全导数。() 定理 2.1 若有原点的邻域 和一个正定(负定)函数 ，使得 是U()() 半负定(半正定)的，则系统(2-6)的零解是稳定的；且使得 负定(正定)时，Vx (2-6)的零解是渐近稳定的。 定理 2.1 的几何意义是函数 正定时， 是包围原点的闭曲面族，()Vx()c 且随着 的减少而缩向原点。当全导数 半负定时，在 时过 的轨线c 0t0x 6 上， 的值不会增加，(2-6)的轨线只能停留在 内，()tx()Vtx 0()Vx 所以原点是稳定的。当 负定时，原点邻域内(2-6)的轨线不断跑向闭曲面族() 中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(2-6)的零解是渐近稳定的。()c 该几何意义也正是我们证明定理 2.1 的基本思想。 证 设 正定，对任意给定的 (不妨假设闭球 在()Vx0,Bx 中)，取U ，min()Vx 则当 时， 的点 必全部位于原点的 邻域内。由 的连续lm()lx()Vx 性知，必有 ，使得当 时 。由于 ，当 时，对0()l()0x0 一切 有，所以 ，当 时， 。这就说明了t0()Vt0tt 半负定时，(2-6) 的零解时稳定的。)Vx 当 负定时，(2-6)的零解稳定，只要 ，即可证明(2-6)的零解 lim()tx 渐近稳定。利用反证法，设(2-6)的零解不是渐近稳定的，则至少有一个从上述 原点的 邻域内某点出发的解 ，使得 。由于 负定，故 _()tx_li()t0()Vx 单调下降，从而由 的正定性知必有 ，且 时 _()VtxV*tt0t 。由 的连续性知，必存在 ，使得 时 。*() 0t() 又由于 是负定的，必有 ，在区域 内， ， 0xVx 由(2-7) 式得 ， (2-8) _()dVtx0t 对(2-8)式两边积分得 (2-9) 0_0()()ttx (2-9)表明 ，这与 矛盾。故(2-6)的零解是渐近稳 _lim()tVtx*V 定的。 例 2.1 讨论系统 零解的稳定性 02xdt 解 令 ，将该方程化为等价的微分方程组t dx12 长春理工大学本科毕业论文 7 (2-10) 121dxt 令 ，显然 是正定函数，容易求得 沿2211,3Vxx2,Vx12,Vx (2-10)轨线的全导数为 ，它是负定函数，由定理 2.1 知该121, 系统的零解是渐近稳定的。 应当注意，如果取 ，那么，所求得的 ，2121,Vxx21,Vx 是半负定的，由定理 2.1 只能得到(2-10)的零解稳定这一结论，得不到12,Vx 渐近稳定性。这表明构造适当的 函数是非常重要的。当一个系统的零解事实 上是渐近稳定时，我们有可能构造出 函数用定理 2.1 来证明零解是渐近稳定 的。也可能所构造出 函数仅能证明零解是稳定的，也可能构造不出 函数，V V 连零解的稳定性也无法得到。 例 2.1 也提示我们在证明零解渐近稳定时， 负定这一条件有可能再补Vx 充其他条件后削弱为半负定，这就是下面的定理 2.2，它降低了 负定这一 x 条件，给出了判定渐近稳定性的又一结果。 定理 2.2 设在原点的邻域 内存在正定函数 1，它沿着(2-6)轨线的全导数U 是半负定的，如果集合Vx |MVx0 内除原点 外，不在包含系统的其他轨线，则(2-6)的零解是渐近稳定的。0 证 由定理 2.1 知，在定理 2.2 的条件下(2-6)的零解是稳定的。于是对给定 的 (不妨假设 含在 内)，可以找到 ，使得00|BxU0 时，(2-6)满足 的解 ；当 时满 ，x0()t0(,)ttxt0()tx 且由 易见 是 的单调非增有界函数，故 必有极限，令V Vx*limtVt 由于 的正半轨有界，故它的 极限 非空，若 ，则0,tx0x0x ，*V .这表明 ，从而有 。由于 是由(2-6)的整条轨线组成，0Mx0x0x 8 而在 中除 外不再包含(2-6)的其他轨线，故有 。于是有Mx0 0x 。零解的渐近稳定性得证。0lim,tt 例 2.2 讨论非线性振动系统 (2-11) 1221dxtfg 零解的渐近稳定性。其中 和 都是连续函数，且满足下列条件fx (1) ，110,0fxf (2) 22g 解 选取 ，由条件(1)知， 是正定函数。11 10(,)xVfd 12(,)Vx 计算 沿着(2-11)的轨线的全导数得 .由(2)知12,x 2(,)xg 是半负定的。又因为集合() 121212,|(,)0,|0MxVx 由(2-11)可见 时，满足方程组的解必有 ，从而集合 内除 外不20xxM(,) 再包含(2-11)的其他轨线，所以(2-11) 的零解是渐近稳定的。 2.3 非自治系统的稳定性 这一节研究非自治系统 (2-12),dttxf0 零解的稳定性问题，将建立与上一节类似的定理。 2.3.1 函数和 类函数Vk 设 ， 是 中包含闭球 的一个邻域， 是0,)tI=UnR|hBx,Vtx 上定义的连续可微函数， 是 上定义的连续可微函数。()WU 定义 2.7 若有正定(负定)函数 ，使得 (,)(,()Vttxx 在 上成立，且 ，则称 是 上的正定(负定)函数。若IU,0tI ，则称 是半正定函数(半负定函数)。,0,Vttx,t 注:分析定理 2.1 的证明过程，不难发现，正定(负定)函数下述性质是证明 的关键所在，即 时， ( 时 )。对于x0Vlxx0Vl 长春理工大学本科毕业论文 9 而言，若仅要求 ， ，则上述性质不一定能,Vtx,0Vt,0tx 保持。例如 。这就是为什么要通过 的正定性来定2121,txexVx 义 正定的原因。,t 例如 是 的正定函数，而2121,tt2IR 仅是半正定函数。 12,Vtxtex 定义 2.8 若 是 的正定函数，且 ，则称 是WnRlim()xWx 上的无穷大正定函数。nR 定义 2.9 若有正定函数 ，使得 ，则称 具有无1x1,Vt,Vt 穷小上界；若有无穷大正定函数 ，使得 ，则称 具2 2xx 有无穷大下界。 例如对 ，可以取 ，1212,tVtxex 2121,tWe ，所以有 ，即12,tWxe 11, ,xVtxx 是具有无穷小上界和无穷大下界的函数。t 函数 具有无穷小上界的特征是当 时，必有正数 ，使,t ,0tl 得 ，即 充分小时， 可以充分小。当 时，这就等x,Vtx,tx 价于 ， 连续。由此不难理解引入无穷小上界的原因。而 具0Vx ,Vtx 有无穷大下界的特征是当 充分大时， 可以任意大。,t 定义 2.10 设 是 的连续函数 ，且 ，rR|0Rr0 严格单调递增，则称 是 类函数，记为 。若 还满足rkKr ，则称 为无穷大 类函数。lim 类函数与正定函数、有无穷小上界的函数和有无穷大下界函数之间有着十k 分密切的关系。 引理 2.1 (1) 是正定函数的充分必要条件是有 ， ，使Wx1r2K 得 (2-13)12Wxx (2) 若有 ，使得 ，则 必是正定函数，反之1rK1,Vt,Vt 亦真； (3) 若有 ，使得 ，则 具有无穷小下界，反22,tx,tx 之亦真； (4)若有无穷大 类函数 ，使得 ，则 是具有无穷kr,Vt,Vt 10 大下界的函数，反之亦真。 证 由于引理 2.1 的(2)(4)又可以从定义和引理 2.1 的(1)直接推出，故在 此仅证明(1)。 若有 ， ，使得(2-13)成立，则显然有 和1r2K0W ，故 为正定函数，充分性得证。反过来，若 是正0WxWx x 定函数，则可以定义函数 ，由 的正定性和连续性知，1minrhxx 连续， ，且 时， .又当 时，1r1010hininhhWxyxyx 当 时，120r1 2 21 1miimi()rhrhrhWr xxx 这表明 是严格单调递增的函数，且满足 .同理可定义1() 1W .2()axrr 按前面类似的过程可以验证 是满足 的 类函数。所以(2-13)2xk 式成立，必要性得证。 2.3.2 零解的稳定性 设 是 上定义的连续可微函数， 是(2-12)的解。(,)VtxIU 0(),)ttx 定义 沿着(2-12)解的全导数为 1(,)(,)(,),(,)nkkdtVttfVtxx x 利用前面给出的一些定义，可以得到下面关于零解稳定性的定理。 定理 2.5 (1) 若有正定函数 ，使得 半负定，则(2-12)的零解稳(,)t(,)t 定； (2) 若 正定且有无穷小上界， 半负定，则(2-12)的零解一致渐(,)Vtx(,)Vtx 近稳定。 证 定理 2.5 证明思路是利用 类函数的性质:当 时必定有 .k()rr 其证明过程就是利用 类函数的这些性质对任意给出的 寻找满足相应稳定性k 定义的 ，而给出 时要反复利用引理 3.1 中 函数与 类函数的关系。 Vk (1) 由于 是正定函数，由引理 2.1 得，有 类函数 ，使得(,)Vtx 1()r 长春理工大学本科毕业论文 11 . ( )， ，由 及 的连续性知，1(,)()Vtx0h1(00(,)Vt(,)tx 必有 ，使得当 时， .由于 ，故当0,t0x1,x0 时有0t 0001(,)(,)(,)(tVtt 由 类函数的单调性知， .所以，(2-12)的零解是稳定的。k,x (2) 当 是具有无穷小上界的正定函数时，由引理 2.1 知，必有 类函(,)Vt k 数 和 ，使1()r212()(,)()tx ，取 ，当 时，由 得0200(,)0Vtx102211(,)(,)()tVtxx 由 类函数的单调性知， .故(2-12)的零解是一致稳定的。k0(,)t (3)当 正定，且有无穷小上界， 负定时，由(2)知，(2-12) 的零(,)Vtx(,)Vtx 解一致稳定，下面仅证明(2-12)的零解一致吸引。由引理 2.1 知，必有 类函数k ， 和 ，使得1()r23r (2-14)12()(,)()tx3,Vt 对任意给定的 ( )， ，使得当 时，对一切02h00x 有 .取 .由于 ，故0t(,)tx21()132()hdvT2h ，且当 时， ，所以122)(h()13()0v 是一个有限正数。由于T0030102dV,V,tttxxx 对上式两边积分得 00(,) 0132()()Vtdvtx 即 12 (2-15) 0(,)0132()()Vtdvtx 再由 的非负性和(2-14)，(2-15) 得132()v (2-16） 021()01,32()()tvtx 所以当 ， 时，由(2-16)得0x0tT2 201 1() ()1 1,3232()()hhtdvdvx (2-17)201 1() )1,) (3232 htx201 1() )1,) (32320()htdvdv x 由 得 ，再由上式得0v32(v ，01()(,)tx 最后由 的单调性知， 。 是(2-13)零解的一致吸1()r0,t 引域，故(2-13) 的零解是一致渐近稳定的。 例 2.3 讨论方程 (2-18) 1221sindxttxt 零解的稳定性。 解 取 2121,sinxVtxt 沿(2-18)解的全导数为 。12,t 21 24sinco, 0tVx 因为 ，所以， 是具有无限小上界的正定函2111,3xtx12,t 数， 半负定，由定理 2.5 知，(2-18)的零解是一致稳定的。2,Vt 例 2.4 讨论 (2-19) 21212tdxext 零解的稳定性。 长春理工大学本科毕业论文 13 解 取 ，显然有 。2211, tVtxex022112,txVtxex 所以 是具有无限小上界的正定函数，又因为12,t 221212211, tt exx 即 是负定的，所以由定理 2.5 知，(2-19)的零解是一致渐近稳定的。12,Vtx 例 2.5 讨论系统 的平衡点及其稳定性 -2()-dxxty 解:根据定义平衡点为 。1231(0,),(,0)P 1.间接法:用 Mathematica 数学软件的 Dsolve 求解功能解出系统的两组 解为: 111221-24-() ()cctttteextyC1112-22 -4() ()cctttteexty 再用 Mathematica 数学软件的 Limit 求极限讨论系统解的变化趋势，可以得 出，当 时，系统的解 ，所以t1122()0,(),()1,()0xttxtyt 为系统的稳定的平衡点， 为系统的不稳定的平衡点1(0,)P2, 3P 2.直接法:根据上面的讨论，研究系统在平衡点处的线性近似方程，有: 在点 处，系统的线性近似方程的系数矩阵为:1(,)1-20,4Apq 故 是系统的稳定的平衡点；1(0,)P 在点 处，系统的线性近似方程的系数矩阵为:2,2-0,4Apq 故 是系统的稳定的平衡点；2(1,0)P 14 在点 处，系统的线性近似方程的系数矩阵为:31(,0)2P310,2-2Apq 故 是系统的不稳定的平衡点。31(,0)2 2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 2.4.1 相关定义 定义 2.11 右端不显含自变量的微分方程称为自治方程（自治系统） 在这 里我们仅讨论右端不显含自变量的一阶微分方程形如 (2-20)()xtf 定义 2.12 代数方程 的实根 称为微分方程(2-20)的平衡点。0f0x 定义 2.13 从 某邻域的任意值出发，使方程(2-20)中的解 满足()xt ，则称 是渐近稳定的，否则是不稳定的。0lim()tx0x 2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 1.间接法: 从 某邻域的任意值出发，使方程(2-20)中的解 满足0 ()xt ，则称 是渐近稳定的，否则是不稳定的。这样的判断方法称为间0li()txx 接法； 2.直接法:不求方程式(2-20)的解 的方法，成为直接法。方法:将 在()xt ()fx 处作泰勒展开，只取一次项，有微分方程(2-20)可近似为0x (2-21)0-)tfx 称为(2-20)的近似线性方程 也是(2-21)的平衡点， (2-21)式的解为0x (2-22)0()0()fxttCe 因为 ，所以有下列定理 ,()0lim()xftt 定理 2.6 关于方程(2-20)的平衡点的稳定性，有如下结论: 1.若 ，则 称为方程(2-21)和(2-22) 的稳定的平衡点()fx0x 2.若 ，则 称为方程(2-20)和(2-22) 的不稳定的平衡点 例 2.6 讨论 Logistic 模型的平衡点的稳定性 解: 1.间接法:根据定义 2，Logistic 模型的两个平衡点为: ， ，模0xmx 长春理工大学本科毕业论文 15 型的解为: ，则根据定义 2.13，当 时，总有-()1)mrtxxtet ，则平衡点 是稳定的平衡点，平衡点 是不稳定的平衡点()mtm0x 2.直接法: ，则有 ，则 ，则 ()-)xfr2()1-)mfxr0()xfr 根据定理 2.6， 是不稳定的平衡点； 是稳定的平0x ,mx 衡点 分析:从平衡点的稳定性来看，随着时间的推移，人口的增长在 处趋x 于稳定，也就是人口达到了自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量 .符m 合 Logistic 模型的假设 2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 2.5.1 相关定义 定义 2.14 右端不显含自变量的微分方程组 (2-23)(),)xtfyg 是二阶自治方程（系统） ，二阶方程可以表示为两个一阶方程组 定义 2.15 代数方程组 的实根 组成的点 称(,)0fxyg0,xy0(,)pxy 为自治系统(2-23)的平衡点或奇点。 定义 2.16 对于自治系统(2-23)的平衡点 若以所有可能的初始条件0(,)P 出发的解 ，满足 ，则称平衡点 稳定；否则称(),xty0ttlimx()=,liy)0p 不稳定。0p 2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 为了用直接法讨论系统(2-23)平衡点的稳定性，要先研究线性常系数微分方 程组 (2-24)()xtabyycd 的平衡点及其稳定性。 是(2-24)式的唯一的平衡点，它的特征方程是0(,)P ，则(2-24)式的特征根为 ，(2-24)式的一般det (-)IA 21,2(- -4)pq 解的形式为 或 ，所以根据稳定性的定义12tt12ce+()tt2ce+ 16 2.16 可得下列定理 定理 2.7:关于(2-24)的平衡点的稳定性，有如下结论: 1.若 且 ，则(2-24)式的平衡点 稳定；0pq(0,)P 2.若 或 ，则(2-24)式的平衡点 不稳定； 那么对于系统(2-23)式平衡点 的稳定性，也是用线性近似方法来判0(,)xy 断，将 在点 处作泰勒展开，只取一次项，得(2-23)在(,),fxyg0,P 的线性近似方程为:0P (2-25) .00.(),)(,)xytffxyg 微分方程(2-25)的讨论跟(2-24)是一样的，并且有下列的结论成立 :在非临 界的情况下（即 ） ，(2-23)平衡点 的稳定性与(2-24)式平衡点,0pq0(,)Pxy 的稳定性相同，而在临界的条件下（ ） ，二者可以不一致，比0(,)Pxy pq 如说，线性近似方程的平衡点为中心时，要用其它的方法来判断(2-23)平衡点的 稳定性。 长春理工大学本科毕业论文 17 第 3 章 一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 考虑单种群增长模型一阶非线性时滞微分方程 (3-1)1NtNtrtc 及初始条件 (3-2),0tt 其中 (3-3)1 10,00,crtctce 方程(3-3)详细的生物学意义和研究该方程的实际作用 。7 当 时，方程(1)退化为下述著名的 Logistic 微分模型0c (3-4) . 1NtrtNt 方程(3-4)解的各种性态已被广泛研究 。6 Kuang，Zhang 和 Zhao 研究了方程(3-1)和(3-2) 解的有界性和全局吸引性 ，7 证明了: 如果 (3-5)0rd 且存在 和 使得0T (3-6)1,t cetT 则(3-1)与(3-2)的每个整体解(存在区间为0，)趋向 1。 在此首先研究与方程(3-1)相关的一个差分方程 (3-7)1expnnX0,2. 的平衡点 的全局渐近稳定性，其中1x (3-8)010,x 然后应用于方程(3-1)，获得其平衡点 全局吸引(即所有解趋向 1)的充分条1N 18 件，该条件改进了(3-6)式。 3.1 差分方程(3-7) 的全局渐近稳定性 引理 3.1 假设条件(3-8)成立， (3-9)1 则方程(3-7)有唯一平衡点 。x 引理 3.2 假设条件(3-8)和(3-9) 成立，定义映射 (3-10)ep1xg 则映射 将区间 映为 。g1(0,)(,) 引理 3.1、3.2 容易直接验证，详细证明略。 引理 3.3 假设条件(3-8)和(3-9)成立，则方程(3-7)的平衡点 是局部渐近1x 稳定的。 证 方程(3-7)在平衡点 处线性化方程为 ，当 时，1x1nnY 由线性化稳定性理论知方程(3-7)的平衡点 是局部渐近稳定的 ，当x81.3， 推 论 时，g(x) 在 处的 Schwarzian 导数12130xgxs 是渐近稳定的，(3-7)的平衡点 亦是局部渐近稳定的 ，证毕。11709,P 引理 3.4 假设 (i) 将某个区间 I 映到自身；f (ii) 是 在 上唯一不动点；x (iii) 在 上 的 Schwarzian 导数为负；If (iv) 在 上单调递减。f 如果差分方程 (3-11)1nnxf 的平衡点 是局部渐近稳定的，则 也是全局渐近稳定的 。x 8 定理 3.1 假设条件(3-8) 和(3-9)成立，则方程(3-7)的平衡点 在区间1x 上是全局渐近稳定的。1(0,) 证 设映射 g 如(3-10)式所令，只需验证 g 在区间 上的 Schwarzian1(0,) 长春理工大学本科毕业论文 19 导数为负，事实上，对于任一 ，g(x)的 Schwarzian 导数为01,x2224 130gs x 证毕。 3.2 微分方程(3-1) 的全局吸引性 下面的定理 2 讨论了(3-1)和(3-2) 解的有界性 定理 3.2 假设条件(3-3)成立且 (3-12)1trsdc 则初值问题(3-1)和(3-2)的解 满足();0,)N (3-13)1ot 证 当(3-3)成立时易证(3-1)和(3-2)的所有解 。令 ，()0,Nt()ln()xtNt 则(3-1) 变换为 (3-14) 1. xextrc 相应的初始条件变换为 (3-15)lntt 其中 ，下证,0)(,ln),(0Ccc (3-16)lxt0t 如果(3-16)式不成立，由(3-15)知存在 ，使得* lnxtc,tt*lnxtc 因此 ，由(3-14)知 ，如果 ，则从 到 积分 .()0xt*()00*t (3-14)式得 * 1xstexttrdc* lntsd 如果 ，则从 0 到 积分(3-14)式得*t*1l1lnstextrcecc 上述两种情况均与假设矛盾，所以(3-16)式成立，从而(3-13)式成立。证毕。 最后给出(3-1)和(3-2)的平衡点 全局吸引的一个充分条件。1N 20 定理 3.3 假设条件(3-3)和(3-5) 成立，且 (3-17)1trsdc 则 (3-1)和(3-2)的每个解 趋向 1。();0,)N 证 由(3-17)式知存在 ，使得0t (3-18)trsdc0ty 由定理 2 推知 ，令 ，则方程(3-1)变换为方程10(),tc()ln()xtN （3.14） ，且 。下证 即可。()lnxt,limt 若 非振动，则由（3.14）知 最终单调，于是（3.5）和（3.14）0y() 容易证明 。lim()t 若 振动，定义序列x (3-19)01, nyneycc0,12. 则由定理 3.1，知 。下面证明存在序列lint0123.tt 使得 (3-20)212,nnyxty1,t0,2. 因 振动，所以可以选取序列 满足()xt 01,ntt,.nt 下证(3-20)式成立。 令 为 在区间 上的极值点， ，则由(3-14) 知1(,)nt(xt1(,)nt.()0nx0,2. 于是从 到 积分(3-14)式并利用(3-18) 得nn1nxsexrdc0nsdy,2. 上式表明 ， 。另一方面，当 时， ，再从0()xty0t1t21()kxty 到 积分(3-14)式并利用(3-18) 得nnnxsexrdc 长春理工大学本科毕业论文 21 0 011ny yeersdscc ,2.n 上式表明 ， 。因此当 时(3-20)式成立。现假设 时(3-20)1()xtytnk 式成立，即 2121(),kkyxtyt 当 时， ，因此有2kt()xtnxserdc2121 2ykkny kersdsce ,3.nk 上式表明 ，另一方面，当 时 。因212(),kkxtt3kt2()kxty 此 21kn nxs yeerdrsdscc 231ykke,4. 上式表明 。所以当 时，(3-20) 式亦成立，由数学223(),kkxtyt 1n 归纳法知(3-20)式对所有非负整数成立。因此 ，证毕。lim()0tx 注: ，所以(3-7)式改进了(3-6)式。1()1,(0)cec 22 长春理工大学本科毕业论文 23 第 4 章 常微分方程稳定性的一个应用 考虑在一个小生境中两个互相竞争的生物种群的变化情况，记 分)(,21tx 别为 时刻两生物种群的总数，当种群的总数较大时，我们就可以将t 看做有一定光滑性的函数，描述着两种群变化的 模型为)(,21x Voltera (4-1) ),( ),(2111 2122xaxrxdtrt 其中 都是正常数， 表示第 种生物的内禀增长率， 反映),1(,jiari ii ia 了第 种群受食物、环境等影响的密度制约因素， 和 是两者间的竞争系数，12a 由于问题的实际背景，我们仅在 0,|),(2122xxR 内讨论问题。 模型(4-1)有 4 个平衡点 ，其中Voltera *2112(0,),)(,)(,)rOABCxa , 。2121 *x2121*arx 当 ， (4-2) 02121r02121ar 时，平衡点 在 的内部。在生态学中最感兴趣的问题是两个生物群体能否共C2R 存，所以我们在下面的讨论中设(4-2)成立，仅讨论正平衡点 的稳定性。C 利用 ， 满足的方程*1x2,*212xar 将模型(4-1)化为 (4-3) )()(*22*12211 xaxadtx 选取函数 ，其中 是待定的正常数，计 ln(),( *121 kkkcxV 21,c 算得 24 )1(),(,0),( *21*21 kkxcxVx.2,0, 2122ckk 所以 时 内部的正定函数，且容易验证 趋于 的边界时，),(21xVR)(1xR ，故 时 内有无穷大下界的函数。),(21x),(21 计算 沿着(4-1)解轨线的全导数得,21)-(4| )()