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1 第 5章 量纲分析和相似原理 n 5.1 量纲和谐原理 n 5.2 量纲分析法 n 5.3 相似理论基础 n 5.4 相似定理 n 5.5 模型实验 2 5.1 量纲和谐原理 一、量纲的概念 单位( Unit) :量度各种物理量数值大小的标准量,称 单位。如长度单位为 m或 cm等。 “ 量 ”的表征。 量纲( Dimension) :撇开单位的大小,表征物理量的 性质和 类别。 如长度量纲为 L。 “ 质 ”的表征。 3 导出量纲( Derived Dimension) :是指由基 本量纲导出的量纲。 基本量纲( Fundamental Dimension) :具有独 立性的,不能由其他量纲推导出来的量纲叫做 基本量纲。不可压缩流体运动中一般取质量 M、 长度 L、时间 T、即 M- L-T为基本量纲体系。 量纲 A = L2 = ML-3 F = MLT -2 5.1 量纲和谐原理 4 几何学量纲: = 0, 0, =0 运动学量纲: = 0, 0, 0 动力学量纲: 0, 0, 0 分 类 不可压缩流体中,某一物理量 q的量纲 q都可用 3个基本量纲的指数乘积形式表示 量纲公式 : 5.1 量纲和谐原理 5 二、无量纲量 当 则 q = 1 无量纲量 可由两个具有相同量纲的物理量相比得到 ;可由几个有量纲物理量乘除组合,使组合量的量 纲指数为零得到。 特点: (1)无量纲量的大小与所选单位无关,具有 客观性 ; (2)不受运动规模 的影响,模型与原型常用同一无量纲数; (3)在 超越函数 (对数、指数、三角函数)运算中,均应用无量纲 量。 5.1 量纲和谐原理 6 三、量纲和谐原理 ( Theory of Dimensional Homogeneity) 凡是正确反映客观规律的物理方程, 其各项的量纲都 必须是一致 的,即只有方程两边量纲相同,方程才能 成立。这称为量纲和谐原理。 例: 5.1 量纲和谐原理 7 b、根据量纲和谐原理可用来 确定公式中物理量的 指数 。 c、可用来 建立物理方程式的结构形式 。为科学地组 织实验过程、整理实验成果提供 理论指导 。 a、一个方程在量纲上应是和谐的,所以可用来 检验 物理方程或经验公式的正确性和完整性。 量纲和谐原理的重要性: 5.1 量纲和谐原理 8 5.2 量纲分析法 一、瑞利法( Rayleigh) 瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。 具体分析 步骤 如下: 1、 确定与所研究的物理现象有关的 n 个物理量; 2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式,如: 3、 根据量纲和谐原理,即等式两端的量纲应该相同,确定物 理量的指数 a, b, p,代入指数方程式即得各物理量之间 的关系式。 9 应用范围: 一般情况下,要求相关物理量个数 n 不超 过 4个,待求量纲指数不超过 3个。 【 例 4-1】 求水泵输出功率的表达式 (1)确定关系式 找出同水泵输出功率 N相关的物理量,包括单位 体积水的重量 =g、 流量 Q、 扬程 H, 即 (2)写出指数乘积关系式 5.2 量纲分析法 10 (3)写出量纲式 (4)以基本量纲( M、 L、 T)表示各物理量量纲 5.2 量纲分析法 (5)根据量纲和谐原理求量纲指数 得 (6)整理方程式 11 二、布金汉( Buckingham)定理( 定理) 若某一物理过程包含 n个物理量,即 其中有 m个基本量(量纲独立,不能相互导出的物理量) 则该物理过程可由 n个物理量构成的 n m个无量纲项所表达的 关系式来描述 ,即 5.2 量纲分析法 12 定理的解题步骤: ( 2)确定基本变量: 从 n个物理量中选取 m个基本物理量,一 般取 m=3,如 q1、 q2、 q3。在管流中,一般选 d, , 三个作 基本变量,而在明渠流中,则常选用 H, , 。 ( 3)基本变量依次与其余物理量组成 项 ,即 ( 4)满足 为无量纲项, 定出上面各项中基本量的 指数 ai , bi , ci ( 5)整理方程式 ( 1)确定关系式: 根据对所研究的现象的认识,确定影响 这个现象的各个物理量及其关系式: 5.2 量纲分析法 13 选择基本变量的原则: 1)基本变量与基本量纲相对应 。即若各物理量中基本量纲 ( M, L, T)出现三个,那么基本变量也选三个;倘若 基本量纲只出现两个,则基本变量只须选择两个。 2)选择基本变量时,应选择重要的变量 。换句话说,不要 选择次要的变量作为基本变量,否则次要的变量在大多数 项中出现,往往使问题复杂化,甚至要重新求解。 3)不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的 ,换言之 ,基本变量应在每组量纲中只能选择一个。 应用范围: 对相关物理量个数 n 没有限制 ,应用 更为普遍。 5.2 量纲分析法 14 例 用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式 0。已 知 0与液体的密度 ,液体的动力沾滞系数 ,圆管直径 D,管 壁材料的粗糙度 以及管中断面平均流速 有关。 解 f( D、 v 、 、 0 、 、 ) =0 从各独立影响因素中选取 D(几何 量)、 (运动量)、 (动 力量)为基本量建立( 6-3 ) 项: 对 1 : 15 同理求得 将各 代入得 整理得 令 ,则 5.2 量纲分析法 16 管中紊流,单位管长沿程水头损失 hf /L,取决于下列因素: 流速 v,管径 D,重力 g,动力粘度 ,管壁粗糙高度 和密度 。 试用 定理分析确定方程的一般形式。 解: 取 v, d, 为基本变量,则 的个数 n-m=7-3=4 5.2 量纲分析法 17 进行量纲分析,则有 a1 = 0, b1= 0, c1 = 0 a2 = 1, b2=1, c2 = 1 a3 = 0, b3 = 1, c3 = 0 a4 = 2, b4 = - 1, c4 = 0 即 解得: 5.2 量纲分析法 18 5.3 相似理论基础 一、流动相似 原型 (Prototype):天然流体和实际建筑物称为原型。 模型 (Model):通常把原型(工程实物)按一定比例 关系缩小(或放大)的代 表物,称为模型。 水力学模型试验的目的 :利用模型流动来模拟和研 究原型流动问题。 关键问题 :使模型流动和原型流动保持 流动相似 。 19 流动相似: 若两个流动的对应点上的同名物理量(如 速度、压强及各种作用力等)具有各自的固 定比例关系,则这两个流动就是相似的。 模型和原型保证 流动相似 ,应满足: 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似 5.3 相似理论基础 20 1. 几何相似 ( geometric similarity) 指原型和模型两个流场的几何形状相似,即 对 应 的线段长度成比例、夹角相等 。 以脚标 p表示原型、 m表示模型,则有 长度比尺 面积比尺 体积比尺 5.3 相似理论基础 21 2. 运动相似 ( kinetic similarity) 指原型和模型流体运动的 速度场相似 ,即两流场各相 应点(包括边界上各点)的 速度 u 及加速度 a 方向相 同,且大小具有同一比值。 速度比尺 加速度比尺 5.3 相似理论基础 22 3.动力相似( dynamic similarity) 指 原型和模型 流动相应点处质点受 同名力作用 ,力的 方向相同,大小成比例 。 分别以符号 T、 G、 P、 Tw和 I代表影响流体运动的作用 力,如粘滞力、重力、压力、表面张力和惯性力,则 有 力的比尺 5.3 相似理论基础 23 4.初始条件和边界条件相似 边界条件相似 指两个流动相应边界性质相同,如原型 中有固体壁面,模型中相应部分也是固体壁面;原型 中的自由液面,模型相应部分也是自由液面。 对于非恒定流动,还要满足 初始条件相似 ;而对于 恒定流动,无需初始条件相似。 5.3 相似理论基础 24 流动相似的进一步解释: 边界条件和初始条件相似 以及 几何相似 是流动相似 的前提与依据; 动力相似 是决定流体运动相似的主导因素; 运动相似 是几何相似和动力相似的最终表现,是流 动相似的目标; 凡流动相似的原型与模型流动,必然同时满足几何 相似、动力相似和运动相似。 5.3 相似理论基础 25 二、动力相似准则 动力相似准则:在两相似的流动中,各种力之间 保持某种固定不变的比例关系。 1、雷诺(粘滞力)准则 考虑原型与模型之间粘滞力与惯性力的关系 5.3 相似理论基础 26 无量纲数 Re称雷诺数( Reynolds number) v雷诺数表示惯性力与粘滞力之比。两相似流动,粘滞 力起主要作用时,雷诺数相等。 适用范围 : 水流阻力即粘滞力 起主要作用 的有压流动 ,如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕 流问题等。 5.3 相似理论基础 27 2.弗劳德(重力)准则 考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系 v弗劳德数 ( Froude number) 表征惯性力与重力之比。 两相似流动,重力起主要作用时,弗劳德数相等。 适用范围 : 凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各 种流动(重力起主要作用),如堰坝溢流、孔口出流、明 渠流动、紊流阻力平方区的有压管流等。 5.3 相似理论基础 28 3. 欧拉(压力)准则 考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系 v欧拉数( Euler number)表征压力与惯性力之比。 两相似流动,压力起主要作用时,欧拉数相等。 由于压力通常是待求量,这样只要粘滞力、重力相似 ,压力将自行相似。换言之,当雷诺准则、弗劳德准 则成立时,欧拉准则可自行成立。 5.3 相似理论基础 29 4. 韦伯(表面张力)准则 考虑原型与模型之间表面张力与惯性力的关系 v韦伯数( Weber number)表征惯性力与表面张力之比。 两相似流动,表面张力起主要作用时,韦伯数相等。 5.3 相似理论基础 30 5. 马赫准则(马赫数) 高速气流中,考虑原型与模型之间弹性力与惯性力 的关系 v马赫数( Mach number)表征惯性力与弹性力之比。两 相似流动,弹性力起主要作用时( 如水击,空气动力学中 的亚音速或超音速运动等) ,马赫数相等。 5.3 相似理论基础 31 思考题: 为什么每个相似准则都要表征惯性力? 作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状 态的力外,其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用 在流体上的各力组成一个力多边形的话,那么惯性力则是这 个力多边形的合力,即牛顿定律 ,流动的变化就 是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之 间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。 5.3 相似理论基础 同类现象 :用相同形式和内容的微分方程式所描述的现象。 5.4相似定理 一、 相似正定理 ( 相似第一定理 ): 彼此相似的现象,它们的同名相似准则必定相等 。 二、 相似逆定理 ( 相似第二定理 ): 凡同类现象,单值性条件相似, 同名的已定准则相等,现象必定相似。 三、 单值性条件 1. 几何条件 2物理条件 3边界条件 4. 初始条件 四、 相似第三定理 : 描述某现象的各种量之间的关系可表示成 相似准则之间的函数关系,准则之间这种 函数关系称为 准则方程式 。 例:对某一恒定不可压缩粘性流动问题, 有准则方程式 -待定准则 -已定准则 或 定型准则 d-定性尺寸 v-定性速度 小结: 相似三定理圆满地 回答了 模型实验中 需要解决的三个方面 重要问题 。 3实验结果可 整理成准则方程式 ,并推广应用到 同类的相似现象中去。 2在进行模型实验时,为保证模型现象与实型现象相似 , 必须使两者的单值性条件相似,而且同名已定准则数值 上相等。但有时会从实际出发 忽略一些次要的已定准则 。 1实验时应测量各相似准则中所包含的 全部物理量 。 5.5模型实验 一、 模型律的选择 若 同种流体 已失去模型实验的价值 若 异种流体 也非常困难 小结 : 模型实验做到完全相似是困难的,一般只能达 到近似相似,保证对流动起主要作用的力相似,这就是 模型律的选择 问题。例如 有压管流 ,粘滞力起主要作用, 应采用 雷诺模型律 ;大多数 明渠流动 中,重力起主要 作用,应采用 弗劳德模型律 。 自模区 : 当雷诺数 Re超过某一数值后,阻力系数 不随 Re变化,此时流动阻力的大小与 Re无关, 这个流动范围称为自模区。 二、模型设计 1.雷诺模型律 2.弗劳德模型律 解 :对流动起主要作用的力是粘滞力,应采用雷诺模型律 【 例 5-5】 为研究热风炉中烟气的流动特性,采用长度比 尺为 1O的水流做模型实验。已知热风炉内烟气流速为 8m/s,烟气温度为 600Co,密度为 O.4 kg/m3,运动粘滞系 数为 0.9cm2/s。模型中水温 1OCo,密度为 1000kg/m3,运动 粘滞系数 O.O13lcm2/s。试问:( 1)为保证流动相似, 模型中水的流速;( 2)实测模型 压降为 63O7.5Pa, 原型热风炉中运行时烟气的压降是多少? ( 2)流动的压降满足欧拉准则 42 5.5 模型实验 建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究,并以模 型实验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。 一、模型律的选择 为了使模型和原型流动完全相似,除要几何相似外 ,各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时 满足各准则很困难,甚至是不可能的。 原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件,称为 雷诺模型律 。 原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件,称为 弗劳德模型律 。 43 v模型实验想做到与原型 完全流动相似是困难的 , 一般只能达到 近似相似 ,就是保证 对流动起主要作 用的力相似 ,这就是模型律的选择问题。 实际模型试验中,根据流动的特点, 抓住主要矛盾 。在几何相似的基础上,只满足雷诺模型律,或者 只满足弗劳德模型律,或者两者都不满足(处于自 模区,只需满足几何相似),即可近似认为流动相 似,在主要方面满足试验要求。 5.5 模型实验 44 二、模型设计 步骤: 2、根据对流动受
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