清华大学弹性力学冯西桥FXQChapter本构关系

1、12006.11.02 Constitutive Relation 2目 录Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性3Difference between solids and fluids. Mechanics of Solids, The New Encyclopedia of Britannica, 15th edition, Vol. 23, pp. 734-747, 2002.“A material is called solid rather than fluid if it can also support a substantial

2、shearing force over the time scale of some natural process or technological application of interest.” J. R. Rice3Chapter 2.1弹性的定义4引 言Chapter 5,0ji jif 应力张量 应力平衡方程： 位移矢量 u u 应变张量 e e 几何方程： （应变协调方程： ）, 0mjknilij kleee,()/2iji ji juue5本构关系 材料的变形与所受应力之间的关系； 是材料本身所固有的性质； 本构关系的研究是固体力学最重要的课题之一。引 言Chapter 5

3、( , , ,.)ijijiifu T x t H D6目 录Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性7Chapter 5.1 由实验可知当加载到由实验可知当加载到A点后点后卸载，卸载，加载与卸载路径并不加载与卸载路径并不完全重合完全重合，亦即应力与应变，亦即应力与应变之间之间不是单值对应不是单值对应的关系。的关系。OBACO称为称为滞后回线滞后回线。其。其所包含的面积称为所包含的面积称为滞后面积滞后面积。 弹性的定义8Chapter 5.1 对大多数材料来讲，当对大多数材料来讲，当应力加载幅值较小时，应力加载幅值较小时，滞后回线非常窄小，可滞后回线

4、非常窄小，可以认为加载与卸载是以认为加载与卸载是重重合合的。因此应力与应变的。因此应力与应变间可看作是间可看作是单值对应单值对应关关系。系。弹性的定义9弹性本构关系：弹性本构关系： T F,a其中其中 Fxa4Chapter 2.1 F 弹性的定义10弹性本构关系：弹性本构关系：l 应力与应变率无关，也不依赖于变形历史；应力与应变率无关，也不依赖于变形历史；l 没有迟滞效应。没有迟滞效应。 小变形弹性本构关系小变形弹性本构关系 均匀材料的小变形弹性本构关系均匀材料的小变形弹性本构关系 均匀材料的小变形线弹性本构关系均匀材料的小变形线弹性本构关系 ,T Ta a e e T C: :6Chapt

5、er 2.1弹性的定义11Chapter 5.1 各向同性弹性体 假设物体是假设物体是均匀均匀、连续连续、各向同性各向同性的，应力和应的，应力和应变间的关系只决定于物体的物理性质，应力和应变变间的关系只决定于物体的物理性质，应力和应变之间的关系与坐标的位置和方向无关。之间的关系与坐标的位置和方向无关。 下面所研究的物体仅限于下面所研究的物体仅限于完全弹性完全弹性体，即当物体体，即当物体除去外力后变形完全消失而恢复原状，而且应力与除去外力后变形完全消失而恢复原状，而且应力与应变间成单值的线性关系。应变间成单值的线性关系。弹性的定义12两个假设两个假设 弹性体的响应仅依赖于当前的状态；弹性体的响应

6、仅依赖于当前的状态； 弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。7Chapter 2.1 超弹性（Green）弹性的定义13线弹性: ijijWeklijijklCWee21广义胡克定律:klijklijijCWee8Chapter 2.1 超弹性（Green）弹性的定义14, 14Chapter 2.2 晶体弹性的定义15, 15Chapter 2.2silicon 晶体弹性的定义16, 16Chapter 2.2 晶体 三斜 单斜 正交 三角 四方 六方 立方弹性的定义1717Chapter 2.2 长链高分子弹性的定义18本构关系Chapter 5 弹性

7、的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性19广义胡克定律Chapter 5.1 单向应力状态时的胡克定律是单向应力状态时的胡克定律是 式中式中 E 称为弹性模量。对于一种材称为弹性模量。对于一种材料在一定温度下，料在一定温度下，E 是常数。是常数。 xxEe 杨氏模量20广义胡克定律Chapter 5.1 在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在弹性极限内，横向相对缩短在弹性极限内，横向相对缩短 和纵向相对伸长和纵向相对伸长 成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：yxee yexe 其中其中

8、是弹性常数，称为是弹性常数，称为泊松比泊松比。 泊松比21广义胡克定律Chapter 5.1 先考虑在各正应力作用先考虑在各正应力作用下沿下沿 x 轴的相对伸长，它轴的相对伸长，它由三部分组成，即由三部分组成，即 xxxxeeee 线弹性叠加原理22广义胡克定律Chapter 5.1xxxxeeee其中其中 是由于是由于x的作用所产生的相对伸长的作用所产生的相对伸长 xexxEe 是由于是由于y的作用所产生的相对缩短的作用所产生的相对缩短 xeyxEe 是由于是由于z的作用所产生的相对缩短的作用所产生的相对缩短 xezxEe 23广义胡克定律Chapter 5.1 将上述三个应变相加，即得在将

9、上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下同时作用下在在x轴方向的应变轴方向的应变1yxzxxyzEEEEe 同理可得到在同理可得到在y轴和轴和z轴方向的应变轴方向的应变11yyxzzzxyEEee24广义胡克定律Chapter 5.1 根据实验可知，根据实验可知，xy只引起只引起 xy 坐标面内的剪应变坐标面内的剪应变xy，而不引起而不引起 xz、yz，于是可得，于是可得xyxyG同理同理 yzyzzxzxGG25广义胡克定律Chapter 5.1于是，得到各向同性材料的应变于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：应力关系：1 1 1 xyxxyzxyyzyyxzyzzxzzxyzxEGE

10、GEGeee26广义胡克定律Chapter 5.1杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为 EG =+ 2(1) 将弹性本构关系写成指标形式为将弹性本构关系写成指标形式为 1ijijkkijEEe 27广义胡克定律Chapter 5.11 1 1xxyzyyxzzzxyEEEeee1212xyzxyzxyzxyzEEeee 28广义胡克定律Chapter 5.1如用应变第一不变量如用应变第一不变量代替三个正应变之和，用应力第代替三个正应变之和，用应力第一不变量一不变量 表示三个正应力之和，则表示三个正应力之和，则123EK 1 2xyzxyzEeee其中其中

11、 称为体积模量。称为体积模量。 3(12 )EK29广义胡克定律Chapter 5.1112 ; ijijkkijEEEe 112112ijijijijijEEGee11 2E令2ijijkkijGee 则30广义胡克定律Chapter 5.1弹性关系的常规形式为弹性关系的常规形式为 2 ; 2 ; 2 ; xxxyxyyyyzyzxzzxzxGGGGGGeee 其中其中 G 和和 称为称为拉梅常数拉梅常数。31广义胡克定律Chapter 5.1 将应力和应变张量分解成球量和偏量，得将应力和应变张量分解成球量和偏量，得 0223ijijijijGG e233 1 2EKG 由于偏量和球量相互独

12、立由于偏量和球量相互独立 ，所以有，所以有0; 2ijijKGe32广义胡克定律Chapter 5.1 第一式说明弹性体的体积变化第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力是由平均应力0引起引起的，相应的弹性常数的，相应的弹性常数K称为体积模量。称为体积模量。(体积变化体积变化) 0; 2ijijKGe 第二式说明弹性体的形状畸变第二式说明弹性体的形状畸变 是由应力偏量是由应力偏量 引起的，相应的弹性常数是剪切模量引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。的二倍。(形状形状变化变化) ijeij33广义胡克定律常用的三套弹性常数常用的三套弹性常数E、单拉测定单拉测定Lam常数：常数：G、K、G静水

13、压、纯剪静水压、纯剪（扭转）测定（扭转）测定Chapter 5.134广义胡克定律Chapter 5.1 对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和和 ；用薄壁筒扭转试验来测定；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测；用静水压试验来测定定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总是和加载方向一致的是和加载方向一致的(即外力总在物体变形上做正功即外力总在物体变形上做正功)，所以所以0; 0; 0EGK35广义胡克定律Chapter 5.1故要上式成立必要求：故要上式成立必要求： 1EG =2( +)23

14、3 1 2EKG0; 0; 0EGK10; 12010.5 即即36广义胡克定律Chapter 5.110.5 若设若设0.5，则体积模量，则体积模量K，称为，称为不可压缩材料不可压缩材料，相应的剪切模量为相应的剪切模量为 3EG 对实际工程材料的测定值，一般都在对实际工程材料的测定值，一般都在 的范的范围内。围内。 00.537本构关系Chapter 5.2 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性38广义胡克定律各向同性本构关系各向同性本构关系Chapter 5.22 1112ijijkkijijkkijGEEee ee p 对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引

15、对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变，它们是互不耦合的。它们是互不耦合的。39广义胡克定律各向异性本构关系各向异性本构关系Chapter 5.2p 对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量都可能引起任何一个应变分量的变化。都可能引起任何一个应变分量的变化。p 广义胡克定律的一般形式是：广义胡克定律的一般形式是： ijijklklCeC 是四阶刚度（弹性）张量。是四阶刚度（弹性）张量。ijijklklDe D 是四阶柔度张量。是四阶柔度张量。40广义胡克定律确定线

16、弹性材料常数的历史过程确定线弹性材料常数的历史过程Chapter 5.141广义胡克定律Chapter 5.1 由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的ekl均成立，所以根据商判则均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称是一个四阶张量，称弹性张量弹性张量，共有，共有81个分量个分量。 弹性张量的弹性张量的Voigt对称性对称性ijkljiklijlkklijCCCC42广义胡克定律Chapter 5.1jiijijkl kljikl klklCCeeejiklijklCClkkleeijkl klijlk lkijlk klklCCCeeeej

17、iklijklCCijklklijCC下节中将证明43广义胡克定律Chapter 5.1ijkljiklijlkCCC独立的弹性常数由独立的弹性常数由81个降为个降为36个个 1112131415162122232425263132333435364142434445465152535455xxyzxyyzzxyxyzxyyzzxzxyzxyyzzxxyxyzxyyzzxyzxyzxyyzccccccccccccccccccccccccccccceeeeeeeeeeeeeee56616263646566zxzxxyzxyyzzxccccccceee44广义胡克定律Chapter 5.1 其中其

18、中 即即c 的下角标的下角标1、2、3、4、5、6分别对应于分别对应于C 的双指的双指标标11、22、33、12、23、31。应该指出，改写后的。应该指出，改写后的cmn (m, n16) 并并不是张量不是张量。 由于存在由于存在Voigt对称性，所以对称性，所以对于最一般的各向异性对于最一般的各向异性材料，独立的材料，独立的弹性常数共有弹性常数共有21个个。1111121122141112562331,cCcCcCcC45广义胡克定律Chapter 5.1 (1) 一般各向异性线弹性一般各向异性线弹性 ： 无弹性对称面无弹性对称面 21 312312332211665655464544363

19、534332625242322161514131211312312332211eeeccccccccccccccccccccc称称对对 例：例： 三斜晶体三斜晶体abc 46广义胡克定律111112131415161122222324252622333334353633124445461223555623316631ccccccccccccccccccccceee对称Chapter 5.1 (2) 具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体 ： 13 bae2ce1e3e3例：单斜晶体例：单斜晶体(正长石和云母等正长石和云母等) e1,e2平面为弹性对称面平面为弹

20、性对称面1111121314112222232422333334331244122355562331663100000000ccccccccccccceee对称47广义胡克定律1111121314112222232422333334331244122355562331663100000000ccccccccccccceee对称Chapter 5.1(3) 正交各向异性线弹性体正交各向异性线弹性体 ： 9 111112131122222322333333124412235523316631000000000000ccccccccceee对称例：正交晶体例：正交晶体(各种增强纤维复合材料、各种增强

21、纤维复合材料、木材等木材等)互相正交的互相正交的e1-e2 ， e2-e3, e1-e3平面为弹性平面为弹性对称面对称面ce1e3e2e1ab48广义胡克定律Chapter 5.1(4) 横观各向同性线弹性体横观各向同性线弹性体 ： 531231233221155551211443313111312113123123322110002)(000000000eeeccccccccccc称称对对例：六方晶体例：六方晶体aaac49广义胡克定律Chapter 5.13123123322111211121112111112111212113123123322112)(02)(002)(00000000

22、0eeecccccccccccc称称对对(5) 各向同性线弹性体各向同性线弹性体 ： 2金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料金属（随机排列晶体）、短纤维增强复合材料颗粒增强复合材料颗粒增强复合材料50, 16Chapter 2.2 晶体 三斜（21） 单斜（13） 正交（9） 三角（9） 四方（7） 六方（5） 立方（3）弹性的定义51广义胡克定律Chapter 5.12个金属金属拉压拉压：2个个 剪切剪切：1个个各向同性各向同性地壳、地壳、六方晶体六方晶体拉压拉压：4个个 剪切剪切：2个个5个个横观各向横观各向同性同性正交晶体正交晶体拉压与剪切不耦合拉压与剪切不耦合剪切为对角阵剪切为对角

23、阵9个个正交各向正交各向异性异性单斜晶体单斜晶体13个个有一个弹有一个弹性对称面性对称面三斜晶体三斜晶体66对称对称21个个一般情况一般情况例例独立的弹独立的弹性常数性常数ijc2/221144ccc2/221144ccc小结小结52本构关系Chapter 5 引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性53 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变能 如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变如果载荷施加得足够慢，物体的动能以及因弹性变形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将形引起的热效应可以忽略不计，则外力所做的功将全部转化为变形位能而储存在弹性体内。全部转化

24、为变形位能而储存在弹性体内。 弹性变形是一个弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程没有能量耗散的可逆过程，卸载后，卸载后物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部物体恢复到未变形前的初始状态，变形位能将全部释放出来。释放出来。 54 应变能和应变余能Chapter 5.2yzxoxxxyxzyxyyyzzxzyzz55xyzo1111 应变能和应变余能Chapter 5.2 非线性的应力应变关系非线性的应力应变关系56 应变能和应变余能Chapter 5.2 正应力正应力 11 仅在正应变仅在正应变 e11 上做功，其值为：上做功，其值为： 其他应力分量其他应力分量 ij 也都只与之对应的应变

25、分量也都只与之对应的应变分量 eij 上上做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积做功。把这些功叠加起来，并除以微元体积dV，得，得111111123111111100dddddddAxxxVeeee0dddijijijAVee57 应变能和应变余能ijijijijijdWeeee0)()(Chapter 5.2 引进应变能密度函数引进应变能密度函数W(eij)，使，使 ijijWe即000ddddd()(0)ijijijijijijijijAWWVWWeeeeeee则 其中，其中，W(0)和和W(eij)分别为物体变形前和变形后的应变能密度。分别为物体变形前和变形后的应变能密度。一般取变形前的

26、初始状态为参考状态，令一般取变形前的初始状态为参考状态，令W(0)0。 格林格林(Green,G.)公式公式58 应变能和应变余能Chapter 5.2000dddd()(0)dijijijijijijijijAWWWWVeeeeeeep 应变能密度等于单位体积的外力功。应变能密度等于单位体积的外力功。p 应变能密度只与物体的应变能密度只与物体的初始状态初始状态和和最终变形状态最终变形状态有有关，而关，而变形历史无关变形历史无关，即是一个，即是一个状态函数状态函数。 p 应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当应变能是弹性材料本构关系的另一种表达形式，当W(eij)的具体形式给定后，应力应

27、变关系也惟一确定。的具体形式给定后，应力应变关系也惟一确定。59 应变能和应变余能Chapter 5.2klijklijWWeeeeijijWe又又ijklklijee广义格林公式 60 应变能和应变余能Chapter 5.2 线弹性情况线弹性情况 在无应变自然状态在无应变自然状态(eij=0)附近把应变能函数附近把应变能函数W(eij)对对应变分量展开成幂级数：应变分量展开成幂级数：012ijijijklijklWCCCee e0000200; ijijijijijijijijklijklijklijWCWCWCeeeeeee ee 其中其中61 应变能和应变余能Chapter 5.200=

28、0ijijijijijWCeee000=0 ijCWWe200=ConstantsijijklijklijklijWCeeeee62 它是应变分量它是应变分量eij的二次齐次式，有：的二次齐次式，有： 由此证明弹性张量由此证明弹性张量 C 对双指标对双指标 ij 和和 kl 具有对称性。具有对称性。 应变能和应变余能12ijklijklWCe eChapter 5.2ijklijklklijijklCCee63 应变能和应变余能Chapter 5.2 对于各向同性材料，有对于各向同性材料，有22222222121212222yzxyyzzxxxyyzzxyxyyzyzzxzxxyzxWGGG

29、e e e eeeeee 对于非线性弹性材料，还应考虑应变能幂级数表对于非线性弹性材料，还应考虑应变能幂级数表达式中的高阶项。达式中的高阶项。64 应变能和应变余能Chapter 5.2 应变余能 仿照应变能的定义式，可以定义应变余能仿照应变能的定义式，可以定义应变余能Wc 它具有如下类似性质：它具有如下类似性质： 0dijcijijWedd; ccijijijijijklklijWWeeee65 应变能和应变余能Chapter 5.2对上式分部积分得：对上式分部积分得： 0dijcijijijijijijWWe ee e0dijcijijWe66 应变能和应变余能Chapter 5.20di

30、jcijijijijijijWWe ee e 面积。面积。全功中只有一部分全功中只有一部分(图图中的曲边三角形中的曲边三角形OAP)转化为转化为弹性应变能弹性应变能W，剩余部分，剩余部分(曲曲边三角形边三角形OBP)就是余能就是余能Wc。上式给出了应变能和应变余上式给出了应变能和应变余能对全功的互余关系。能对全功的互余关系。 右端第一项右端第一项ijeij称为全功，它相应于图中矩形称为全功，它相应于图中矩形OAPB的的67 应变能和应变余能Chapter 5.2对于线弹性材料，应变余能为对于线弹性材料，应变余能为 12cijijWe 应变余能的值和应变能的值相等。应变余能的值和应变能的值相等。

31、 68 应变能和应变余能Chapter 5.2 注注 应变余能并不储存在弹性体内。例如：设在弹性悬应变余能并不储存在弹性体内。例如：设在弹性悬臂梁的自由端突然加一块砝码。当梁通过其静态平臂梁的自由端突然加一块砝码。当梁通过其静态平衡位置时，砝码所做的功为全功，其中只有一半转衡位置时，砝码所做的功为全功，其中只有一半转化为储存在梁内的应变能；另一半应变余能则表现化为储存在梁内的应变能；另一半应变余能则表现为动能，它导致梁砝码系统在其平衡状态附近的为动能，它导致梁砝码系统在其平衡状态附近的自由振动，并通过与空气的摩擦逐渐转化为热能耗自由振动，并通过与空气的摩擦逐渐转化为热能耗散于空气之中。散于空气

32、之中。69本构关系Chapter 5 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性70 热力学第一定律热力学第一定律 其中其中dT和和dE分别是动能增量和内能增量，分别是动能增量和内能增量，dA是外力对系统是外力对系统所做的功，所做的功， dQ是系统从外界吸收的热量。是系统从外界吸收的热量。 热力学第二定律热力学第二定律 其中其中 为温度，为温度，S为熵。为熵。 应变能的正定性Chapter 5.3ddddTEAQddSQ71 应变能的正定性ddddTEAQddddQTEAChapter 5.3ddSQdddddSQTEA代入 这是自然界中一切热力学过程都必须满足的方程。这是自然界中一切热力学过程都必须满足的方程。其中等号仅适用于可逆过