高二数学《用圆锥曲线的定义解题》人教版（通用）

1、高二数学高二数学用圆锥曲线的定义解题用圆锥曲线的定义解题人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 专题讲座 利用圆锥曲线的定义解题 二. 复习： 椭圆、双曲线、抛物线、圆锥曲线的统一定义。 1. 椭圆的第一定义： 平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数 2a(a0)，（2a|F1F2|）的点的轨迹叫 椭圆。 注： （1）2a|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆； （2）2a=|F1F2|时，动点的轨迹是线段； （3）2a|F1F2|时，动点无轨迹。 2. 椭圆的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e（0e1）的点的轨迹叫 椭圆。定点是椭

2、圆的焦点。定直线叫椭圆的准线，常数 e 叫椭圆的离心率。 3. 双曲线的第一定义： 平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值是常数 2a（2a|F1F2|）的点的轨迹叫做 双曲线。 注： （1）2a|F1F2|时，动点无轨迹。 4. 双曲线的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(e1)的点的轨迹叫双曲 线。定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数 e 叫双曲线的离心率。 5. 抛物线的定义： 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点 F 叫抛物 线的焦点，定直线 l 叫抛物线的准线。（要求定点 F 不在定直线 l 上

3、）。 6. 圆锥曲线的统一定义： 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离之比等于常数 e 的动点的轨迹。 （1）当 0e1 时，表示双曲线。 这三种曲线合在一起，称为圆锥曲线。 三. 典型例题分析： 例 1. 选择题 （ 1 925 1 12 22 12 . FF xy ABFABF、是椭圆的两个焦点，是过的弦，则的周长是 ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 16 （ 2 259 125 22 .椭圆上一点 到左准线的距离为，则点 到右焦点的距离为 xy PP ） =63 169 1 22 1 .|双曲线方程为，过左焦点 的弦交左支于 、 两点，且 xy FABABAB ，设

4、 F2是右焦点，则ABF2的周长为（ ） A. 16B. 22C. 28D. 32 F4 169 160 22 1212 . 双曲线上一点 ， 、是双曲线的焦点，且，则 xy PFFF PF 1PF2的面积为（ ） 5. 动点 P 到点 A（0，2）的距离比到直线 l：y=-4 的距离小 2，则动点 P 的轨迹方程是 （ ） A. y2=4xB. y2=8x C. x2=4yD. x2=8y 6. 若抛物线 y2=2px（p0）上三点的纵坐标的平方成等差数列，则三点对应的焦半径的 关系是（ ） A. 成等比数列；B. 成等差数列； C. 成常数列；D. 以上均不对。 解解 1 1：结合椭圆的图

5、形可知，ABF2的周长应等于 4a aa5420， 选 C。 y 5 F2 B O 3 x F1 A 解解 2 2：先用椭圆的第二定义求出点 P 到左焦点的距离 | . PFc a 1 25 4 5 |PF1|=2 再用椭圆的第一定义求点 P 到右焦点的距离 | |PFPFaPF 122 2108 选（A） 解解 3 3：依题意： |AF2|-|AF1|=2a （1） |BF2|-|BF1|=2a （2） （1）+（2）|AF2|+|BF2|=4a+|AB| |AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2|AB| a=4 4a=16 |AB|=6 2|AB|=12 ABF2的周长=16+12=28

6、 选（C） A B F1 F2 解解 4 4：设|PF1|=m，|PF2|=n 则Smnmn F PF 12 1 2 60 3 4 sin 在中，F PFcmnmn 12 222 2260()cos 100236 2 ()mnmnmnmn Smn F PF 12 3 4 3 4 369 3 选（D） y P x F1 O F2 60 解解 5 5：依题意：动点到点 A（0，2）的距离比到直线 y=-4 的距离小 2，因此，动点到 定点 A（0，2）的距离与到定直线 y=-2 的距离相等，由抛物线定义知，动点 P 的轨迹是顶 点在原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线。 选（D） y A（0，2）

7、 x y=-2 y=-4 解解 6 6：设 P1（x1，y1） P2（x2，y2），P3（x3，y3） 则，ypxypx 1 2 12 2 2 22 ypx 3 2 3 2 又2 2 2 1 2 3 2 yyy 2 222 213 ()pxpxpx 2 213 xxx 又焦半径：，|P Fx p P Fx p P Fx p 112233 222 22 22 |P Fxp | |P FP Fxxp 1312 2 213 | | |P FP FP F 三个焦半径成等差数列 选（B） P1 P2 P3 y x x p 2 x p 2 例 2. 设动圆 M 与圆 C：(x+4)2+y2=100 相内切

8、，且过点 A（4，0），求这个动圆圆心 M 的轨迹方程。 解：解：设：动圆圆心 M（x，y），切点为 P 则：C、M、P 三点共线 |CMMP10 又| | |MPMAMCMA 10 由椭圆的第一定义知，动点 M 的轨迹是以定点 C，A 为焦点，中心在原点的椭圆。 28210ca cab453 动点的轨迹方程为：M xy 22 259 1 例 3. 已知圆 C1：(x+3)2+y2=1 和圆 C2：(x-3)2+y2=9，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外 切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 分析：解本题的关键是寻找动点 M 满足的条件，对于圆与圆的相切问题，自然要考虑 圆心距与半径的关系。

9、 解：解：设动圆圆心 M（x，y），动圆 M 与 C1、C2的切点分别为 A、B 则：|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB| 又|MA|=|MB| |MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2 即|MC2|-|MC1|=2，又|C1C2|=6 由双曲线定义知：动点 M 的轨迹是以 C1、C2为焦点中心在原点的双曲线的左支。 2a=2，2c=6 a=1，c=3 b2=8 动点的轨迹方程为（）Mx y x 2 2 8 11 说明：由于动点 M 到两定点 C1、C2的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因 此，其轨迹只能是双曲线的一支。 M y A B

10、-3 3 x C1 C2 例 4. 已知ABC 的三边 a,b,c（abc）成等差数列，两顶点 A、C 的坐标分别为 A（- 1，0），C（1，0），求ABC 重心 G 的轨迹方程。 y B（x1，y1） G（x，y） x A(-1,0) O C(1,0) 分析：分析：把已知条件标在坐标系中，可知这是一个求双动点的轨迹方程的问题，即：应 先求出动点 B 的轨迹方程，再求ABC 的重心 G 的轨迹方程，这样思路就清楚了。 解：解：ABC 的三边 a,b,c 成等差数列 2b=a+c 即 2|AC|=|BA|+|BC|=4 由椭圆定义知：动点 B 的轨迹是以 A、C 为焦点，中心在原点的椭圆。又a

11、bc 即 |BC|AB| 是椭圆左半部分 2a=4，2c=2 a=2 c=1 b2=3 点 的轨迹方程为，（）B xy x 22 43 120 设重心 G（x，y），B（x1，y1） G 为ABC 的重心， BG GO 2 x x xx 1 1 12 3 y y yy 1 1 12 3 B xy xy () 11 22 43 1，在上运动 ()()3 4 3 3 1 2 3 0 22 xy x，（） 即：，（） 9 4 31 2 3 0 2 2 x yx ABC 的重心 G 的轨迹方程为： 9 4 31 2 3 0 2 2 x yx，（） 说明：这道题要把握好轨迹方程中的变量的允许值范围，要用

12、好题目中的每一个条件。 【模拟试题模拟试题】 1. 已知平面上定点 F1、F2及动点 M，命题甲：|MF1|-|MF2|=2a（a 为常数）命题乙：M 点轨迹是以 F1、F2为焦点的双曲线；则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件 2. 抛物线 y2=2px 的准线与对称轴相交于 S 点，PQ 为抛物线的过焦点 F 且垂直于对称轴 的弦，则PSQ=（ ） ABCD. 632 2 3 3. 已知 A（0，7），B（0，-7），C（12，2），以 C 为一个焦点作过 A、B 两点的椭圆， 求椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程。 试题答案试题答案 提示提示 1 1：用甲和乙作两个互逆的命题，之后判断真假，再套充要条件定义知 选（B） 提示提示 2 2：如图 y P S Q x F p () 2 0， | |PFSFPSF 45 PSQ9