3线性系统的能控性和能观性.ppt

1、第三章 线性系统的能控性和能观性,研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统. 含义1: 控制作用: 对状态变量的支配 能控性. 系统输出能否反映状态变量 能观性. 含义2: 能控性:能否找到使任意初态 确定终态 能观性:能否由输出量的测量值 各状态,多变系统两个基本问题: 在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态? 在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态? 简单地说:,如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控(状态能控). 如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能观测的.,例1:

2、 给定系统的状态空间描述: 解:展开 表明:状态变量 , 都可通过选择输入u而由始点 终点完全能控. 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测.,3.1线性系统能控性和能观性的概念,含义： 能控性：u(t) x(t) 状态方程 能观性：y(t) x(t) 输出方程,定义： 设 若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意状态 转移到任意终态，则该系统完全能控,说明： 任意初态(状态空间中任一点),零终态 能控 零初态 任意终态,能达,2. 定理1,例： 判断能控性,解： rank =23,不能控,对于： 行数列数的情况下求秩时： rank =rank,定理2：若， 若为对角型，则状态完

3、全能控的充要条件为： 中没有任意一行的元素全为零,例：线性系统的状态方程为 其中： 试判断该系统的能控性,解： 如果rank =2, 则必须要求,定理3：设， 若为约当型，则状态完全能控的充要条件是： 对应的每一个约当块的最后一行相应的阵中所有的行元素不全为零,例：设系统的状态方程为 其中： 试判断系统的能控性,解： 而b1是任意值，且rank =2 则该系统能控,当的特征值 , ，且 则可以经过 将A化为约当型. 如下:,且,例：设，已知,行线性无关,不全为零,能控,线性变换后系统的能控性不变 设 令则： 其中：,系统的能控性不变,定理4： 设 如果系统能控，则 则必存在一个非奇异变换 可将

4、状态方程化为能控标准型：,其中：,且：,证明：(由 推得 ),例： 求能控标准型,解： rank Sc=2 能控,则,3.2线性离散系统的能控性,定义：设线性定常离散系统的状态方程: 其中,若存在控制向量序列 能在有限时间内，将系统 第从k步的X(k)转移到至第n步的x(n)=0，则称系统在第k步上是能控的如果每个k系统的所有状态能控，则称系统为完全能控,定理：设 则系统完全能控的充要条件： rankSc=n 其中：,证明：(以单输入为例) 设 假设：,这里x(0)是任意的,为满秩矩阵 可求出u(0),u(1), u(n-1),例1： 判断系统的能控性,解：,该系统能控,若已知 求u(0),u

5、(1),u(2),设x(3)=0,解得： 因此，对于任意x(0)，都能求出 u(0),u(1),u(2), 使 x(0) x(3)=0,例2： 判断能控性 能否存在 对任意x(0) x(1)=0？,解：,rank Sc=3 因此该系统能控 所以一定可使任意x(0) x(3)=0,但不能对任意x(0) x(1)=0,3.4 线性定常系统的输出能控性,在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控.设: 定义:在 上,任意 解出u(t),输出能控 ,定理： 系统输出完全能控的充要条件：,例： 判断系统是否输出能控 解：rankCB CABD=rank1

6、 -2 0=1=q 输出能控 rankSc=rankb Ab=12 状态不能控,3.5 线性定常连续系统的能观性,在实际工程实践中,往往需要知道状态变 量,而由于各种原因,不一定都能直接获取, 但输出变量总是可以获取和测量的. 能观性能否通过对输出的测量来确定 系统的状态变量,设线性定常连续系统状态空间表式： 定义：对任意给定u(t)，在内输出y(t)可唯一确定系统的初态x(),则系统是完全能观的 y x( ) 能观 y x( ) 能检,确定,确定,定理1： 系统状态完全能观的充要条件：,证明： 设,这里：是一个单位阵 要使y(t) x(0),确定,定理2: 若A为对角型，则系统完全能控能观的

7、充要条件是： 输出阵C中没有任何一列的元素全为零,例：系统状态方程为,系统能控能观则要求 即rank =2,定理3： 若A为约当型，则系统完全能观的充要条件是： C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零,如： 能观,例：设系统的状态方程为： 判断系统的能观性 解：,能观,约当型判据： 设A有 ( 重根)， ( 重根)， ( 重根) ，,且 要使系统完全能观，则由 的第一列组成的矩阵： 对 均列线性无关。,定理4: 设 如果系统能观，但不是能观标准型，则存在 ，将原系统化为能观标准型：,(单输入单输出系统),其中,其中：,线性变换后系统能观性不变 设 令,3.6 线性定常离

8、散系统的能观性,设 定义：已知u(k)，如果能由 确定x(k)，则第k步是能观的。如果每个k步都能观，则系统完全能观。,y(k) y(k+1) y(k+n-1),已知u(k),x(k)=,定理：系统状态完全能观的充要条件： 其中：,证明：令u(k)=0 k=0 y(0)=Cx(0) k=1 y(1)=Cx(1)=CAx(0) k=n-1 y(n-1)=,当 时，x(0)有解。,例： 解：,3.7 对偶原理,由第二章： 对偶原理：,其中: 与 互为对偶.,对偶原理应用,把可观的SISO系统化为可观测标准型 将其对偶系统化为可控标准型,对偶原理,可观,可控,定理4： 设 如果系统能控，则 则必存在

9、一个非奇异变换 可将状态方程化为能控标准型：,其中：,且：,3.8 G(s)为能控性和能观性的关系,设 单输入 定理:系统能控能观的充要条件是G(s)中没 有零极点对消,设A的特征值: , 则系统可化为:,当 当,不能控,不能观,系统能控能观,验证能控性: 设 不能控,则 一定存在零极点对消.,验证能观性: 设 不能观,则 一定存在零极点对消.,例: 解: 能控型:,不能观,能观型:,不能控,不能控不能观:,不能控不能观,3.9 线性定常系统结构分解,x,-能控能观 -能控不能观 -不能控能观 -不能控不能观,系统的能控性分解 设 其中 ,系统不能控. 引入 变换, 中r个线性无关列向量. 任

10、意n-r个列向量. 存在,则,-能控状态子向量,-不能控状态子向量,r,n-r,r,n-r,则有: 能控子系统: 不能控子系统:,y,u,例1： 进行能控性分解 解： 所以不能控,选取 通过 则,能控子系统： 不能控子系统：,系统的能观性分解 设 其中所以不能观 引入变换： 中 个线性无关的行向量 任意 个行向量存在 则,-能观子状态,-不能观子状态,则 能观子系统： 不能观子系统：,u,例： 进行能观性分解 解：,选取 经过,能观子系统： 不能观子系统：,系统的标准分解： 假设系统：不能控也不能观 ,能控性分解,能控子系统能观性 分解,不能控子系统，能观性分解,能控能观: 能控 不能观: 不能控 能观 不能控 不能观,u,y,例3: 进行能控能观性分解. 解:,系统不能控不能观.,(A,b,c)能控性分解( , , ),取 则：,能控子系统：,不能控子系统：,显然,能控系统能观性分解： 取,标准分解:,3.10最小实现,定义：G(s)的一个最小实现： 如果G(s)不存在其它实现 使的维数小于x的维数，则称(,)是(s)的一个最小实现,定理：(s)的一个实现(,)既能控又能观严格的真有理分式(s)的实现 说明：G(s)只能反映系统中能控的动态行为，所以把不能控或不能观的状态消去，不会影响系统的G