基本RL和RC电路

1、电路分析基础,第八章 一阶动态电路,2020/8/13,天津大学电信学院,2,本章目录,本章目录,8.1 动态电路概述,8.2 一阶动态电路的零输入响应,8.3 奇异函数,8.4 一阶动态电路的零状态响应,一阶动态电路,8.5 一阶动态电路的全响应,8.6 本章小结,2020/8/13,天津大学电信学院,3,动态电路: 含有动态元件(电感、电容)的电路, 通常用微分方程描述. 一阶动态电路: 只含有一个独立动态元件的电路, 用一阶微分方程描述. 动态电路时域分析: 将动态电路中的激励和响应都表示为时间t的函数, 采用微分方程来描述和分析动态电路的过程.,1、动态电路基本概念,(a)(b)(c)

2、一阶动态电路 (d)二阶动态电路,8.1 动态电路概述,2020/8/13,天津大学电信学院,4,零输入(zero input): 在t=t0+时刻, 电路中无外加激励电源. 零状态(zero state) : 在t=t0+时刻, 电路内部各动态元件的独立初始条件为零(初始储能为零). 零输入响应: 在零输入条件下, 仅由储能元件的非零初始状态引起的响应. 零状态响应: 在零状态条件下, 仅由外加输入引起的响应. 稳态(steady state): 如果描述电路的物理量(电压,电流)为常量或者周期变化时, 则称电路进入稳定状态, 简称稳态. 暂态(transient state): 电路不处于

3、稳定状态即处于暂态响应. 暂态过程对应着电路由一种稳态过渡到另一种稳态的过程.,8.1 动态电路概述,2020/8/13,天津大学电信学院,5,2、换路定律,8.1 动态电路概述,换路(commutation) : 动态电路中, 在t = t0+时刻, 由任何原因引起的电路结构的改变(如开关换位、线路短接或开路), 或是电路元件参数改变, 统称为换路, 将t = t0+时刻称为换路时刻.,任何物理可实现电路,在换路瞬间电路中的储能不发生突变. 换路使得动态电路的工作状态发生改变. 换路之后,动态电路通常要经历暂态过程.,换路定律: 在换路前后, 如果电容电流或电感电压为有限值, 则在换路前后瞬

4、间, 电容电压或电感电流不能突变, 即有:,2020/8/13,天津大学电信学院,6,用t = t0表示换路瞬间, 称电路变量y(t)在t = t0 时的值(y(t0)为换路前的值, 称t = t0+时的值(y(t0+)为换路后的值, 或称初始值. 初始状态: 在t = t0+时动态电路中各电路变量y(t)的初始值y(t0+) 的集合称为电路的初始状态.,3、电路的初始条件,8.1 动态电路概述,独立初始条件: 动态电路中在t = t0+时刻电容电压的初始值vC(t0+)以及电感电流的初始值iL(t0+)称为该电路的独立初始条件. 其它电路变量的初始值称为非独立初始条件. 对于n阶电路, 有n

5、个独立初始条件, 用于求解电路.,2020/8/13,天津大学电信学院,7,4、动态电路的分析角度与方法,8.1 动态电路概述,(2) 动态电路的分析方法 求解微分方程法(经典法) 根据KCL、KVL和支路的VCR, 建立描述电路变量之间关系的微分方程, 求解微分方程得到各电路变量. 适用于各种情况, 求解过程复杂. 三要素法 直接计算构成响应的各电路变量(要素), 代入对应的响应形式中. 计算方便, 仅适用于直流或正弦激励的一阶动态电路.,(1) 动态电路的分析角度 电路的工作状态: 分为自由响应(暂态响应)和受迫响应(稳态响应). 根据产生响应的原因: 分为零输入响应和零状态响应.,202

6、0/8/13,天津大学电信学院,8,一阶动态电路时域分析的讲解顺序,8.1 动态电路概述,一阶动态电路的零输入响应(RC/RL),分析典型电路, 求解微分方程,2020/8/13,天津大学电信学院,9,8.2 一阶动态电路的零输入响应,零输入响应: 在没有外加激励条件下, 仅由电容或电感的非零初始状态引起的响应. 零输入响应由动态元件的初始储能产生, 体现的是在没有外部激励干预的“自由”状态下电路的表现, 反映了电路的固有属性, 因此,零输入响应属于自由响应. 在零输入响应中, 动态元件的初始储能将消失殆尽, 因此零输入响应终将为零.,2020/8/13,天津大学电信学院,10,8.2.1 R

7、L电路零输入响应(无源RL电路),8.2 零输入响应,1、RL电路的零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,11,8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,12,电感电压vC(t)在换路瞬间有一个负向跳变, 从vC(0)=0跳变到vC(0+)=I0R, 随时间按指数规律需趋近于零.,RL电路的零输入响应都 是随时间衰减的指数函数. 电感电流iC(t)从初始值I0开始, 随时间按指数规律下降, 最终趋近于零.,8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,13,8.2 零输入响应,例1,例1 已知t=0时iL=2A,求t0时的iL(t)表达式. (例题8.1

8、 pp.231),2020/8/13,天津大学电信学院,14,8.2 零输入响应,例1,例2 电路图如下图所示, 求t=200ms时v的值. (例题8.2 pp.233),第1步:求独立初始条件,第2步: 写出响应,2020/8/13,天津大学电信学院,15,8.2 零输入响应,例1,练习1 电路图如下图所示, 求t0时电压v. (pp.234),2020/8/13,天津大学电信学院,16,8.2 零输入响应,2、时间常数,iL(t)呈现指数衰减,时间常数的单位是秒(s). 几何意义: 等于响应的初始衰减速率的倒数的相反数. 物理意义: 等于响应沿初始衰减速率下降到0所需的时间. 等于响应下降

9、到初始值的36.8%所经历的时间. 反映了动态元件(充)放电的速率, 即暂态过程的变化快慢程度. 值越大, (充)放电所需时间越长, 暂态过程经历的时间越长.,2020/8/13,天津大学电信学院,17,8.2 零输入响应, 对(充)放电时间的影响: 经过 5 的时间, (充)放电基本结束.,与(充)放电时间的关系,2020/8/13,天津大学电信学院,18,8.2.2 RC电路零输入响应(无源RC电路),8.2 零输入响应,1、RC电路的零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,19,8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,20,电容电流iC在电容开始放电瞬间有一个

10、正向跳变, 从i(0)=0跳变到i(0+)=V0/R , 随时间按指数规律下降而趋于零.,RC电路的零输入响应都是随时间衰减的指数函数. 在电路放电过程中, 电容电压vC从初始值V0开始, 随时间按指数规律下降而趋于零.,8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,21,8.2 零输入响应,例1,例3 电路图如下图所示, 求t=200s时电压v. (例题8.3 pp.240),第1步:求独立初始条件,第2步: 求时间常数,2020/8/13,天津大学电信学院,22,8.2 零输入响应,例1,练习2 电路图如下图所示, 求v(0)和v(2ms). (练习8.4 pp.241),20

11、20/8/13,天津大学电信学院,23,8.2 零输入响应,RL电路的iL(t)及RC电路的vC(t)的零输入响应都呈现指数衰减形式, 解的形式只与电路本身结构( )有关, 其幅度仅取决于电容或电感的初始储能(iL(0+)或vC(0+). 一阶动态电路的零输入响应都属于暂态过程, 响应随时间的增大以指数衰减形式趋于零.,2020/8/13,天津大学电信学院,24,8.2.3 零输入响应的求解步骤,8.2 零输入响应,公式法求解零输入响应的步骤: Step 1: 求初始值 y(0+) Step 2: 求时间常数 Step 3: 写出零输入响应,该方法仅适用于求直流或正弦激励情况下的一阶动态电路,

12、2020/8/13,天津大学电信学院,25,Step 1 :求初始值y(0+),求vC(0)和iL(0): 画出t0时的等效电路, 其中电容用开路代替, 电感用短接代替, 求0时刻的vC(0)和iL(0). 求独立初始条件vC(0+)和iL(0+): 根据换路定律, 得到0+时刻的独立初始条件: vC(0+)=vC(0) iL(0+)=iL(0),8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,26,Step 2 :求时间常数,求等效电阻Req 根据t0时的电路, 计算从电容或电感两端看进去的内部无源网络的等效电阻Req. 求时间常数 对于RC电路, = ReqC. 对于RL电路,

13、= L/Req.,8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,27,Step 3 :写出零输入响应,对于独立变量vC(t)和iL(t) 直接根据vC(0+)和iL(0+), 以及时间常数, 写出零输入响应. 对于非独立变量y(t) 先求vC(t)或iL(t), 再求解y(t).,8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,28,例4,例4 电路图如下图所示, 确定t0时的i1和iL. (例题8.4 pp.243),8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,29,练习3,练习3 下图所示电路的开关在t=0时刻闭合, 计算t0时刻的: (a)iL; (b

14、)i1; (c)i2. (练习8.5 pp.244),8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,30,练习4,练习4 求下图所示电路中的vC(t)和v0(t). (练习8.6 pp.246),8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,31,例6,例5 电路图如下图所示, 已知v(0)=2V, 求vC(t). (例8.5 pp.246),vC(t)呈现指数增长, 工作状态不稳定,8.2 零输入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,32,练习5,练习5 下图所示电路中, 已知vC(0)=11V, 求vC(t), t0.(练习8.7 pp.247),8.2 零输

15、入响应,2020/8/13,天津大学电信学院,33,8.2 零输入响应,Vs: 直流电源， R1R2,充电阶段 1= R1C, t充电=5 1= 5R1C 充电电流小, 缓慢充电 放电阶段 2= R2C, t放电=5 2= 5R2C 放电电流大, 快速放电,例 照相机闪光电路包括一个可充电至3V的2mF电容,如果闪光灯的闪亮时间为0.6ms,则流过该闪光灯的平均电流是多少?,RC电路的应用：闪光灯电路,2020/8/13,天津大学电信学院,34,8.2 零输入响应,RL电路的应用：汽车点火电路,例 在汽车点火电路中,螺丝管的阻值为4, 电感为6mH, 供电电压为12V, 假定开关断开时间为1s

16、,计算线圈完全充电所需时间、线圈中存储的能量以及火花塞的气隙的电压值.,2020/8/13,天津大学电信学院,35,8.3 奇异函数,单位阶跃函数 (unit step function) 单位冲激函数 (unit impulse function) 单位斜坡函数 (unit ramp function),2020/8/13,天津大学电信学院,36,1、单位阶跃函数,8.3 奇异函数,2020/8/13,天津大学电信学院,37,电压源V0u(t)及其等效电路,电流源I0u(t)及其等效电路,8.3 奇异函数,等效电路,2020/8/13,天津大学电信学院,38,2、单位冲激函数,8.3 奇异函

17、数,2020/8/13,天津大学电信学院,39,3、单位斜坡函数,8.3 奇异函数,2020/8/13,天津大学电信学院,40,4、各种函数间的关系,8.3 奇异函数,2020/8/13,天津大学电信学院,41,5、用基本信号表示复杂信号,方波信号,三角波信号,8.3 奇异函数,2020/8/13,天津大学电信学院,42,锯齿波信号,8.3 奇异函数,2020/8/13,天津大学电信学院,43,8.4 一阶动态电路的零状态响应,1、零状态响应,零状态响应指的是在t=0+时刻动态元件的初始状态为零(vC(0+)=0或iL(0+)=0), 仅由在t=0时刻加入的激励源产生的响应. 在零状态响应中,

18、 动态元件的储能从无到有逐渐增加, 最终达到稳态值.,2020/8/13,天津大学电信学院,44,8.4.1 RL电路零状态响应(受激RL电路),8.4 零状态响应,1、RL电路的零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,45,8.4 零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,46,8.4 零状态响应,RL电路的电感电压vL(t)在换路瞬间有一个正向跳变, 从vC(0)=0跳变到vC(0+)=I0, 并随时间按指数规律需趋近于零.,RL电路的电感电流iL(t)零状态响应从初始值0开始, 随时间按指数规律增长, 最终趋向于稳态值.,2020/8/13,天津大学电信学院,47,8.

19、4 零状态响应,2、自由响应与受迫响应,2020/8/13,天津大学电信学院,48,8.4 零状态响应,t = 0,稳态,暂态,稳态,自由响应,受迫响应,t,t = 5,受迫响应,一阶动态电路零状态响应由自由响应和受迫响应两部分组成,2020/8/13,天津大学电信学院,49,3、激励为矩形脉冲响应的情况 (例题8.9 pp.257),8.4 零状态响应,叠加定理: 两个激励源单独作用,2020/8/13,天津大学电信学院,50,8.4 零状态响应,一阶RL电路充放电波形,观看RC电路充放电波形,2020/8/13,天津大学电信学院,51,8.4.2 RC电路零状态响应(受激RC电路),8.4

20、 零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,52,8.4 零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,53,8.4 零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,54,一阶动态电路零状态响应的求解方法,方法1:微分方程法(经典法) 通用行强, 求解过程复杂, 物理意义不明显. 方法2:公式法 根据零状态响应的形式, 直接求解各参数, 代入公式, 写出零状态响应.,8.4 零状态响应,公式法求解零状态响应的步骤: Step 1:求时间常数 Step 2:求稳态值y() Step 3: 写出零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,55,Step 1 :求时间常数,求等效

21、电阻Req 根据t0时的电路, 计算从电容或电感两端看进去的内部无源网络N0的等效电阻Req.,8.4 零状态响应,(练习8.10 pp.257),求时间常数 对于RC电路, = ReqC. 对于RL电路, = L/Req.,2020/8/13,天津大学电信学院,56,Step 2 :求稳态值y(),画出t=时刻等效电路: 画出t=时刻的等效电路, 其中电容用开路代替, 电感用短路代替, 其它元件保持不变. 求稳态值y(): 根据t=时刻等效电路, 求y().,8.4 零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,57,Step 3 :写出零状态响应,对于独立变量vC(t)和iL(t) 根

22、据vC()和iL(), 以及时间常数, 写出零状态响应. 对于非独立变量y(t) 先求vC(t)或iL(t), 再求解y(t).,8.4 零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,58,例6,例6 电路图如下图所示, 求vC(t). (课后习题81 pp.280),第1步:求时间常数,第2步:求稳态值,8.4 零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,59,例6,例7 电路图如下图所示, 求所有时间的vx(t). (课后习题76 pp.279),8.4 零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,60,8.5 一阶动态电路的全响应,全响应: 电路在外加激励和非零初始状态共

23、同作用下所产生的响应. 全响应可以看作是零输入响应和零状态响应的叠加. 全响应情况下, 在换路瞬间, 动态元件的初始储能不为零, 电路响应经历暂态过程(对应于自由响应), 最终趋于稳态响应(受迫响应).,全响应=零输入响应+零状态响应,2020/8/13,天津大学电信学院,61,8.5 全响应,1、RL电路的全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,62,8.5 全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,63,2、RC电路的全响应,8.5 全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,64,3、全响应的形式,8.5 全响应,全响应可以看作是零输入响应和零状态响应的叠加.,2020/8/

24、13,天津大学电信学院,65,由线性电路的叠加定理: 全响应=零输入响应+零状态响应 由电路的响应形式: 全响应=自由响应+受迫响应 由电路的响应特性: 全响应=暂态响应+稳态响应,4、全响应的组成,8.5 全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,66,需求解微分方程 复杂的数学求解问题, 物理意义不明显,需分别求解零输入响应和零状态响应 复杂的电路求解问题, 物理意义明显,需求解三个要素,代入方程 简单的电路求解问题, 物理意义不明显,推荐使用该方法!,8.5 全响应,一阶电路全响应的三种求解方法:,方法1: 求解微分方程,方法2: 根据叠加定理,方法3: “三要素”法,5、全响应的求

25、解方法,2020/8/13,天津大学电信学院,67,6、三要素法求解电路全响应,8.5 全响应,Step1: 求解初始值 y(0+),Step2: 求稳态值 y(),Step3: 求时间常数 ,Step4: 写出全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,68,Step 1 :求初始值y(0+),求vC(0)和iL(0): 画出t0时的等效电路:电容用开路代替, 电感用短接代替, 求0时刻的独立初始条件vC(0)和iL(0). 求独立初始条件vC(0+)和iL(0+): 根据换路定律, 得到0+时刻的独立初始条件: vC(0)=vC(0+) iL(0)=iL(0+) 画出t=0+时刻的等效电

26、路: 电容用电压值为vC(0+)的电压源代替 电感用电流值为iL(0+) 的电流源代替 各独立源用0+时刻取值的等效直流电源(vS(0+)或iS(0+)代替, 其它元件(包括受控源)予以保留. 求非独立初始值y(0+): 根据t=0+时刻的等效电路, 求非独立初始条件y(0+),8.5 全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,69,Step 2 :求时间常数,求等效电阻Req 计算从电容或电感两端看进去的内部无源网络的戴维南等效电阻Req. 求时间常数 对于RC电路, = ReqC. 对于RL电路, = L/Req.,8.5 全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,70,Step

27、3 :求稳态值y(),画出t=时刻的等效电路 电容用开路代替; 电感用短路代替; 其它元件(包括独立源和受控源)保持不变. 求稳态值y() 根据t=时刻的等效电路, 求稳态值y().,8.5 全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,71,Step 4 :写出全响应,对于独立变量vC(t)和iL(t) 直接根据初始条件和稳态值, 以及时间常数, 写出vC(t)和iL(t) 的全响应. 对于非独立变量y(t) 方法1 间接法: 先求vC(t)或iL(t)的全响应, 再利用vC(t)或iL(t)求解y(t). 方法2 直接法: 直接求非独立变量的初始值y(0+)和稳态值y(), 以及时间常数,

28、 写出对应的全响应y(t).,8.5 全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,72,例6,例8 电路图如下图所示, 开关处于位置A很长时间, 并在t=0移到位置B, 求t0时的vC(t).,第1步:求初始值,8.5 全响应,第2步:求时间常数,2020/8/13,天津大学电信学院,73,第3步:求稳态值,8.5 全响应,第4步: 写出全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,74,例6,例9 电路图如下图所示, 求所有时刻的vC(t)和i(t). (例8.10 pp.259),8.5 全响应,第1步:求初始值,2020/8/13,天津大学电信学院,75,8.5 全响应,第3步:求稳态值,第2步:求时间常数,2020/8/13,天津大学电信学院,76,8.5 全响应,第4步: 写出全响应,直接法,间接法,2020/8/13,天津大学电信学院,77,例6,练习6 电路图如下图所示, 求任何时刻的vC(t). (练习8.12 pp.261),8.5 全响应,2020/8/13,天津大学电信学院,78,例6,例10 下图