2014世纪金榜第七章 第七节.ppt

1、第七节 空间几何体及其表面积和体积,1.空间几何体 (1)多面体,平面多边形,平移,全等的多,边形,平行,平行四边形,收缩,为一个点,多边形,有一个公共顶点,的三角形,平行于底面,截,面,底面,相似,交于一点,(2)旋转体 旋转面：一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面. 旋转体：封闭的旋转面围成的几何体. 圆柱、圆锥、圆台和球,直角三角形,一直角边,直角梯形,垂直于底边的腰,半圆,直径,2.空间几何体的表面积、体积 (1)表面积公式 S直棱柱侧ch,S正棱锥侧 ch,S正棱台侧_； S圆柱侧2rl,S圆锥侧_,S圆台侧(r+r)l； S球4R2. (2)体积公式 V柱体Sh,

2、V锥体 Sh,V台体_； V球 R3.,rl,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)一个棱柱至少有5个面,面数最少的一个棱锥有4个顶点,顶点最少的一个棱台有3条侧棱.( ),(4)球的体积之比等于半径比的平方.( ) (5)台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差.( ) (6)若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的2倍.( ),【解析】(1)错误.尽管几何体满足了两个面平行且其他各面 都是平行四边形,但不能保证每相邻两个侧面的公共边互相

3、平 行.如图 ,该几何体并不是棱柱. (2)错误.尽管几何体满足了一个面是多边形,其余各面都是三角形,但不能保证三角形具有公共顶点. (3)正确.面数最少的棱柱为三棱柱,有5个面;面数最少的棱锥为三棱锥,有4个顶点;顶点最少的棱台为三棱台,有3条侧棱.,(4)错误.因为球的体积V= ，故球的体积之比等于半径比的立方. (5)正确.由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体，故其体积可转化为两个锥体的体积之差. (6)正确.不妨设圆锥的底面圆半径为r,则母线长为2r, S侧= S底=r2，即S侧=2S底. 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6),1.下列

4、结论中正确的是_.(填序号) 各个面都是三角形的几何体是三棱锥； 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥； 棱锥的侧棱长与底面正多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥； 圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线.,【解析】当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故错误；以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故错误，正确. 答案：,2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定

5、是_. 【解析】由几何体的结构特征可知,该几何体一定是球体. 答案：球体,3.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为_. 【解析】正六棱柱的表面积为646+ 44sin 60 12=144+48 =48(3+ ). 答案：48(3+ ),4.圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是_. 【解析】设圆柱的底面圆的半径为r,则S=r2， 即r= . 又侧面展开图是一个正方形， 圆柱的母线长为2 ， 圆柱的侧面积为2 2 =4S. 答案：4S,5.直角三角形两直角边AB=3，AC=4，以AB为轴旋转一周所得的几何体的体积为_. 【解析】由题意知，该几何体是底面半径为4，高

6、为3的圆锥，故其体积V= 423=16. 答案：16,考向 1 几何体的折叠与展开 【典例1】(1)如图，在三棱柱ABC -ABC 中，ABC为等边三角形，AA平面ABC， AB=3,AA=4，M为AA的中点，P是BC上一点， 且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长 为 ，设这条路线与CC的交点为N，则PC=_， NC=_.,(2)如图为一几何体的展开图，其中四边形ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R分别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.,【思路点

7、拨】(1)可将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，然后利用平面几何的知识解决.(2)将平面图形折叠后得到一个四棱锥，然后利用体积相等求解. 【规范解答】(1)将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如图所示：,设PC=x,则MP2=MA2+(AC+x)2. MP= ，MA=2，AC=3，x=2,即PC=2. 又NCAM， 即 答案：2,(2)由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来 以后，得到一个四棱锥P -ABCD，其中PD 平面ABCD，因此该四棱锥的体积V= 6 66=72，而棱长为6的正方体的体积V=666=216，故需 要 =3个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体. 答案：3,【互动探究】保持本例(

8、1)条件不变，则一只蚂蚁从B点出发 沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达B点的最短路线的长为_. 【解析】由题意可知，其最短路线为侧面展开图的对角线， 故其最短路线的长为 答案：,【拓展提升】1.求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法 选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离. 2.解决折叠问题的技巧 (1)解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化.,(2)折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化.,【变式

9、备选】 (1)在三棱锥P -ABC中，PA=PB=PC=2，APB=BPC=CPA =30，一只蚂蚁从A点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到A点，则蚂蚁经过的最短路程是_.,【解析】把三棱锥P -ABC展开，如图： 由题意知PA=PA=2，APA=90. AA= 即蚂蚁经过的最短路程为 答案：,(2)如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_. 【解析】由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱 长为1，斜高为 ，连结顶点和底面中心即为高，可得高 为 ，所以体积为 答案：,考向 2 空间几何体的表面积 【典例2】(1)如图,三棱锥P

10、-ABC中，平面PAC平面ABC， PC=5，BC=4，AB= ，过顶点P向底面作PHAC,垂足为H， AH=2，HC=3，PH=4，则三棱锥P-ABC的表面积为_.,(2)(2013无锡模拟)如图所示的几何体 是由一个长、宽、高分别为4，3，1的长 方体挖去一个圆柱得到的，其中圆柱的底面圆直径为2，高为1，则该几何体的表面积为_. 【思路点拨】(1)判断三个侧面三角形和一个底面三角形的形状，分别求面积相加. (2)分别求长方体的表面积和圆柱的侧面积，相加后注意减去圆柱的两个底面积.,【规范解答】(1)因为AC=AH+HC=5，BC=4，AB= ，所以 ACBC，所以SABC= 45=10，S

11、PAC= 54=10.因为 PHAC，平面PAC平面ABC，所以PH平面ABC，所以PHBC. 又因为BCAC，PHAC=H，所以BC平面PAC，所以BCPC， 所以SPBC= 45=10.易求PA= ，PB=AB= ，取PA的 中点E，连结BE，则可得BE=6，所以SPAB= 6= 因此三棱锥P-ABC的表面积为 答案：,(2)长方体的长、宽、高分别为4，3，1，表面积为432+312+412=38. 圆柱的底面圆直径为2，高为1，侧面积为211=2，圆柱的两个底面积和为212=2， 故该几何体的表面积为38+2-2=38. 答案：38,【拓展提升】 1.多面体的表面积的求解关键 求解有关多

12、面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系.,2.旋转体的表面积的求法 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 【提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理.,【变式训练】如图所示，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的高为4， 底面ABCD是等腰梯形，且BCAD，AB= ，BC=2，AD=4.则 此直四棱锥的表面积为_.,【解析】由题意知

13、AB= ，AD=4，BC=2，从而得梯形高为 4，四棱柱的侧面积为(2+4+2 )4=24+8 ，两底面面积 为 故此直四棱柱的表面积为48+8 . 答案：48+8,考向 3 空间几何体的体积 【典例3】(1)(2012上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_. (2)(2012江苏高考)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB=AD=3 cm，AA1=2 cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为_cm3.,【思路点拨】(1)列出关于圆锥母线和底面半径的方程，解方程，再计算圆锥的高和体积. (2)先根据四边形ABCD为正方形，得到ACBD，再由面面垂直的性

14、质证明AC平面BB1D1D，得到锥体的高，最后求体积.,【规范解答】(1)如图，由题意可设圆锥的母线长为l，圆锥 的底面半径长为r，则 =2，得l=2，2r= 得r=1，从而圆锥的高 由圆锥的体积公式得 答案：,(2)连结AC交BD于O，在长方体中， AB=AD=3 cm， BD=3 cm,且ACBD. 又BB1平面ABCD，BB1AC. 又DBBB1=B, AC平面BB1D1D, AO为四棱锥A-BB1D1D的高，且AO= BD= cm. 答案：6,【拓展提升】 1.求几何体体积的思路 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几

15、何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.,2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,【变式训练】(2013南京模拟)如图，在正三棱柱ABC- A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_.,【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BDC1D ，BC1 ，由BC1D是面积为6 的直角三角 形， 得 解得 故此三棱柱的体积为 V 8sin 604 答案：,【易错误区】 求球的组合体体积时的易错点 【典例】(2012新课

16、标全国卷改编)已知三棱锥S -ABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为_. 【误区警示】本题易出现的错误主要是不能根据SC为球O的直径将三棱锥的体积进行合理转化，从而无法求解或求解错误.,【规范解答】由于三棱锥S -ABC与三棱锥O -ABC的底面都是ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S -ABC的高是三棱锥O -ABC高的2倍， 所以三棱锥S -ABC的体积也是三棱锥O -ABC体积的2倍. 在三棱锥O -ABC中，其棱长都是1，如图所示：,高 答案：,【思考点评】 1.与球有关的组合体问题的求解 解决与球有关的组合体问题，

17、可通过 画过球心的截面来分析.例如，底面 半径为r，高为h的圆锥内部有一球O， 且球与圆锥的底面和侧面均相切，过 球心O作球的截面，如图所示，则球 心是等腰ABC的内切圆的圆心，AB 和AC均是圆锥的母线，BC是圆锥底面的直径，D是圆锥底面的圆心.,用同样的方法可得以下结论： (1)长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径； 球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长； 球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线. (2)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径. (3)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台

18、的高.,2.空间几何体的切割问题 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积.,1.(2012山东高考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为_.,【解析】 答案：,2.(2013泰州模拟)若直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在半径 为R的同一球面上，且AC=CB=1，AA1= ，AB= ，则该球的 表面积为_. 【解析】直三棱柱ABC -A1B1C1的各顶点都在同一球面上， AC=CB=1，AB= ，ACB=90， 将直三棱柱补成长方体，长方体的体对角线长即为球的直径. 长方体的体对角线长的平方为： 所以球的表面积为： 答案：,3.(2012广东高考改编)某几何体是由圆锥和半球组合而成的，如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3,则该几何体的体积为_. 【解析】 答案：30,4.(2013淮安模拟)已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，则这两个三棱柱表面积之和的最大值为_.,【解析】有以下三种截法： 可知方案(3)两个三棱