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文档简介
1、24.1.3 弧、弦、圆心角的关系,(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是过圆心的直线。,一、,圆的对称性如何?(导航17页请你思考1),(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。,二、想一想,圆绕着它的圆心旋转多少度就能与原图形重合?,(3)结论:圆绕圆心旋转任意一个角度都能与原 图形重合,这是圆的旋转不变性。,什么叫圆心角?(导航17页请你思考2),圆心角 顶点在圆心的角叫圆心角。(如AOB). 弦心距 过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫弦心距。(如线段OD).,根据旋转的性质,将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置时, AOBAOB,OAOB点 A与 A重合,B与B重合,O,A,B
2、,O,A,B,A,B,A,B,三、,弧AB与弧AB重合,AB与AB重合,如图,将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?(导航17页请你思考3),弧、弦与圆心角的关系定理( ),四、说一说,五、议一议,定理“在同圆或等圆中,相等的圆心角 所对的弧相等,所对的弦也相等”中,可否 把条件“在同圆或等圆中”去掉?为什么?,等对等定理,不能去掉. 反例:如图,虽然AOB=AOB, 但ABAB,弧AB弧AB,定理“在同圆或等圆中,相等的圆心角 所对的弧相等,所对的弦也相等”中,可否 把条件“在同圆或等圆中”去掉?为什么?,推论,在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦
3、(4)两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,如由条件:,AB=AB, OD=OD,AOB=AOB,在这里可以不说“在同圆或等圆中”吗?,如图,AB、CD是O的两条弦 (1)如果AB=CD,那么_,_ (2)如果 ,那么_,_ (3)如果AOB=COD,那么_,_ (4)如果AB=CD,OEAB于E,OFCD于F,OE与OF相等吗?为什么?,AB=CD,AB=CD,四、练习,OEOF 证明: OEAB OF CD ABCD AECF OAOC RTAOERT COF OEOF,证明:, AB=AC,又ACB=60,, AB=BC=CA., AOBBOCAOC.,A,
4、B,C,O,五、例题,例1 如图,在O中, ,ACB=60,求证AOB=BOC=AOC,巩固深化,在同圆或等圆中,一弦是另一弦的二倍,那么它所对的弧是另一弦所对的弧的二倍吗?试画图分析 反之呢?,如图,AB是O 的直径, COD=35,求AOE 的度数,解:,六、练习,七、思考,(2)如图,圆O的两条弦AB、CD互相垂直且交于点P,OE垂直于AB,OF垂直于CD,垂足分别是E、F,且弧AC=弧BD,试探究四边形EOFP的形状,并说明理由。,2、如图,点O是EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交于 点 A、B和C、D。 求证:AB=CD,证明:作OMAB,ONCD,M,N 为垂足
5、。,推广:若将上题中的点O看作是沿着EPF的平分线运动的。 在EPF的每边与圆O有两个交点的时候,是否都能够得到上题的结论?,七、思考,(4) 如图,已知AB、CD为O的两条弦,弧AD=弧BC, 求证AB=CD,(5)如图,已知OA、OB是O的半径,点C为AB的中点,M、N分别为OA、OB的中点,求证:MC=NC,(6)如图,BC为O的直径,OA是O的半径,弦BEOA, 求证:AC=AE, ,证:连结OA、OB, 设分别与CD、EF交于点F、G A为CD中点,B为EF中点 OACD,OBEF 故AFC=BGE=90 又由OA=OB, OAB=OBA 且AM=BN AFMBGN AF=BG OF=OG DC=EF,圆的对称性,圆的中心对称性(圆是中心对称图形),圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,四、总结,思考题,证明圆弧相等
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