不定积分概念与基本积分公式.ppt

1、1 不定积分概念与 基本积分公式,一、原函数,不定积分是求导运算的逆运算.,四、基本积分表,三、不定积分的几何意义,二、不定积分,返回,微分运算的逆运算是由已知函数 f (x), 求函数F(x),一、原函数,例如,定义1,例1,数:,从(iii) (iv)可以看出, 尽管象,研究原函数有两个重要的问题:,1. 满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存,2. 若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出,这种形式简单的函数,要求出它们的原函数也不是,一件容易的事.,在原函数,它是否惟一?,来?,第一个问题由以下定理回答.,定理8.1 (原函数存在性定理),在第九章中将证明此定理.,数 F, 即,

2、定理8.2 (原函数族的结构性定理),(ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差,一个常数.,证,(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原,由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知,函数, 则,二、不定积分,定义2,在 I 上的不定积分,为方便起见, 我们记,由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得:,若F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图,所有的积分曲线都是,三、不定积分的几何意义,像是 f (x) 的一条积分曲线.,到的.,沿纵轴方向平移而得,由其中一条积分曲线,例如, 质点以匀速 v0

3、 运动时, 其路程函数,若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有,的原函数正是在积分曲线中,由基本求导公式可得以下基本积分公式:,四、基本积分表,由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算,定理 8.3 (不定积分的线性运算法则),上都存在原函数, k1, k2为,任意常数, 则,法则.,例2,例3,例4,2 换元积分法与分部积分法,一、第一换元积分法,二、第二换元积分法,三、分部积分法,不定积分是求导运算的逆运算, 相应,部积分法.,求导公式, 不定积分有换元积分法和分,于复合函数求导数的链式法则和乘法,返回,定理8.4 (第一换元积分法),则,证,一、第一换元积分法,所以(

4、1)式成立.,第一换元积分法亦称为凑微分法, 即,常见的凑微分形式有,例1,解,例2,解,例3,解,解,例5,解,例4,(解法二),解 (解法一),例6,定理8.5 (第二换元积分法),上可导,证,二、第二换元积分法,等类型的不定积分上, 对此可分别设,于是,第二类换元积分法常用在,所以(2)式成立.,例7,解,解,这里可借助辅助直角三,角形, 求出 sec t , tan t .,例9,解,其中 sec t 和 tan t 可借助辅助直角三角形求出.,例10,解,三、分部积分法,定理8.6 (分部积分法),若u(x)与v(x)可导, 不定积分,两边积分,得,1. 降幂法,等类型函数的不定积,例11,解,分时,可用分部积分法使 xn 逐次降幂.,定积分时,需要使用升幂法.,例12,解,注 通过对 xn 的升幂和 ln x 的求导, 化解了难点.,2. 升幂法,等类型函数的不,类型的函数的不定积分时,用分,3. 循环法,例13,解,(3),解出方程加上常数C 即可得不定