工程力学-材料力学-第15章 虚位移原理(邱清水).ppt

1、第十五章 虚位移原理,15.1 质点系的自由度约束及约束的分类 15.2 虚位移与虚功 15.3 虚位移原理,15.1质点系的自由度约束及约束的分类,1质点系的自由度,描述一个质点在空间中的位置须用三个独立坐标来决定，在直角坐标系中这三个坐标是x、y、z，当这个质点运动时，这三个坐标数值可随时而变，这样就说这个质点具有三个自由度（即确定物体位置的独立坐标数目）。若质点系中所有的质点都可以不受任何限制地在空间中作自由运动，则这样的质点系称为自由质点系。在实际工程中，所需处理的质点系往往是非自由的，即质点系中的质点因受一定的限制而不能自由运动，这样的质点系称为非自由质点系。,15.1质点系的自由度

2、约束及约束的分类,2约束及约束方程,非自由质点系的质点在运动过程中，其位置或位移必须服从某些预先规定的限制条件，这些限制条件称为非自由质点系的约束，若将这些限制条件以数学方程来表示则称为约束方程。,如右图所示平面单摆，其中质点M可绕固定点O在平面Oxy内摆动，摆杆长为l。则单摆在运动过程中质点M的轨迹是以O为圆心，l为半径的圆弧，若以x，y表示质点M的坐标，则其约束方程可表示为,15.1质点系的自由度约束及约束的分类,又如，在上图所示的曲柄连杆机构中，铰链A受曲柄OA的限制而绕O作圆周运动，滑块B受滑道限制而作水平运动，连杆AB长度不变。因此这三者的约束方程依次为,15.1质点系的自由度约束及

3、约束的分类,3约束的分类,根据不同的约束形式，可对约束进行分类。,1)几何约束与运动约束,限制质点或质点系在空间中的几何位置的条件称为几何约束,15.1质点系的自由度约束及约束的分类,当质点系运动时受到的某些运动条件的限制称为运动约束。,15.1质点系的自由度约束及约束的分类,2)定常约束与非定常约束,约束的性质不随时间而变的约束称为定常约束，在定常约束的约束方程中不显含时间t 。前述质点系的约束皆不随时间变化，它们都是均为定常约束。约束的性质随时间而变的约束称为非定常约束，在非定常约束的约束方程中显含时间t。,15.1质点系的自由度约束及约束的分类,3) 双面约束与单面约束,约束方程可表示成

4、等式的约束称为双面约束 。,约束方程只能表示成不等式的约束称为单面约束。,15.1质点系的自由度约束及约束的分类,4) 完整约束与非完整约束,几何约束和可积分的运动约束称为完整约束。,若运动约束不可积分为有限形式，则称为非完整约束。,圆轮所受约束为完整约束。,15.1质点系的自由度约束及约束的分类,4广义坐标,具有n个质点的自由质点系共有3n个自由度，若质点系受s个完整约束，则其自由度的数目为 k=3n-s 即需要3n-s个独立参数来完全确定该质点系的位置。通常在工程实际中，质点系的质点和约束的数目比较多，自由度的数目比较少，因此质点系的位置若用3n个直角坐标和s个约束方程来表示很不方便；但是

5、适当地选择k个相互独立的参变量表示质点系的位置就比较方便，这样选择的表示质点系位置的独立参变量称为质点系的广义坐标。,15.1质点系的自由度约束及约束的分类,如图所示曲柄连杆机构，为确定铰A和滑块B的位置可选取曲柄OA与x轴的夹角为广义坐标，则铰A和滑块B的位置可表示为,广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移也可以取角位移。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。,15.1质点系的自由度约束及约束的分类,一般地，设有由n个质点组成的非自由质点系的位置可由k个广义坐标 来确定，则质点系内各质点的坐标可表为广义坐标的函数，即,一旦确定了质点系的广义坐标，则也隐含地描述了质点系的几

6、何约束方程 。,15.2 虚位移与虚功,1虚位移,虚位移：是指在某瞬时，质点系在约束所容许的条件下，可能实现的任意无限小的位移。,虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。,如下图所示的杠杆AB，如令杆绕轴转动微小角度j，则AB上任一点的位移就是虚位移； 如rA，rB等。,15.2 虚位移与虚功,下图所示的曲柄连杆机构，曲柄OA绕O轴转动的微小角度j，以及滑块和连杆上任一点的位移都是虚位移， 如rA，rB 等。,15.2 虚位移与虚功,虚位移与真实位移（简称实位移）是不同的概念, 实位移是质点系在一定的力作用下和给定的初始条件下运动而实际发生的；虚位移则是在约束所容许的条

7、件下可能发生的。 实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 实位移是在一定的时间内发生的；虚位移则只是纯几何的概念，与时间无关，静止的质点系没有实位移，但可有虚位移。 在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一；而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。,15.2 虚位移与虚功,受定常约束的非自由质点系中各质点的虚位移之间往往存在着一定的关系, 确定这些关系通常有如下两种方法。 1）几何法：在定常约束条件下，实位移是虚位移中的一个。据此可以用求实位移的方法来求各质点虚位移之间的关系。由运动学可知，质点的实位移与速度成正比，因此

8、可用分析速度的方法分析各质点虚位移之间的关系。这种方法又称虚速度法。即各质点虚位移之比等于各质点虚速度之比。,15.2 虚位移与虚功,2）解析法：因为质点系各质点的坐标可表示成广义坐标的函数，所以质点系的各质点的虚位移（或坐标变分）可表示成广义坐标变分 （k=1，2，n）的形式，,15.2 虚位移与虚功,2虚功,力在虚位移上所作的功称为虚功，其计算方法与实元功的计算类似。力F在虚位移r上作的虚功一般以W=Fr表示。虚功有正功和负功，它尽管和实位移中的元功采用了同一符号dW，但它们之间有本质区别，虚功是假象的，不是真实发生的。在静止质点系或机构中，力没有做任何功，但力可以有虚功。,如果质点系在虚

9、位移的过程中约束力的虚功之和等于零，则这种约束称为理想约束。,15.2 虚位移与虚功,例15-1 下图所示机构中OC=BC=a，OA=l，求在图示位置时，点A、B与C的虚位移。,15.2 虚位移与虚功,解：此为单自由度系统，取OA杆与x 轴夹角为广义坐标，可用几何法或解析法求解。, 几何法 由图可知，D为此时BC杆的速度瞬心，因此可得,可以假想A、B、C三点的虚位移是在极短时间内发生的，可得A、B、C三点虚位移的比值与速度成正比，即,设OA杆有虚位移dj，则可求出各点虚位移,15.2 虚位移与虚功,或, 解析法 将A、B、C三点的坐标表示成广义坐标j 的函数，得,对广义坐标j 求变分，得各点虚

10、位移在相应坐标轴上的投影,15.3 虚位移原理,虚位移原理：受定常、理想约束的质点系平衡的充分必要条件是：作用在质点系上的所有主动力在任何虚位移上作的虚功之和为零，即,这一原理又称为虚功原理，上式称为虚功方程。,虚位移原理在理论力学中有两种典型的应用。即求结构平衡时的主动力和平衡位置，求结构平衡时的约束反力或桁架杆件的内力。下面举例说明。,15.3 虚位移原理例题分析,1.求结构平衡时的主动力和平衡位置,例15-2 如图所示椭圆规机构中，刚性连杆AB长l。杆AB、滑块A、B的重量均不计，所有接触光滑，机构在图示位置平衡，求主动力FA和FB的大小关系。,15.3 虚位移原理例题分析,解：（1）几

11、何法。在约束条件允许的条件下，给滑块A一虚位移 滑块B一虚位移 如图所示，由虚位移原理可得,由于AB为刚性杆，A、B两点的虚位移在AB连线上的投影应相等，故有,所以有,由于drA的任意性，故可解得,15.3 虚位移原理例题分析,（2）解析法。该结构为单自由度系统，可选取j 为广义坐标，建立如图所示坐标，于是可得,进行变分运算，可得,将数据代入虚功方程，可得,由于dj 的任意性，故可解得,15.3 虚位移原理例题分析,例15-3 下图所示连杆增力机构中，已知OA=AB=l，AOB=。如不考虑各杆的重量及各处摩擦，试求平衡时P1和P2的大小关系。,15.3 虚位移原理例题分析,解：此题可通过几何法

12、求出A、B两点虚位移的关系，进而求出结果。如图所示，C是AB杆的速度瞬心，则,由虚位移原理，可得,即得,由于drA的任意性，故可解得,本题也可通过解析法求解,15.3 虚位移原理例题分析,例15-4 在如图所示机构中，在AC杆和BD杆上分别受力偶M1和M2作用,当q = j时机构平衡，求此时力偶M1和M2的大小关系。,15.3 虚位移原理例题分析,解：设给AC杆一虚位移dq，BD杆一虚位移dj 如图，由虚位移原理可得,由虚速度法可知,故有,于是,因为dq 的任意性，故可解得,15.3 虚位移原理例题分析,例15-5 下图所示平面机构位于铅直面内，两直杆AC和BC均长为l，自重均不计。刚度系数为

13、k的弹簧两端连结于AC和BC的中点D和E。当ABC为等边三角形时，弹簧为自然伸长。不计各处摩擦，现在B处作用一水平力F=kl/4，求机构平衡时j 为多大？,15.3 虚位移原理例题分析,解：这是一个已知系统平衡，求平衡位置的问题。需要指出的是，当系统中含有弹簧时，需要先解除弹簧约束，代之以弹簧的弹性力作为主动力，从而将系统简化为理想约束系统以便于应用虚位移原理。,建立图示直角坐标系，设平衡时BAC=j，则此时有,求变分，可得,15.3 虚位移原理例题分析,根据虚位移原理，有,其中,于是得,由于 ，且 是任意的，故有,故解得,15.3 虚位移原理例题分析,例15-6 如图所示的双锤摆中，摆锤A、

14、B分别重P1和P2，摆杆OA长为a，摆杆AB长为b；设在摆锤B处加一水平力F以维持平衡，不计摆杆重量，求平衡时摆杆与铅垂线所成的角q 和j。,15.3 虚位移原理例题分析,解：这是一个具有两个自由度的系统，可取q 和j（如图）为广义坐标，则对应的广义虚位移为q 和j。建立图所示坐标系，可得,对坐标求变分，得,代入虚位移原理,15.3 虚位移原理例题分析,可得,因为变分q 和j 彼此独立，故欲使上式成立，必有,于是求得,15.3 虚位移原理例题分析,2.求结构平衡时的约束反力和桁架杆件的内力,虚位移原理能很容易地求出结构所受的约束力。为此，将待求反力的对应约束解除而代之以相应的约束力，并将该约束

15、力当作主动力看待，而后应用虚位移原理求解。,例15-7 多跨静定梁的尺寸及所受载荷如图所示，已知F1=F2=F3=10 kN，M=20 kNm，求支座B的约束力。,15.3 虚位移原理例题分析,解：为了求解支座B的约束力，首先将支座B的约束解除而代之以约束力FB，并把它当做主动力，再使静定梁发生虚位移如图所示。于是由虚位移原理得,于是得,15.3 虚位移原理例题分析,由图中几何关系，可得,于是,15.3 虚位移原理例题分析,例15-8 多跨静定梁的尺寸及所受载荷如图所示，已知F1= 8 kN，q= 1 kN/m，求固定端A的约束力。,15.3 虚位移原理例题分析,解：（1）求A处的约束反力FAy。为此，解除A处铅垂方向的约束，代之以相应的约束反力FAy，并视为主动力。,给结构一组虚位移，如图所示。由虚位移原理可得,由图可得各虚位移之间有如下关系,代入虚位移原理，可解得,15.3 虚位移原理例题分析,（2）求A处的约束反力偶MA。为此，解除A处限制转动的约束，代之以相应的约束反力偶MA，并视为主动力。,给结构一组虚位移，如图所示。由虚位移原理可得,由图可得各虚位移之间有如下关系,代入虚位移原理可得,