微积分选修二.ppt

1、一、与定积分概念有关的问题的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1) 思考例1下列做法对吗 ?,利用积分中值定理,原式,不对 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,如, P265 题4,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用夹逼准则可知,(考

2、研98 ),例2. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,提示:由上题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,练习: 1.,求极限,解：,原式,2. 求极限,提示：,原式,左边,= 右边,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,估计下列积分值,解: 因为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明,证: 令,则,令,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,明对于任何,例6.,解：,且由方程,确定

3、 y 是 x 的函数 , 求,方程两端对 x 求导, 得,令 x = 1, 得,再对 y 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,例7.,求可微函数 f (x) 使满足,解: 等式两边对 x 求导, 得,不妨设 f (x)0,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意 f (0) = 0, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程,解: 令,则,代入原方程得,两边求导:,可见 f (x) 应为二次多项式 ,设,代入 式比较同次幂系数 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练运用定

4、积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法,思考: 下列作法是否正确?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 选择一个常数 c , 使,解: 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 若,解: 令,试证 :,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,

5、对右端第二个积分令,综上所述,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14. 证明恒等式,证: 令,则,因此,又,故所证等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,证明: 令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0 ,从而不变号,因此,故所证等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由罗尔定理知 ,存在一点,思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?,如果能, 怎样设辅助函数?,提示:,设辅助函数,例15 目录 上页 下页 返回 结束,例16.,设函数 f (x) 在a

6、, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且,(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 内存在点 , 使,(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: (1),由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)内单调增,因此,(2) 设,满足柯西中值定理条件,于是存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x)

7、 单调不减 ,即 成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定积分的应用,几何方面 :,面积、,体积、,弧长、,表面积 .,物理方面 :,质量、,作功、,侧压力、,引力、,2. 基本方法 :,微元分析法,微元形状 :,条、,段、,带、,片、,扇、,环、,壳 等.,转动惯量 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的应用,例1. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1

8、 上的唯一驻点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 内容小结,二、实例分析,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间解析几何,一、内容小结,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,1. 空间直线与平面的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为直线的方向向量.

9、,空间直线,一般式,对称式,参数式,为直线上一点;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,2.线面之间的相互关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,面与线间的关系,直线:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 相关的几个问题,(1) 过直线,的平面束,方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)点,的距离为,到平面 ：A x+B y+C z+D = 0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到直线,的距离,为,

10、(3) 点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、实例分析,例1. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线,提示: 所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求直线,与平面,的交点 .,提示: 化直线方程为参数方程,代入平面方程得,从而确定交点为（1，2，2）.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线,垂直相交的直线方程.,提示: 先求二直线交点 P.,化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点,最后利用两点

11、式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求为,例6. 求过直线L:,且与平面,夹成,角的平面方程.,提示:,过直线 L 的平面束方程,其法向量为,已知平面的法

12、向量为,选择,使,从而得所求平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思路: 先求交点,例7. 求过点,且与两直线,都相交的直线 L.,提示:,的方程化为参数方程,设 L 与它们的交点分别为,再写直线方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三点共线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.直线,绕 z 轴旋转一周, 求此旋转,转曲面的方程.,提示:,在 L 上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,一、 基本概念,连续性,偏导

13、数存在,方向导数存在,可微性,1. 多元函数的定义、极限 、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2. 几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 讨论二重极限,解法1,解法2 令,解法3 令,时, 下列算法是否正确?,分析:,解法1,解法2 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.,此时极限为 1 .,第二步,未考虑分母变化的所有情况,解法3 令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此法忽略了 的任意性,极限不存在 !

14、,由以上分析可见, 三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .,特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.,同时还可看到,本题极限实际上不存在 .,提示: 利用,故f 在 (0,0) 连续;,知,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,2. 证明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,而,所以 f 在点(0,0)不可微 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 已知,求出 的表达式.,解法1 令,即,解法2,以下与解法1 相同.,则,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,

15、显示结构,隐式结构,1. 分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数 = 变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2. 正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3. 利用一阶微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,(99 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,方程两边求微分, 得,化简,消去 即可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练

16、习题,1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数,2. 同济(下) P73 题12,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,第 1 题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P73 题12 设,求,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用行列式解出 du, dv ：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入即得,代入即得,有连续的一阶偏导数 ,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,( 2001考研 ）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设,三、多元函数微分法的应用,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键: 抓

17、住切向量),求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量),2. 极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法),求解最值问题,3. 在微分方程变形等中的应用,最小二乘法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.,解: 设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题 .,设拉格朗日函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实际意义可知,为所求切点 .,机动 目录 上页

18、 下页 返回 结束,唯一驻点,例5.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上求一点 , 使该点处的法线垂直于,练习题：,1. 在曲面,并写出该法线方程 .,提示: 设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 在第一卦限内作椭球面,的切平面,使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.,提示:

19、设切点为,用拉格朗日乘数法可求出,则切平面为,所指四面体围体积,V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大,故取拉格朗日函数,例4 目录 上页 下页 返回 结束,(见例4),一、 重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分的 计算 及应用,一、重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外: 面、线、点),3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分

20、法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,计算积分,其中D 由,所围成.,P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3),补充题:,解答提示: (接下页),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2 (3). 计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示: 利用极坐标,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P124,6. 把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示: 积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P124,7 (1) .计算积分,其中是两个球,( R 0 )的公共部分.,提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =,利用“先二后

21、一” 计算方便 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P124,7 (3).计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示: 利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P124,补充题.,计算积分,其中D 由,所围成 .,提示:如图所示,连续,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性或重心公式简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,练习题,4. 利用重积分换元公式,P123 1 (总习题九) ; P124 4, 7(2), 9,解答提示

22、: (接下页),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明:,提示: 左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,P124 4.,7(2).,其中是,所围成的闭区域 .,提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 ,利用,对称性可知原式为 0.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由球面,P124,9. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少?,提示: 建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圆心上 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算二重积分,其中:

23、,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D

24、 分成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,解: 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、重积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心,质量, 转动惯量, 质心, 引力,证明某些结论等,2. 物理方面,3. 其它方面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,证明,证:左端,= 右端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,设函数 f (x) 连续且恒大于零,其中,(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +

25、) 内的单调性;,(2) 证明 t 0 时,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: (1) 因为,两边对 t 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 问题转化为证,即证,故有,因此 t 0 时,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用“先二后一”计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 试计算椭球体,的体积 V.,解法1,*解法2,利用三重积分换元法. 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 曲线积分的计算法,二、曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,线面积分的计算,一、曲线积分的计算法,1. 基本方法,曲线积分,第一类

26、( 对弧长 ),第二类 ( 对坐标 ),(1) 统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2) 确定积分上下限,第一类: 下小上大,第二类: 下始上终,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,计算,其中L为圆周,提示: 利用极坐标 ,原式 =,说明: 若用参数方程计算,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,其中L为摆线,上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,其中由平面 y = z 截球面,提示: 因在 上有,故,原式 =,从 z 轴正向看沿逆时针方向.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 利用对

27、称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原点),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2

28、 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考题解答:,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,3(5).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设在右半平面 x 0 内, 力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10.,求力,沿有向闭曲线 所作的,功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三,提示:,方法1,从 z 轴正向看去沿顺时针

29、方向.,利用对称性,角形的整个边界,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设三角形区域为 , 方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思 考 题,1) 二重积分是哪一类积分?,答: 第一类曲面积分的特例.,2) 设曲面,问下列等式是否成立?,不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲