理论力学习题(3)

1、3.1 半径为 的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为 ，试证棒的全长为：,证：设棒长为l ，质量为m，其受力分析如图所示，据平衡方程得：,(2),(3),(1)(2)(3)式联立：,证毕。,所以,(1)(2)(3)式联立：,3.3 两根均质棒AB、BC，在B处刚性连结在一起，且 形成一直角，如将此棒的A端用绳系于固定点O上（如图所示），则当棒平衡时，AB棒和竖直直线所成的角 满足下列关系： ，其中 a 、b 为棒AB和BC的长度，试证明之。,解：设均质棒线密度为 ，,依平衡方程得：,(2),证毕。,所以：,(1)(2)两式联立得：,(2)

2、,3.5 一均质的梯子，一端置于摩擦系数为1/2的地板上，另一端斜靠在摩擦系数为1/3 的高墙上，一个人的体重为梯子的三倍，爬到梯子的顶端时，梯子尚未开始滑动，则梯子与地面的倾角，最小当为若干？,(2),(3),解：建立直角坐标系 ，设人爬到梯子顶端时梯子与地面倾角为 ，受力分析如图所示，平衡方程为：,以上五式联立得：,(5),(4),(2),(3),3.8 半径为R的非均匀圆球在距中心r处的密度可以用下式表示：,解：绕直径的转动惯量：,式中 及 都是常数，试求此圆球绕直径转动时的回转半径。,绕直径转动时的回转半径为：,圆球的质量：,转动惯量,3.9 立方体绕其对角线转动时的回转半径为:,试证

3、明之。式中d为对角线的长度。,证：设立方体的边长为a，取立方体的中心为坐标原点，坐标轴平行于棱边，则 为惯量主轴。,回转半径为：,则：,对角线长：,对角线方向余弦为：,解：取如图所示的圆环，其所受摩擦力矩为：,圆盘所受摩擦力矩为：,3.10 一均匀圆盘，半径为a，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为 ，已知圆盘与桌面的摩擦系数为 ，问经过多少时间后盘将静止？,由刚体定轴转动方程得：,圆盘转动惯量为：,薄片受空气阻力距为：,解：如图所示，在均质薄片上取一宽为x的长条做微元，微元到转轴距离为dx，则微元受空气阻力距为：,3.12 矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg

4、，绕其竖直轴AB 以初角速度 转动，此时薄片每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k，问经过多少时间后薄片的角速度减为初角速度的一半？,由定轴转动动力学方程得：,薄片绕竖直轴的转动惯量：,313 一段半径R为已知的均质圆弧，绕通过弧线中心并与弧面垂直的轴线摆动，求其作微振动的周期。,解：设弧的线密度为 ，,由对称性知，质心C在ox轴上，则：,对通过O点的竖直轴的转动惯量：,故振动周期为：,微振动,转动方程为：,314 试求复摆悬点上的反作用力在水平方向的投影Rx与竖直方向的投影Ry，设此摆的重量为mg，对转动轴的回转半径为k，转动轴到摆中心的

5、距离为a，且摆无初速地自离平衡位置为一已知角 处下降。,解：去掉约束以约束反力来代替，设轴承对复摆的约束反力在水平方向、竖直方向的投影为 ，则有动力学方程：,复摆质心坐标：,将（3）（6）代入（4）（5）得：,复摆运动过程中，只有保守力做功，机械能守恒：,将（7）（8）代入（1）（2）得：,故复摆悬点上的反作用力为：,将（7）（8）代入（1）（2）得：,315 一轮的半径为r，以匀速v0无滑动地沿一直线滚动，求轮缘上任一点的速度及加速度。又最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？,解：如图建立坐标系,以o为基点，P点的速度为：,在最低点： ，因无滑动， ，该点相对地面的速度为零，即：

6、 ，此点为转动瞬心。,以o为基点， P点的加速度为：,所以：,在最高点：,3.18 一圆盘以匀速度v0沿一直线无滑动地滚动，杆AB以铰链固结于盘的边缘上的B点，其A端则沿上述直线滑动。求A点的速度与盘的转角 的关系，设杆长为l，盘的半 径为r.,B对O点的矢径：,以圆心O为基点，B点的速度为：,解：如图建立坐标系,以A为基点，B点的速度为：,B对A点的矢径：,比较（1）（2）两式得：,（3）（4）（5）式联立得：,（4）,由图知：,（3）,比较（1）（2）两式得：,3.19 长为2a的均质棒AB，以铰链悬挂于A点上，如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成

7、为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降h距离后，棒一共转了几圈？,所以：,为常量,解：如图所示，建立直角坐标系 ，棒由水平到竖直，只有保守力作功，机械能守恒。,铰链松脱后，棒只受重力作用，由质心运动定理得：,于是：,初始条件：,对式积分两次得：,(3)(4)两式消去t得：,质心运动轨迹（抛物线）,3.20 质量为M半径为r的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体质心的加速度a1，物体的加速度a2及绳中张力T.,解：取隔离体，受力分析如图所示。

8、,圆柱体作平面平行运动，物体m 作平动，动力学方程为：,以上五式联立得：,圆柱体只滚不滑:,2.21 一飞轮有一半径为r的杆轴，飞轮及杆轴对于转动轴的总转动惯量为I，在杆轴上绕有细而轻的绳子，绳子的另一端挂一质量为m的重物，如飞轮受到阻尼力矩 G 的作用，求飞轮的角加速度。若飞轮转过角 后，绳子与杆轴脱离，并再转过 角后，飞轮停止转动，求飞轮所受到的阻尼力矩的量值。,解：取隔离体，受力分析如图所示， 建立微分方程如下：,以上三式联立得飞轮的角加速度为：,（4）,（5）,（6）,联立得飞轮所受到的阻尼力矩的量值为：,与时间无关，为匀加速转动，转过角 后有：,此后在阻尼力矩的作用下，飞轮转了 角停

9、止转动，由功能原理得：,（4）,2.22 一面粗糙另一面光滑的平板，质量为M，将光滑的一面放在水平桌上，木板上放一质量为m的球，若板沿其长度方向突然有一速度V，球与木板间的滑动摩擦系数为 ，问此球经过多少时间后开始滚动而不滑动？,解：取隔离体，受力分析如图所示，建立坐标系 ，小球运动微分方程：,木板作平动，其运动微分方程为：,（5）,（6）,小球最低点的速度：（以c为基点）,利用初始条件： 对（4）式积分得：,所以：,设小球从开始到只滚不滑所用时间为t，此时它的最低点与木板有相同的速度： ，由（5）（7）式得：,（7）,利用初始条件： 对（6）式积分得：,（6）,又解：取隔离体，受力分析如图所

10、示，建立坐标系 ,小球运动微分方程：（相对于木板）,木板作平动，其运动微分方程为：,（2）（4）分别代入（1）得：,利用初始条件： 对上式积分得：,（2）（4）分别代入（1）得：,（2）代入（3）得：,利用初始条件： 对上式积分得：,设小球从开始到只滚不滑所用时间为t，此时它的最低点相对木板的速度为零，即：,（5）（6）分别代入（7）得：,所以：,3.23 重为W1的木板受水平力F的作用，在一不光滑的平面上运动，板与平面间的摩擦系数为 ，在板上放一重为的W2实心圆柱，此圆柱在板上滚动而不滑动，试求木板的加速度a .,解：取隔离体，受力分析如图所示。对圆柱体（相对于木板）：,对木板：,圆柱体只滚

11、不滑：,（4）代入（3）得：,（1）（2）（5）式联立得：,（7）代入（6）的木板的加速度为：,又解：选惯性系，取隔离体，受力分析如图所示。,对圆柱体：,对木板：,以c为基点：,（3）（4）（6）式联立得木板的加速度为：,（1）（2）（5）式联立得：,3.25 均质实心圆球，栖于另一固定圆球的顶端，如使其自此位置发生些微偏离，则将开始滚下。试证当两球的公共法线与竖直线所成之角满足下列关系 时，则将开始滑动，式中 为摩擦角。,解：动球质心C作圆周运动，受力分析如图所示。根据质心运动定理有：,根据对质心的动量矩定理有：,当球只滚不滑时：,以上四式联立得：,于是：,由机械能守恒有：,（4）（5）（6

12、）联立得：,其中：,证毕。,设 时，球开始滑动，此时应有：,3.26 棒的一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑墙上，且棒与地面的倾角为 ，如任其自此位置开始下滑，则当棒与地面的倾角变为时，棒将与墙分离，试证明之。,证：如图所示，建立直角坐标系oxy，设棒的质量为m，棒长为2a，棒绕其质心转动的转动惯量为：,由质心运动定理和相对质心的动量矩定理得棒的运动微分方程为：,运动微分方程为：,设棒与水平面的夹角为 ，则棒的质心坐标、速度和加速度分别为：,将 代入（1）（2）后，解出N1、N2代入（3）式，化简后得：,将（4）式变量替换后积分：,故棒与墙分离时，棒与地面的倾角为：,当棒离开时，N2=0，

13、则有：,将（4）（5）代入 后，再将 代入（1）得：,3.31 转轮AB，绕OC轴转动的角速度为 ，而OC绕竖直线OE转动的角速度 ， 试求转轮最低点B的速度。,转轮的角速度为：,解：如图建立动坐标系,方向垂直纸面向里。,332 高为h ， 顶角为 的圆锥在一平面上滚动而不滑动，如已知此锥以匀角速 绕 轴转动，试求圆锥底面上A点的转动加速度a1和向轴加速度a2的量值。,圆锥转动的角速度为：,圆锥只滚不滑：,解：如图建立动坐标系,圆锥转动的角加速度为：,A点转动加速度：,A点向轴加速度：,或：,3.28 半径为r的均匀实心圆柱，放在倾角为 的粗糙斜面上，摩擦系数为 ，设运动不是纯滚动，试求圆柱体

14、质心加速度a及圆柱体的角加速度 .,解：圆柱体受力分析如图所示，其运动微分方程为：,圆柱体连滚带滑：,以上三式联立得：,将 代入上式得：,3.29 均质实心圆球和一外形相等的空心球壳沿着一斜面同时自同一高度自由滚下，问哪一个球滚得快些？并证它们经过相等距离所需的时间比是 。,解：圆柱体受力分析如图所示， 其运动微分方程为：,只滚不滑：,以上三式联立得：,实心球滚得快。,空心球壳：,实心圆球：,补充题1 半径为a的均匀实心球以速度 在水平面上滚动，此球和一个高度为ha的台阶作非弹性碰撞，如图所示。试用h 和a表示出能使球越上台阶的最小速度，假定在碰撞前不滑动。,解：对碰撞问题，重力可忽略不计，球

15、在碰撞前后对接触点的动量矩守恒。碰前的动量矩：,(只滚不滑： ),碰后的动量矩：,动量矩守恒:,（1）,跃上台阶的最小速度。,（1）（2）两式联立，消去 得：,（2）,碰撞后，球绕接触点做定点转动，若要越过台阶，由机械能守恒有：,补充题2 一均质的直杆AB长2a，直立在粗糙的跳水板上，下端B位于跳板的边缘，直杆稍受振动就绕点B翻倒，证明：当直杆转过一锐角 时，才离开跳水板下落，且求此时杆的角速度。,解：直杆作平面运动，受力分析如图所示，质心运动的法向方程为：,直杆运动过程中，只有保守力做功，机械能守恒。,（2）,（1）,（3）,将（4）代入（5）得：,（4）,上述条件与（1）（2）（3）式联立得：,当杆离开跳板时，N = 0 ，且此时：,补充题3、均匀直杆AB长为l，质量为m，以角速度 绕通过A点的水平轴转动，如图，且A轴以速度v平动，当直棒与铅垂线间夹角为 时，求直杆的动能。,解：由科尼希定理，直杆的动能为：,由余弦定理得：,代入上式得：,补充题4、质量为m的均质杆AB长为L，绕通过其一端A的水平轴在铅直平面内摆动，同时又绕竖直轴oz 转动，若某一瞬时AB杆与竖直轴成 角，角速度分别为： ，求此