高中数学开放题赏析

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.1：角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。 分三种情第一第一种情 2+2∵2222 2+2∵2222 2 C2 2 C2C22B❑C∴2222

a+b

b+c222a222a22B❑C

+c-

AabcAabcCB图图B❑CB❑C∴∴∴∴AaDbc第二种情AaDbc第二种情∵∵∴∴∴∴BACaDbcBACaDbc∴图第三种情图第三种情B图B图C∴∴ aa

+BD-AB

+b-(a+b+2c)=-c2D❑D

∴∴⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤⑥注此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。（注第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角ABD，使∠ADB是钝角，直线DC与球面的一个交点，则∠ACB是直角3的四面体存在。g+2

假设存在常数C＞0，使得lg(Snc(+2c

2明你的结论（1995年全国高考题解（I）证明略(得出 )（II）假设存在常数c＞0，使得lg(Snc(+2c

12 n n

1

由重要不等式及①②③④(S(S-n+-

2(1因为c＞0，故⑤式右端非负， 2≥0。而由（I）的证明可

评析（）题经过证明之后的结论将在解答第（I）小题时作为条件使用，而第（）小＞（）小题矛盾。讲解存在型开放题的求解一般是从假设存在入手,逐步深化解题进程的.设存在常数c，使数列{Snc成等比数列.❑

+

+

·

-

q

11111111但a1s0是不存在常数c，使{Snc}成等比数 1-

，代入上式得1-a1

11

c

q-综上可知,存在c=

q-1

，使

等比数列n求和公式中公比的分类,极易忘记公比q1的情形,可不要忽视啊!条件探索性开放型问题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题题目4：某选择题已知条件缺漏，原题为：已知、均为锐角，且2 ，则tg（α－β）的值为 7A、 73

D、－737其 （C，分析：根据所附答案知tg（α－β）=－737721由已1

，或tgab=-17272即2cosabsinab=-1 7 722则得2cosa+bcosa-b= 2 12即12此与α、β均为锐角矛盾77277 7即 72这一结果与另一已知条sinα－sinβ=1在形式上了比较接近27故所缺失的条件可能为 72评析此类题可模仿分析法的解题方法将结果加入条件逆推导出需要寻求的条件，题目5：已知f（）=sin2θ+sin2（ ）+sin2（+β，其中、适合＜β≤π的常数，试问α、β（θ）（学试题）分析一：要使f（）的值不随的变化而变化，即函数f（）为常值函数，则可赋 fæ=1+sin2æp++cos2æp+ç6 ç ç fæ=1+cos2a+cos2 2 =m（mç6

ç2

ç2m32

再代f（0）=fæpö=fæpö=ç6 ç2 解得ap,b=2p 分析二要使f（θ）的值不随θ变化而变化，可以通过分离主变量的方法，视主变解二

=32

=32=32

22∵f（）恒为定值f（θ）的值与θ无关∵∴ ∴∴∴

）cos（

考虑0≤＜

，∴ ，∴2∴cos（－）=∵—∴cos（－）=∵—≤－∴—3①、②联立可得：ap,b=2p 题目6某机床厂今年年初98元购进一台数控机床，并立即投入生产使用计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4元，该机床使用后，每年的总收入为50元，设使用x后数控机床的盈利额y元.写出y与x从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值；(3(i年平均盈利额达到最大值时30元价格处理该机床(ii 当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为讲解本例兼顾应用性和开放性,是实际工作中经常遇到的问（1）y=50x-12x+x(x-1)´4]-2 （2）解不等

10 51＜x＜10 ∵∴ 3≤x≤∵∴故从3工厂开始盈利2 2∵∵

=-x40x

=40-xx

≤40 =x当且仅当2x 时，即x=7时，等号成立x∴2008，年平均盈利额达到最大值，工厂共获12×7+30=114∴❑y=-2x2+40x-98=-2（x-10）2+102\x=10故到2011，盈利额达到最大值，工厂共获102+12=114x2-题目 已知函数x2-

设a=1, a1设

n

n 立？若存在，求出m的值；若不存在说明理讲 本例是函数与数列综合的存在性问题,具有一定的典型性和探索性x2-(1)x2-4+4+4+4+

44+n

∵1∵1

1∴1a2∴1a2-n∴{2n

}是公差为4等差数nn∵a>0,nn

∴∴n14n-4n-

,由 ,得

n∵

≤5

4n+

4n+4n+m

12n

,这是因为{2n

}是等差数列,试问:你能够想到吗?该题构造等差数列的一个典

n+

n+

++

n+

(ÎN,且n³求函f(n)的最小值

,

表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n),使

+

++

-写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.讲解从规律中发现,从发现中探-

+1=

n+

++1f(n+1)

n+

n+

++1

,2n+

2n+

2n+

2n+

=0故

的最小值是f(2=7s =1+1++1s

n

2s-

=s+

=s+

++

+n-

-\s+

++

-故存在关于n的整式g(n)n使等式对于一切不2自然数n恒成立.题目 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司—1580嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理讲解设该城市有出租1000，那么依题意可得如下信息证人所说的颜色（正确真蓝红合实蓝色颜红色色合从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为1200.41它是蓝色的概率1700.59.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出车显然是不公平本题的情景清新,涉及到新教材中概率的知识,上述解法中的列表技术显示了一定的独特性,在数学的应试复课中似乎是很少见的.题目10 1平均每个养鸡场出产162只1养鸡场个数30610第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少讲解（1）设n的养鸡场的个数为a，平均每个养鸡场出产鸡b万只 由图（B）可

n从而n

=34-4n,n=由图（A）可

于

=n+4,n=1,2,3,4,5,6;

=31.2（万只 2第二年的养鸡场的个数26，全县出产鸡的总只数31.2只（2）由ab2(n9)2311,当n2时,(ab

=ab

31.2（万只544n n544

2第二年的养鸡规模最大，共养31.2有时候我们需要画出图形,有时候我们却需要从图形中采集必要的信息,这正反映了一个事物的两个方面.看来,读图与识图的能力是需要不断提升的.P（1，0，MP，且斜率为－3MA，B问：△ABCC坐标；若不能，说明理由当△ABCC解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存性问.（2（i）

3(x-1),

ïy=-3(x-

消y 3x210x30解出x1

=

=4 于是,A点和B的坐标分别A(13

23)，B（3，-3

3，

163假设存在C（－1，y，使△ABC正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，ï(3ïïí

+(y+

2

=(16)23②②

îï(3î

+1)2+

)2= 23由①－②得42(y+

=() 3

339

-2

(3，-23因为y9

3不符合①，所以由①，②组成的方程组无故知直线l上不存在C，使得△ABC正三角形由ìyîx-î

3(x-1),

y=23即当点C的坐标是（－1， ）时，三点A，B，C共线，故ys233|C|2=(-1-1)2+(y-3

3)2=28-

3y+y2，

3)

=28+

3y+y2 C|2C|2

9

y>9

C|2C|29

3y+y2>28+3

9y<-3

C|2C|22323

9

3y+y2+28+3

3y+y23

3y+43

0,(y

)2

0 该不等式无解，所以∠ACBABCCyy<-3

3或y

3(ys9

3)需要提及的是,当△ABC钝角三角形时,钝角的位置可能有三个,需要我们进行一一

关系

×（0，（1）)

f(2-n)

(ÎN)，求数列{un}的前n的讲解本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧.f×f(0)=f(0×0)=0×f(0)+0×f(0)=0f×f(1)

f1×1×f(1)1×f(1)，

f(x)是奇函数,这需要我们进一步探索.事实上\f(-1)=1从规律中进行探究,进而提出猜 于是我们很易想到用数学归纳法证1n=1f(a11a0×f(a，公式成立=)+=)+=)综上可知，对任意ÎN,f(an)nan-1f(a成立.从

f(2-n

=(2

·f(1)2mf(2)=2,f(1)=f(2×1)=2f(1)+1f(2)= \ \ ()= (2)=

=(-1)×(1)n-1(ÎN), 1故Sn

[1-(

=(12

-(Î2

若 s1，

2a (

=1,2,¼ n+

1+aan1san令 =1，写出 、 、 、 的值，观察并归纳出这个数列的通项公 an

p，使ana

p是等比数列，并求出公q讲 (1)采用反证法.若 =

，即2a = ,解得

=nnn+ nn

1+a从而a

=an-

=¼

=a2

a1

0,1与题设a1

0,a1

1相矛盾an1san

a1

1

=2333

=4454

=8595

=162n-an

2n-1+an+1

p=(2

p)an+

an+1

p=an

p×qan

2a

an+ a所以2

p-2q)an

2q)=0因为上式是关于变量an的恒等式，故可解得

=12

=-1我们证明相等的问题太多了,似乎很少见到证明不相等的问题,是这样

=25,(x-2)2+4

=14动圆PAB均外切，直线l的方程为xæa£1÷2ç2 求圆Pa=1时，点P到点B距离与到定直线l2离的比为定值PB与点PQ，求PQ的最小值的取值范围讲解（1）设动圆P的半径为r，则｜PA｜＝ｒ＋5，｜PB|=r 1 ∴|PA|－｜PB|=2∴点P轨迹是A、B焦点，焦距4，实轴长2双曲线的右准线的右支其方程

3

≥12

,则l方程x=

1为双曲线的右准线,∴2PB距离与l距离之比为双曲线的离心率e(2)若直线PQkPQ方程为ykx－2入双曲线方程,得ì