立体几何讲座20131026

1、立体几何,一、课时安排和授课顺序； 二、三视图的教学设计； 三、空间向量应用的教学设计； 四、如何培养学生的空间想象能力；,探讨的内容,立体几何部分教学课时安排,立体几何部分教学课时安排,立体几何部分教学课时安排,立体几何的重点：,1、三视图及空间几何体的表面积和体积,2、八大定理,3、空间向量的应用,4、空间问题的证明和空间角的计算,1、三视图,3、空间向量的应用,4、空间问题的证明和空间角的计算,关于三视图内容的教学设计,一、内容的安排：,1、投影,2、三视图,关于三视图内容的教学设计,二、教学设计：,1、投影,（1）投影的定义,由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子

2、，这种现象叫做投影。其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。,（2）投影的分类：,中心投影和平行投影,中心投影:,投射线交于一点的投影,探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影.,平行投影:,投射线相互平行的投影,正投影,斜投影,太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影.,如图1所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在正方体的面上的正射影可能是图2中的 （填上序号）,图1, ,练习：,通过本题的练习，进一步巩固学生对正投影的理解，从而为三视图的学习打下基础

3、。,说明：,二、教学设计：,2、三视图,关于三视图内容的教学设计,（1）设置情景，引入课题,三视图欣赏,通过对图片的欣赏，让学生对三视图有一个感性认识。,从上面看,从左面看,从正面看,主视图,左视图,俯视图,引出三视图。,二、教学设计：,2、三视图,关于三视图内容的教学设计,（2）三视图的定义,俯视图,正视图,侧视图,1、光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图称 为几何体的“正视图” ；,2、光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图称 为“侧视图”；,3、光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图称 为 “俯视图”,正视图、侧视图、俯视图统称为三视图,俯视图,正视图,侧视图,正视图、侧视

4、图、俯视图分别是从几何体的哪个角度观察得到的几何体的正投影图？它们都是平面图形还是空间图形？,侧视图,俯视图,正视图,正视图,侧视图,俯视图,侧视图,正视图,俯视图,俯视图,侧视图,正视图,俯视图,侧视图,正视图,上正，右侧，下俯.,位置：,三视图的画法,长对正,宽相等,高平齐.,一个几何体三视图在形状，大小方面有何关系？,正视图反映了物体的高度和长度,侧视图反映了物体的高度和宽度,俯视图反映了物体的长度和宽度,这样的设置更容易让学生观察出三视图中各边长之间的关系，以及三视图为什么按照上正、右侧、下俯顺序排列。,对于三视图的定义应注意：, 三视图是正投影；, 画三视图时，三个图的位置；, 三视

5、图有长对正、高平齐、宽相等 的特点；, 三视图是平面图形。,二、教学设计：,3、三视图的题型,关于三视图内容的教学设计,（1）已知几何体，画出它的三视图；,（2）已知三视图，画出它表示的几何体；,已知几何体，画出该几何体的三视图。,球的三视图,问题探讨,注意：图中的虚线这里不需要画出,已知几何体，画出三视图,圆柱的三视图,圆锥的三视图,（变式思考1）,（变式思考1）,（变式思考2）,（变式思考2）,看得见部分的轮廓线画实线, 看不见部分的轮廓线画虚线.,（变式思考2）,侧,正,俯,（变式思考3）,（变式思考4）,（变式思考4）,正三棱锥,侧,正,俯,培养学生的变式思维，通过变式使学生对三视图长

6、对正、宽相等、高平齐进一步的理解。,已知简单组合体，画出该简单组合体的三视图。,正视图,侧视图,俯视图,画出简单组合体的三视图,练习：请同学们试试画出立白洗洁精塑料瓶的三视图.,正视图,侧视图,俯视图,俯,侧,正,六棱柱,六棱柱,左,俯,六棱柱三视图,已知几何体的三视图，画出它所表示的几何体。,圆台,（逆向思维）,已知三视图，画出几何体,正视图,侧视图,俯视图,圆锥,正视图,侧视图,俯视图,三棱锥,正视图,俯视图,侧视图,有一条侧棱和底面垂直,正四棱锥,正视图,侧视图,俯视图,六棱锥,正视图,侧视图,俯视图,例4,正视图,侧视图,俯视图,例4,设置一道探究题,正视图,侧视图,探究: 给出正，侧

7、视图,你能确定它表示什么几何体？,不同的几何体可能有某一两个视图相同，所以我们只有通过全部三个视图，才能全面准确的反映一个几何体的特征。,那么它除了是圆台外,还可能是什么几何体？,圆台,已知几何体的三视图，画出它所表示的简单组合体。,俯视图,正视图,侧视图,正视图,俯视图,侧视图,正视图,侧视图,俯视图,通过识图、画图，培养学生的正向思维和逆向思维能力，提高学习的空间想象能力。,学习三视图必须让学生做到：,多看，多想，多做。,立体几何的重点：,1、三视图及空间几何体的表面积和体积,2、八大定理,3、空间向量的应用,4、空间问题的证明和空间角的计算,1、三视图,3、空间向量的应用,4、空间问题的

8、证明和空间角的计算,说明：,1、第一章空间几何体的内容不要过多的拓展。,2、第二章空间角的计算最好仅限于定义法， 快班可适当的拓展。,空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。空间问题的证明和空间角与距离的计算是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。下面主要说一下利用向量的办法解决空间问题的教学设计。,空间向量的应用,空间向量的应用,一、空间向量的基本知识,二、直线的方向向量和法向量,三、空间问题的证明,四、空间角和空间距离的计算,分六部分：,五、空间直角坐标系的建立,六、翻折问题和存在性问题

9、,空间向量的应用,一、空间向量的基本知识,1、空间向量的运算法则,2、垂直和平行的条件,3、夹角公式,分三部分：,类比平面中相应的内容来研究空间中的问题。,平面：,空间：,1、,2、,3、,平面：,空间：,4、,5、,平面：,空间：,6、,空间向量的应用,二、直线的方向向量和法向量,直线的方向向量和平面的法向量在空间问题的证明和空间角的计算中，几乎每时每刻都用得到，因此，它们的地位显得非常重要。,直线的方向向量定义,如果向量 所在的直线和 直线 平行或重合，则向量 就叫直线 的一个方向向量。,求直线方向向量的方法,向量 （或 ）就是直线 的一个方向向量。,空间向量的应用,二、平面的法向量,如果

10、一个向量所在的直线与一个面垂直，则这个向量就叫这个面的一个法向量。,显然一个面的法向量有无数个。,法向量的定义：,特点： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有,想一想:,法向量有何特点?,1、观察法：,求法向量的方法：,2、代数法：,代数法求法向量的一般步骤：,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.,空间向量的应用,三、空间问题的证明,用空间向量法去解决空间问题的证明，即证明空间的平行和垂直问题，有一套解

11、题模式，容易理解和掌握，学习中让学生理解并熟记每一类问题证明的方法和步骤即可。,空间向量的应用,四、空间角和空间距离的计算,用空间向量法去求空间角和空间距离，也有一套解题模式，相对于空间问题的证明，不容易理解和掌握，这部分是学生的难点，学习中注意突破。要让学生根据图形生理解并熟记每一类问题求解的方法和步骤。,在教学过程中注意以下几个问题：,1、让学生对照图形理解向量的夹角和所求的 角之间的关系；,2、通过学生间的相互提问，让学生熟记每一 类问题的求解方法和步骤；,3、例题的背景要一题多问，不要频频更换背 景，那样会浪费时间；,4、一定要让学生到黑板上板书，这样才能充 分暴露学生的错点，便于纠正

12、；,在教学过程中注意以下几个问题：,5、解题时一定要让学生先把草图画到草稿 上，对照图形理清解题的思路；,6、配套的练习要有针对性，且及时到位。,空间向量的应用,五、空间直角坐标系的建立,建立适当且正确的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，是用空间向量解决空间问题的关键。,为了让学生能建立适当且正确的空间直角坐标系，准确写出点的坐标，需要专门设置训练学生练习建立空间直角坐标系写点坐标的课。,空间向量的应用,五、空间直角坐标系的建立,设置分量大部分：,1、三条线两两垂直已知；,2、三条线两两垂直未知；,空间向量的应用,六、注意翻折问题和存在性问题,立体几何中的翻折问题和存在性问题是高考的热点内容，

13、尤其是存在性问题，教学中要注意这些内容的渗透。,培养学生的空间想象能力,一、分析高考,高考中空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.,培养学生的空间想象能力,二、学生存在的问题,学生不能将文字语言、符号语言和图形语言进行转化，对基本图形的认识不够，对图形的解读能力不高，不能根据目标对图形进行分解组合，不能从空间图形中准确抽取有用的某一个平面图形来研究，不能作出有用的辅助线和面,培养学生的空间想象能力,三、制定策略,（一）恰当地运用模型，培养几何直观能力

14、,这里所说的模型，并不仅指教学使用的立体几何教具，而主要是指学生人人都有的桌面、书本、手掌(代表平面)；笔、手指(代表直线)；还有打开的书本(可代表二面角)、教室的墙角(可代表相交于一点的三条直线或三个平面)、粉笔盒(长方体)等等。善用这些现成的模型，可以使许多问题变得比较直观，容易解决。,1、善用模型教学，以增强直观感知能力。,如：“一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，这两个二面角的大小关系是什么？”,此题作图较难，且作出的图形是不会运动的(而模型是可以运动的)，要画出各种情况图形，既费时，图形也难画，另外学生往往还会依据平面几何中的一个类似的结论而去习惯性思维，得出“相等或互

15、补”的错误结果，其实此题只需用两本打开的书本比划一下，结论很快就可以得到(两个角没有任何关系)。这一教法，融知识性和趣味性于一体，形象、直观，提高了学生的学习兴趣，培养了他们的空间想象力。,直观图是发展空间想象力的关键，是学生立体思维的对象，对初学立体几何者来讲，如何把自己想象中的空间图形体现在平面上，是最困难的问题之一。,2、借助模型教学，以培养作图、识图能力。,能否正确画出直观图，是学生空间想象力形成的重要指标。,借助实物模型，进行画图训练，由“型”到“形”。让学生通过对实物模型的观察，进行适当的画图训练，最终完成由“型”到“形”的转变。因此，在教学过程中，我们要注重指导学生认真观察实物模

16、型，完成实物模型的直观图，以提高学生画图、识图能力，提高学生的空间想象能力。,（二）创设实践活动的机会，拓展空间认知能力,1、设计数学实验，运用操作确认的方法培养学生建构 空间认知。,学生对客观世界的感知首先是体，而不是面，更不是点。,教学中，如果我们只是一味的把公理、推论、定理、定义硬灌给学生，其结果必然造成学生的过剩反应：大脑盛满一锅粥，进而紧闭感知空间世界的大门。,把每一个公理、推论、定理、定义的教学尽可能都设计成一个实验。,如在直线与平面垂直的判定的定理教学中，可以设置一个实验，让学生拿出已准备好的硬纸板，按照一定的步骤做数学实验，通过分析、探究，用自己构造的模型证明自己结论的正确，同

17、时也为其他同学的错误结论构造反例。,通过讨论、争辩，使每个同学都在自己的亲身体验中都得到快乐、喜悦，培养了学生创新意识、创新思维和创新能力，同时拓展着他们对空间世界的认知能力。,2、加强实践活动，运用度量计算的方法让学生获得空 间知觉。,“动手”是学生直接感知的重要手段。教学中的“摆”、“拼”、“画”、“制作”、“演示”、“实验”、“练习”等活动都是学生具体动手的机会，是学生理解和构建的重要过程。,三、适当运用多媒体演示，培养空间想象能力,初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于学生是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，

18、而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。,如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，便给学生认识立体几何图形增加了困难。,应用多媒体辅助教学演示生动、形象的立体图形，使学生通过对直观图形透彻的观察，充分利用计算机绘图多功能的优越性，从多方位、多角度、多侧面描绘图形，解决平面立体图形与真实立体图形在视觉上的差异。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。,例如，在讲二面角的定义时（如图1），通过几何画板作出二面角的

19、动画课件，当拖动点A时，点A所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力；,利用多媒体辅助教学，引导学生通过观察图形主动积极地去寻找答案。现代教学论的思想核心是确认教师在教学中的主导地位的同时，认定学生在学习活动中的主体地位。,因此教学的最终目的是启发和调动学生的主动性、积极性，让学生“会学”。在多媒体教学的尝试中，为了打破传统教学中的“老师讲，学生听”的习惯，通过画面的演示，不需教师讲解，学生自己就可以找到求解方法。培养学生的立体感、空间想象力和空间作图能力。,（四）重视三种语言互译，培养空间问题的表 述能力,数学中的空间想象力与一般的想象既有区别，又相互联系. 由于丰富的想象来源于丰富的记忆表象，反映到立体几何中是要求有扎实的空间形式的基础知识，如概念、定义、定理等，它们