数值分析-插值法.ppt

1、第四章插值法，4.1问题提出，对于原函数，其本身的公式过于复杂，只能知道有限个点的函数值，必须找到简单的函数来近似表示原函数，满足这些给出的数值点。4.1.1内插概念，定义：函数f(x )对区间a，b有意义且已知，如果存在、(1)，则称为f ()，其中内插节点，a，b是内插区间，f(x )是被内插函数，式(1)是内插条件，几何意义：将原始函数线性、放大、内插函数类的选择：代数多项式(多次式内插)、三角多项式、有理多项式等最简单的内插多项式：求解3360、n 1未知数、n 1方程式。 求4.1.2插值多项式的存在唯一性，求未知数：当范德行列式(Vandermonde )，例如n=2时，该系数行列

2、式具有唯一解。 在利用、特殊情况：n=0的情况下，即，通过一点就可知、插值函数通过、的直线.n=1的情况下、即，通过两点的直线。 4.2雷格林模糊内插相对复杂，其中使用线性方程组确定系数结构内插公式，且可以使用结构方法进行内插。 对于节点或任何一个点，创建n次多项式，其中1是值，0是顶部，即，是内插多项式，但在该点处，结构过程：上式指示n点，全部、(在i=k的情况下)，n次雷格林juse内插多项式返回、的零点、常用的雷格林儒内插多项式：n=1时称为线性插值法，n=2时称为二次内插或抛物线内插，例题：使用已知线性插值法的近似值。 抛物线内插运算，解：首先是线性插值法：节点为：抛物线内插：精确值是

3、抛物线精度相对较高，4.3内插余项，区间a、b使用内插多项式，接近f(x )的定理： f(x )在区间a、b有到n的一阶导数，是互不相同的节点、除多项式外，任何一个都有：证明它位于插值节点上，并且可以设置，考虑到这些个节点是零点。 其中，保留函数(关于x )需要确定。 对于其他点，即使为了校正运算导入了辅助函数，也能够使公式成立。(用t表示变量，x表示某点)、=0是至少n 2个零点：罗尔定理，可知在以下两个相邻零点之间存在至少一个以此方式类推，获得至少一个零点，即，t的n个一阶导数：(n次多项式)，且因此，其中，注意：必须满足以下条件：只要f (x )自身不超过n次多项式，则解：线性插值法：抛

4、物线内插：4.4导函数内插条件使用雷格林内插和保留系数法求出导函数内插条件内插，一次导函数为几何图形的示例：已知节点上的函数值，和处导函数值，建构次数在3以下的多项式，要求满脚丫子：解：是，三节点先建构二次雷格林内插，发出指令， 您可以在其中建构三次或三次以下的多项式，方法是： 因而，注意到还可直接设置表达式(1)，其中a是未决定的，并且可能利用导函数条件确定a，其通常是二次多项式。求(2)侗项： R(x)=f(x)P3(x )，其中， x0、x2是R(x )的单重零点，x1是R(x )的双重零点，公式全部成立(此时左=右=0)，但求的通常是3次多项式或0，xx0、x1 在x2是另一个点的情况

5、下，导入辅助函数k(x)(tx0)(tx1)2()的内插值伪项在R(x)=、内插值区间内与x有关，所以K(x )在R(x)/(xx0)(xx1)2(xx2)式中也成立。 标记为4.5 Hermite，该内插函数不仅在节点上与原始函数相同，而且在一些情况下确定导函数值与原始函数的值相同，即，要求H2n1(xi)=f (xi )且H2n1(x )的问题是Hermite内插4.5.1 Hermite插值，问题：在x0和x1中查找一个等于或小于3的多项式H(x )，满脚丫子，h(x0)=f H(x0)=f (x0) :H(x1)=f (x1)； H(x1)=f (x1)、(1)由条件可知(按每个条件得到一行方程式):具体结构：由第一列可知x1由的双根； 可以是三次多项式，并由此求出a、b的后化简并性(其中，h=x1x0)，也可以同样求出：4.6牛顿内插多项式，问题提案：在雷格林茹内插方法中，当追加一个节点数据时，该内插的多项式当前需要重新计算从线性代数可以看出，对于任何一个不高的n阶多项式P(x)=b0b1xb2x2bnxn (幂化学基)，都可以写成p(x)=a0a1(xx0)a2(xx0)(xx1 )，首先是等距节点上的内插式：4.6.1差分等距h被称为步骤。 其定义为Y(x )，其中的函数值分别称为步骤h中的一阶前方差，并且同样地，其中，称为f (x )，并