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1、1,第二章 平面特殊力系,2,静力学,研究内容：力系的简化和平衡条件,引 言,研究方法：几何法，解析法。,例：起重机的挂钩。,力系分类：平面力系、空间力系,平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。,3,21 平面汇交力系合成和平衡的几何法 22 平面汇交力系合成和平衡的解析法 23 力矩 、力偶的概念及其性质 24 平面力偶系的合成与平衡 25 平面平行力系的合成与平衡,第二章 平面特殊力系,4,静力学,2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、合成的几何法,2. 平面汇交力系的合成,力多边形法则,1.理论依据平行四边形法则,合力方向由正弦定理：,由余弦定理：,推广为力

2、的三角形法则。,5,静力学,结论：,即：,即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。,二、平面汇交力系平衡的几何条件,在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：,平面汇交力系平衡的充要条件是：,6,静力学,例 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。,又由几何关系：,选碾子为研究对象,取分离体画受力图,解：,当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉力F和自重及支反力NB构成一平衡力 系。 由平衡的几何条件，力多边

3、形封闭，故,7,静力学,由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。,此题也可用力多边形方法用比例尺去量。,几何法解题步骤：选研究对象；作出受力图； 作力多边形，选择适当的比例尺； 求出未知数,几何法解题不足： 精度不够，误差大 作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。,下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。,8,静力学,2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,一、力在坐标轴上的投影,X=Fx=Fcosa Y=Fy=Fsina=F cosb,1、定义：,从力的起点和终点分别向坐标轴引垂线，垂足之间的距离再加上适当的正负号，称之。,2、计算：,（与坐

4、标轴正向相同为正，相反为负）,9,静力学,二、合力投影定理,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,即：,10,静力学,合力的大小： 方向： 作用点：,为该力系的汇交点,三、平面汇交力系合成与平衡的解析法,从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。,即：,为平衡的充要条件，也叫平衡方程,11,静力学,解：研究AB杆 画出受力图,例 已知 P=2kN 求SCD , RA,由EB=BC=0.4m，,解得：,；,列平衡方程,解平衡方程,12,静力学,例 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反

5、力ND=？,解：1、取球研究，受力如图,由得,由得,2、列平衡方程,13,静力学,又：,例 求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h,解：1、研究块,受力如图,解力三角形：,14,静力学,2、再研究球，受力如图,作力三角形,解力三角形：,NB=0时为球离开地面,15,静力学,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。,16,静力学,5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方

6、向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,17, 是代数量。,当F=0或d=0时， =0。, 是影响转动的独立因素。, =2AOB=Fd ,2倍形面积。,静力学,2-3 力矩、力偶的概念及其性质,-,+,一、力对点的矩,说明：, F,d转动效应明显。,单位Nm.,-取决于力矩的大小、方向,-取决于力的大小、方向,18,静力学,定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和.（可推广到平面一般力系）,二、合力矩定理,由合力投影定理有：,证,od=ob+oc,又,即：,19,例 已知：如

7、图 F、Q、l、 求： 和,静力学,解：用力对点的矩法,应用合力矩定理,20,静力学,三、平面力偶及其性质,1、力偶的概念：由两个大小相等，作用线不重合的反向平 行力构成的力系叫力偶。,例如 （a）方向盘受力； （b）电机转子受力,平面力偶只有大小、转向两个要素，故用代数量表示。,21,性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。,静力学,性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。,3、力偶的性质：,2、力偶矩：力偶的大小用力偶矩表示:,d 称为力偶臂.,22,说明： m是代数量，有+、-； F、 d 都不独立，只有力偶

8、矩 是独立量； m的值m=2ABC ； 单位：N m,静力学,由于O点是任取的,d,证:,23,静力学,性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。,证,设物体的某一平面 上作用一力偶(F,F),现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q),Q,F合成R，,再将Q,F合成R，,得到新力偶(R,R),24,静力学,只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。 力偶可改装,由上述证明可得下列两个推论：,比较(F,F)和(R,R)可得,m(F,F)=2ABD=m(R,R) =

9、2 ABC,力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。力偶可移转,25,静力学,2-4 平面力偶系的合成与平衡,平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶构成的力系。,设有两个力偶,d,d,改装,合成,1、平面力偶系的合成：,26,静力学,平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。,结论:,平面力偶系合成结果是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。,2、平面力偶系的平衡：,27,静力学,例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?,解: 各力偶的合力偶距为,根据平面力偶系平衡方程有:,由力偶

10、只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。,28,静力学,2-5 平面平行力系的合成和平衡,平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系叫,一、平面平行力系的合成,设在刚体上作用一平面平行力系 ，现求其合成结果。,29,静力学,根据合力矩定理：,合成,合力矩：,30,静力学,. 当R0 时，原力系的合成结果是一个合力,合力作用线的位置：,由, 当 R=0 时(即 时)，原力系合成结果是一 合力偶,当力系平行于y轴时：,讨论：,（就是平面力偶系）,31,静力学,平面平行力系平衡的充要条件为： 力系中各力的代数和等于零，同时，各力对平面内任一点的矩的代数和也等于零。即：,二、平面平行力系的平衡条件,平面平行力系的平衡方程,平面平行力系的平衡方程也可用两矩式表示，即,其中：A、B两点的连线必须不与 各力线平行,32,静力学,例 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、