物理 SHM例题.ppt

1、第6章习题分析 习题类型： 1.证明系统作简谐振动并求振动周期； 2.已知振动表达式，求各物理量； 3.根据已知条件，建立振动表达式； 4.力学综合性问题; 5.有关振动叠加的问题.,例题1: 单摆（数学摆）,由牛顿第二定律有,“”表示切向分力矩的指向恒与角位移方向相反。,振动表式为,结论:在角位移很小的情况下,单摆的振动是简谐运动.,例题2.复摆（物理摆）,式中负号表示力矩的转向与角位移的转向相反。,当摆角很小时，近似有,根据转动定律,或,周期为,船舶在静水中的摇摆相当于一个复摆.,可得振动表达式:,利用复摆可正确测定重力加速度的值，不同地质结构处的重力加速度不同，可进行地质探矿. 单摆、复

2、摆的振动表达式、速度（角速度）表达式、加速度（角加速度）、振幅（角振幅）及初位相的表达式与弹簧振子的情况相似.,圆频率与周期又可表示为:,例题3. 边长l = 25cm的正方形木块密度=0.80克/厘米3，将木块刚好完全浸入水中后放手，求其运动形式及运动方程。,解：木块受浮力及重力作用.取竖直向下为坐标轴正方向，水面处为坐标原点.设木块平衡时浸入水中深度为b.则达平衡时有：,如图，当C点离O点为y时，作用在木块上的合力为,由牛顿第二定律,符合简谐振动的运动学特征，即木块作简谐振动.,即初始时刻在最大位移处.,振动表达式为,例题4. 有一轻弹簧，当下端挂m1 = 10g的物体而平衡时，伸长量为4

3、.9cm。用这个弹簧和m2 = 16g的物体构成一弹簧振子。若取平衡位置为原点，向上为x 轴的正方向。将m2从平衡位置向下拉2cm后，给予向上的初速度v0 = 5cm/s并开始计时，试求m2的振动周期和振动表达式。,分析: 要求系统的振动表达式,即要求出振幅、圆频率和初相这三个物理量. 振动系统的周期(或角频率)由系统本身性质决定.,v0,解: 设弹簧原长为l，悬挂m1后伸长l达到平衡，则,取坐标轴向上为正,取下m1挂上m2后，系统的角频率为,由初始条件：,解得,v0,能同时满足初始位移和初始速度的初相为,一般将初相表示为弧度形式,于是,振动表达式为,问：如果取坐标轴向下为正，则初相变化否？,

4、v0,例5:如图弹簧振子系统,m=210-2kg, 弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点， 写出振动方程； （2）若取x0=0，v00为计时零点， 写出振动方程,并计算振动频率。,解: 确定平衡位置 mg=k l 取为原点 k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为,k=mg/ l,由初条件得,由x0=Acos=-0.0980 cos0, 取=,振动方程为：x=9.810-2cos(10t+) m,(2)按题意,t=0 时 x0=0，v00,x0=Acos=0 , cos=0 =/

5、2 ,3/2,v0=-Asin0 , sin 0, 取=3/2, x=9.810-2cos(10t+3/2) m,对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变.,固有频率,t=0时 x0=-9.8cm, v0=0,例题6. 劲度系数为k的弹簧下端固定于地面，压上一重物后弹簧压缩b = 9.8 cm，给重物m以冲击力使其具有向下的初速v0 = 1米/秒，分析其运动及运动方程。,解：取竖直向下为y轴正向，弹簧原长上端为原点O，当m在y位置时，受重力mg向下，弹性力-ky向上。,由牛顿第二定律,当重物的重力与弹性力平衡时，弹簧压缩量为b，此时弹簧处于平衡点O mg = kb,代入上式得,即有,可见物

6、体作简谐振动。从这里看到，当物体除受回复力作用外，还受恒力作用时，仍然作简谐振动。,在新坐标系中,（mg= kb）,求得,由初始条件,运动方程为,由此可知，应注意初位相的确定与坐标轴的正向有关。,振动表达式为：,（3）由初始条件 x0= 0,可得,解 （1）设这一简谐振动的表式为,简谐振动的表式为,由旋转矢量方法易求得初相,由初始速度条件,由已知条件，,（2）由位移的表式得,（3）当x= -0.06m,设该时刻为t1,有,因为物体向x轴负向运动，v0,所以不取4/3.求得,由旋转矢量能直观地看出，第一次回到平衡位置时旋转矢量转过的角度为,因而所需时间为,例9.已知某质点作简谐振动的振动曲线如图

7、（a）所示，试求该质点的振动方程.,解：要求质点的振动方程，即要求出振幅、圆频率和初相.由振动曲线易看出振幅A. 角频率和初相可根据振动曲线用旋转矢量法或解析法求出.下面分别用两种方法求解.,方法1：旋转矢量法. 由图可见， ，t=0时刻质点的振动状态为,所对应的旋转矢量OM如图（b）所示.由图可见，质点在t=0时的振动初相为,且有,由图（a）可见，t=0.5s时质点的振动状态为x=0,v0;对应的旋转矢量为OP，即历时t=0.5s,旋转矢量从OM转到了OP，共转过了/4，所以,方法2：解析法.,由图（a）可知，t0时质点离开平衡位置的位移变小了，因此t=0时刻质点的速度向着平衡位置，是正的，

8、即,所以，取,初相已求出，故该质点的振动方程为,即,由于初相取的是负角，振动状态从O点传到P点需要0.5s，故这里也应取负角，即,得,若初相取的是正角5/4，则振动方程为,即,由于初相取的是正角，振动状态从O点传到P点需要0.5s，故这里也应取正角，即,同样得,例10.如图所示，一弹簧振子沿x轴作简谐振动，振子质量m=2.5kg,弹簧的劲度系数k=250N/m,当振子处于平衡位置右方且向x轴的负方向运动时开始计时（t=0），此时的动能Ek=0.2J,势能Ep=0.6J，试求： （1）（t=0）时，振子的位移和速度； （2）系统的振动表达式.,解：（1）由t=0时Ep=0.6J知，,得,据题意可

9、知，在t=0时振子在平衡位置的右方。且向x轴的负方向运动，因此，x00,v00,则有x取正值. 由题意，当t=0时， Ek=0.2J，由,得,（2）当t=0时系统的总机械能为,总机械能又可以写为,由此可得,振动的圆频率,设振动的表达式为,例11. 如图所示，振动系统由一劲度系数为k的 轻弹簧、一半径为R、转动惯量为J的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.,解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则,思路：证明物体所受的合外力为 或证明物体的动力学方程具有 的形式.关键在于力的求解.,当m有位移x时,联立得,例题

10、12. 一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm，现将物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg，待其静止后再把物体向下拉10cm ，然后由静止释放，问：(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？ （2）如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A满足何条件？二者在何位置开始分离？,解：小物体受力如图，设小物体随振动物体的运动加速度为a，按牛顿第二定律（取坐标轴向下为正）有,即,系统的最大加速度,例题13. 一质量可忽略不计的弹簧下端，悬挂质量为4kg的物体，弹簧伸长20cm，再把物体由静止的平衡位置向下拉10cm，然后由静止释放并开始计时，试证明此振动为简

11、谐振动，并求： （1）物体的振动方程； （2）物体在平衡位置上方5cm处弹簧对物体的拉力； （3）物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到平衡位置上方5cm处所需要的最短时间.,解：如图所示，以平衡位置为原点，向下为x轴的正方向，在挂物体达平衡位置时有,当物体离开平衡位置x距离时，弹簧实际的伸长量为（x+l0），则物体所受到的合外力为,可见，物体所受到的合外力与水平放置的弹簧振子是相同的，因此，该振动是简谐振动.,（1）由已知条件可知,振动的圆频率,t=0时，x0=0.1m,v0=0,可得,则振动方程为,（2）物体在平衡位置上方5cm处时,（3）设t1时刻物体在平衡位置，此时x = 0,即,

12、因为此时物体向上运动，所以,由此可得,再设t2时刻物体在平衡位置上方0.05m处， 此时x = -0.05m,即,试用旋转矢量方法求一下，并与上述方法作比较.,例14. 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。,解：方法1,设振动方程为,故振动方程为,方法2：,用旋转矢量法辅助求解。,v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位,由图知,例题15. 如图所示，有两个完全相同的弹簧振子a和b，并排放在光滑的水平桌面上，测得它们的振动周期都是2s.现将两物体都从平衡位置向右拉开5cm，然后先释放a振子，经过0.5s后，再释放b振子.如果从b释放时开始计时，求两振子的振动表达式.在

13、同一坐标系中画出两者的振动曲线，并用旋转矢量表示这两个振动.,解：因两振子的周期相同，所以圆频率也相同，其值为,设两振子的振动表达式分别为,现由初始条件来确定振幅和初相位. 对振子b来说， t=0时，有,由此可得,则振子b的振动表达式为,对振子a来说， t=0时，它已开始振动了0.5s，由于两振子完全相同，所以t=0时，a振子的位移和速度就是t=0.5s 时b振子的位移和速度，即,由此可得：,因而振子a的振动表达式为,这就是说，a振子的振动相位要比b振子超前/2. 它们的振动曲线如图（a）所示. 用旋转矢量表示，则如图（b）所示.,例16. 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距离

14、为12cm的两点A、B，历时2s，并且在A、B两点处具有相同的速度；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点.试求该质点运动的周期和振幅.,解：取坐标Ox沿AB连线，坐标原点处在A、B连线中点，如图所示.设质点的振动方程为,由于 ，且 ，所以A、B两点坐标为,用旋转 矢量法求振幅.质点从O点运动到B点所经历的时间为t=1s，旋转矢量从P0点旋转到PB点，转过的角度为=t=/4,如图所示.在OPBB中，有,所以振幅,由连续两次从相反方向通过B点历时2s知，T/4=2，T=8s.,例17. 谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为1/4周期吗？走过该距离的一半所需的时间为多少？是1/8周期吗？振子从

15、平衡位置出发经历1/8周期时运动的位移是多少？,辨析：振子作简谐运动时，从平衡位置运动到最远点所需的时间是1/4周期. 因振子的运动速度不是常数，振子作变速直线运动，所以走过该距离的一半所需的时间不是1/8周期.,从旋转矢量图可以看出，振子从平衡位置P运动到A/2处M点时，相应的振幅矢量转过了/6的角度，即,所以,也就是说，振子从平衡位置O运动到A/2处所用的时间为T/12，而不是T/8. 而振子从A/2处运动到最远点的时间为,振子从平衡位置O出发，经过T/8时，位移为,例18. 一水平放置的弹簧振子，如图a所示，当其从A/2运动到-A/2时，所需的最短时间为1s.现将该弹簧振子竖直挂起，并让

16、其振动，那么它的振动周期为多少？,辨析：应当明确，弹簧振子的谐振周期（或圆频率）决定于系统本身的性质，即由弹簧的劲度系数和振子的质量来决定.只要k和m确定后，无论系统作怎样的简谐振动，周期都相同，即,按题意作旋转矢量图，当振子从A/2运动到-A/2时，相当于振幅矢量A从1=/3旋转到2=2/3，即转过了/3的角度.因而转过/3角度所用的时间是T/6. 即 T/6=1，T = 6s.,例19. LC振荡(无阻尼自由振荡),由基尔霍夫回路电压方程:,LC振荡,例20.如图所示，质量为M的圆盘挂在劲度系数为k的轻弹簧下并处于静止状态。一质量为m的物体从距圆盘为h的高度自由下落，并黏在盘上和盘一起振动。设物体与盘相碰瞬间t=0,且碰撞时间