电磁场与电磁波-第2章静电场

1、第二章 静电场,本章主要讲解电磁场理论基本理论和基本规律。 主要内容包括：,电场强度与电位 高斯定理 静电场基本方程与分界面上的边界条件 电磁场的边值问题与唯一性定理 分离变量法 有限差分法 镜像法和电轴法,电容和部分电容 静电能量与静电力,2.1 电场强度与电位,2.1.1 电场强度,库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的点电荷 与 之间的相互作用力:,N( 牛顿),N( 牛顿),适用条件, 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;, 无限大真空情况 (式中,F/m),可推广到无限大各向同性均匀介质中,静电场基本物理量电场强度,电场强度（Electric Fiel

2、d Intensity ) E 表示单位正电荷在电场中所受到的力(F ), 它是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。,a) 点电荷产生的电场强度,源点与场点坐标的矢量表示,V/m,V/m,2.1.2 叠加积分法计算电场强度,b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加),c) 连续分布电荷产生的电场强度,图2.1.2 体电荷的电场,面电荷分布,线电荷分布,例：求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。,由球体的对称性分析可知： 电场方向沿半径方向： 电场大小只与场点距离球心的距离相关。,解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：,式中：

3、,结 果 分 析,导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。,2.1.3 电位,将一个单位正实验室点电荷在静电场中沿某一路径L从A点移动到B点，电场力做的功,如果电场由点电荷q单独产生,如果是一个闭合路径，则W=0,电场强度的环路线积分恒为零，即,应用斯托克斯定理,因此，静电场的电场强度 可以用一个标量函数 的梯度来表示，即定义,单位正实验电荷在电场中移动电场力做功,两点间的电位差定义为两点间的电压U，即,单位：V,电位函数不唯一确定，取,故可选空间某点Q作为电位参考点，空间任一点P的电位为,通常选取无限远作为电位参考点，则任一P点的

4、电位为,2.1.4 叠加积分法计算电位,为点电荷， 为体积电荷分布， 为面电荷分布， 为线电荷分布,注意：选取电位参考点时不能使积分发散。,2.1.5 电力线和等位面（线）, E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若 是电力线的长度元，E 矢量将与 方向一致，,故电力线微分方程,当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。,在球坐标系中：,电力线微分方程（球坐标系）：,代入上式，得,将 和代入上式，,等位线方程（球坐标系）：,用二项式展开，又有，得,表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。,图1.2.2 电偶极子,电力线与等位线（面）的性质：, E线不能相交;, E线起始

5、于正电荷，终止于负电荷;, E线愈密处，场强愈大;, E线与等位线（面）正交；,图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线,图1.2.4 点电荷与接地导体的电场,图1.2.5 点电荷与不接地导体的电场,图1.2.6 均匀场中放进了介质球的电场,图1.2.7 均匀场中放进了导体球的电场,图1.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场,图1.2.9 点电荷位于一块导平面上方的电场,2.2 高斯定理,2.2.1 静电场中的导体,（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；,（2）导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直；,（3）导体为等位体，导体表面为等位面；,（4）电荷只能分布在导体表面上。,2.2.2 静

6、电场中的电介质, 电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。,式中 为体积元 内电偶极矩的矢量和，P的方向从负极化电荷指向 正极化电荷。,一个电偶极子产生的电位：,极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠 加原理，体积V内电偶极子产生的电位为：,式中,电偶极子产生的电位,矢量恒等式：,图1.2.16 体积V内电偶极矩产生的电位, 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度,这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷 共同作用在真空 中产生的电位。, 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和, 有电介质存在的场域中，

7、任一点的电位及电场强度表示为,2.2.3 高斯定理,真空中的高斯定理,当有电介质时，总电荷包括自由电荷和极化电荷,为电通量密度，也称电位移，单位C/m2,一般形式的高斯定理,应用高斯散度定理于上式得,高斯定理微分形式,可得各向同性电介质的构成方程,例2.2.1 求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。,由 得,图2.2.1 电荷线密度为 的无限长均匀带电体,b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 容易积分。, 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。,2.2.4 用高斯定理计算静电场,图2.2.2（b） 球壳内的电场,图2.2.2（a） 球壳外的电场,2.3静电场基本方程

8、与分界面上的边界条件,2.3.1 静电场基本方程,各向同性的线性电介质构成方程,解：根据静电场的旋度恒等于零的性质,例2.3.1 已知 试判断它能否表示个静电场？,对应静电场的基本方程 ，矢量 A 可以表示一个静电场。,能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?,以分界面上点P作为观察点，作一 小扁圆柱高斯面（ ）。,2、电场强度E的衔接条件,以点P 作为观察点，作一小矩形 回路（ ）。,分界面两侧 E 的切向分量连续。,分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时，D 的法向分量连续。,图2.3.2 在电介质分界面上应用环路定律,则有,根据,根据 则有,图2.3.1 在电介质分界面上应用

9、高斯定律,表明：（1）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。,在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。,折射定律,图2.3.3 分界面上E线的折射,因此,表明: 在介质分界面上，电位是连续的。,3、用电位函数 表示分界面上的衔接条件,设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d， ,则,表明: 一般情况下 ,电位的导数是不连续的。,图1.3.4 电位的衔接条件,对于导体与理想介质分界面，用电位 表示的衔接条件应是如何呢？,解：忽略边缘效应,例1.3.2 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知

10、极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。,利用高斯定理并考虑到E1等于E2,2.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程,推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：,泊松方程, 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。,例2.4.1 列出求解区域的微分方程,2.4.2 静电场的边值问题,图2.4.1 三个不同媒质区域的静电场,2.4静电场边值问题与唯一性定理,为什么说第二类 边界条件 与导体上给定电荷分 布或边界是电力线的条 件是等价的？,边值问题 研究方法,计算法,实验法,作图法,解析法,数值法,实测法,模拟法,定性,定量,积分法,分离变量法,镜像法、

11、电轴法,微分方程法,保角变换法,有限差分法,有限元法,边界元法,矩量法,模拟电荷法,数学模拟法,物理模拟法,图2.4.3 边值问题研究方法框图,例2.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源 U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。,解：根据场分布对称性，确定场域。,（阴影区域）,场的边值问题,图2.4.1 缆心为正方形的同轴电缆横截面,边界条件,积分之，得通解,例2.4.3 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度 为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。,解: 采用球

12、坐标系,分区域建立方程,参考点电位,图1.4.5 体电荷分布的球形域电场,解得,电场强度（球坐标梯度公式）：,对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度E的分布。,电位：,2. 唯一性定理的重要意义, 可判断静电场问题的解的正确性：,例1.4.1 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？,答案：（ C ）, 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。,图1.4.7 平板电容器外加电源U0,2.4.3 唯一性定理,证明： （反证法）,2.5 分离变量法

13、,分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。,2.5.1 解题的一般步骤：, 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）；, 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程；, 解常微分方程，并叠加各特解得到通解；, 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。,2.5.2 应用实例,1. 直角坐标系中的分离变量法（二维场）,例2.5.1 图示一

14、无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。,解：选定直角坐标系,（D域内）,（1）,（2）,（3）,（4）,(5）,边值问题,图11.5.1 接地金属槽的截面,2) 分离变量,代入式（1）有,根据 可能的取值，可有6个常微分方程：,设,称为分离常数,可以取值,3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。,4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。,图1.5.2 双曲函数,d）,比较系数法：,当 时，,（D域内）,当 时，, 满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。, 根据经验也可定性判断

15、通解中能否舍去 或 项。, 若 ，,2、圆柱坐标系中的分离变量法（二维场）,利用 sin 函数的正交性来确定 。等式两端同乘 ，然后从 0到 a对 x积分,图1.5.3 接地金属槽内 的等位线分布,1）选定圆柱坐标,列出边值问题,（1）,（2）,（3）,（4）,(5）,（6）,例1.5.2 在均匀电场 中，放置一根半径为a，介电常数为 的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与 垂直。柱外是自由空间 。试求圆柱内外电位函数 和电场强度 的分布。,根据场分布的对称性,图1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒,3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。,当 时，,当 时，,2）分离变量, 设,代入式（1）得,

16、或,根据,根据 ， 比较系数得,当 时，,4）利用给定边界条件确定积分常数。,根据场分布对称性,当 时，,通解中不含 的奇函数项，,解之，得,当 时， ， 则最终解,c）由分界面 的衔接条件，得, 介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。 因 ， ，所以 。, 介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场 。,图1.5.5 均匀外电场中介质 圆柱内外的电场,2.6 有限差分法,1.6.1 二维泊松方程的差分格式,有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连

17、续函数 的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的问题。,通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h ,节点0,1,2,3,4上的电位分别用 和 表示。,（3）,1.6.1 有限差分的网格分割,（8）,（4）,将 和 分别代入式(3),得,同理,（5）,由（4）（5）,由（4）+（5）,（6）,（7）,（9）,1.6.2 边界条件的离散化处理,3. 第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差分格式：,2. 对称边界条件,1. 第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。,4. 介质分界面衔接条件 的差分格式,合理减小计算场域，差分格式为,其中,图2.6.2边界条件的离散

18、化处理,2.6.3 差分方程组的求解方法,1. 高斯赛德尔迭代法,式中：, 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。, 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节 点电位满足 为止。,2、超松弛迭代法,式中：,加速收敛因子,图1.6.3 高斯赛德尔迭代法,最佳收敛因子的经验公式：,（正方形场域、正方形网格）,（矩形场域、正方形网格）, 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关；, 迭代收敛的速度与工程精度要求有 。,借助计算机进行计算时，其程序框图如下：,启动,赋边界节点已知电位值,赋予场域内各节点电位初始值,累计迭代次数 N=0,N=N+1,按超松弛法进行一 次迭代

19、，求,所有内点 相邻二次迭代值的最大误差 是否小于,打印,停机,N,Y,图2.6.2 迭代解程序框图,2.7 镜像法与电轴法,2.7.1 镜像法,边值问题：,1.平面导体的镜像,镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。,图2.7.1 平面导体的镜像,上半场域边值问题：,（方向指向地面）,整个地面上感应电荷的总量为,例2.7.1 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。,解: 设点电荷 离地面高度为h，则,图2.7.2 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布,2. 导体球面镜像,设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外

20、空间的电位及电场分布。,1) 边值问题：,（除q点外的导体球外空间),图1.7.3 点电荷对接地导体球面的镜像,由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为,图2.7.5 点电荷位于接地导体球附近的场图,图2.7.4 接地导体球外的电场计算,在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置,解: 边值问题：,( 除 q 点外的导体球外空间）,( S 为球面面积 ),例2.7.2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷 时的电场分布。,任一点电位及电场强度为：,图2.7.6 点电荷对不接地金属 球的镜像,感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。,正负镜像电荷绝对值相等。,正镜像电荷只能位于

21、球心。,试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?,补充题：,图2.7.8 点电荷对导体球面的镜像,图2.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图,不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷 吗? 为什么？,3. 不同介质分界面的镜像,边值问题：,图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像, 中的电场是由 决定，其有效区在下半空间， 是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。,即,图2.7.10 点电荷 位于不同介质平面上方的场图, 中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间， 是等效替代极化电荷的影响。,2.7.2 电轴法,根据唯一性定理，寻找等效线电荷电轴。,能否

22、用高斯定理求解？,2. 两根细导线产生的电场,以y轴为参考点, C=0, 则,当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。,图1.7.13 两根细导线的电场计算,a、h、b三者之间的关系满足,等位线方程为：,应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即,根据 及E线的微分方程 ， 得E线方程为,图1.7.14 两细导线的场图, 若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。, 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳，是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？,3. 电轴法,例2.7.3 试求图示两带电长直平行圆柱导体传输线的电场及电位分布。,( 以 轴为电位为参考点 ),用置于电轴上的

23、等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,从而求得电场的方法,称为电轴法。,解：,图2.7.15 平行圆柱导体传输线电场的计算,例2.7.4 已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。,注意：1）参考电位的位置；2）适用区域。,例1.7.5 试确定图示偏心电缆的电轴位置。,图2.7.16 不同半径传输线的电轴位置,图2.7.17 偏心电缆电轴位置,镜像法（电轴法）小结,镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个

24、数（根数），大小及位置； 应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。,2.8 电容和部分电容,电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。,电容的计算思路：,工程上的实际电容：,电力电容器，电子线路用的各种小电容器。,2.8.1 电容,定义： 单位：,例1.8.1 试求球形电容器的电容。,解：设内导体的电荷为 ,则,同心导体间的电压,图2.8.1 球形电容器,2.8.2 部分电容,1. 已知导体的电荷，求电位和电位系数, 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统；, 部分电容概念,以接地导体为电位参考点,导体的电位

25、与各导体上的电荷的关系为,图2.8.2 三导体静电独立系统,以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即,写成矩阵形式为,（非独立方程）,2. 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数,静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；,自有感应系数，表示导体 电位对导体 电荷的贡献；,3. 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容,（矩阵形式）,式中：,C部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；,（互有部分电容）；,（自有部分电容）。,部分电容性质:, (n+1) 个导体静电独立系统中，共应有 个部分电容；, 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。,2.8.3.静电屏蔽

26、 应用部分电容还可以说明静电屏蔽问题。,令,号导体接地，得,静电屏蔽在工程上有广泛应用。,图2.8.4 静电屏蔽,2.9 静电能量与静电力,1. 带电体系统中的静电能量,静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。,1) 连续分布电荷系统的静电能量,假设： 电荷系统中的介质是线性的；,2.9.1 带电体系静电能量, 电场的建立与充电过程无关,导体上电荷与电位的最终值为 、 ,在充电过程中， 与 的增长比例为 m， 。, 建立电场过程缓慢（忽略动能与能量辐射）。,这个功转化为静电能量储存在电场中。,体电荷系统的静电能量,t 时刻，场中P点的电位为 若将电荷增量 从无穷远处移至该点，,外力

27、作功,t时刻电荷增量为,即,电位为, 式中 是元电荷所在处的电位，积分对源进行。, 点电荷的自有能为无穷大。,自有能,互有能,自有能是将许多元电荷 “压紧”构成 q 所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。, 是所有导体（含K号导体）表面上的电荷在K号导体产生的电位。,2.9.2. 静电能量的分布及其密度,V扩大到无限空间，S所有带电体表面。,将式(2)代入式(1),得,应用散度定理,图2.9.1 推导能量密度用图,能量密度,例2.9.1 试求真空中体电荷密度为 ，半径为 的介质球产生的静电能量。,解：,表示将正负电荷从无穷远处移来置于原子中位置时外力必须做的功。,图2.9.2 原子结构模型,2.9.2 静电力,2.虚位移法 ( Virtual Displacement Method ),虚位移法是基于虚功原理计