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1、求三角函数最值的方法三角函数最值问题是三角函数中的基本内容,也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点,不易让学生掌握,它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。求函数的最值是历届高考数学考查的热点之一,以三角函数为载体的问题已成为高考中的热点问题。1、 一角一次一函数形式在学习了三角函数的内容以后可以知道,要求关于三角函数最值只能转化到或者这种形式才可以求其最值,我把这种形式称为“一角一次一函数形式”。例1:求的最值。解: 当即 时,当即时,变式1:再加上是,结果如何? 在化到y时,.变式2: 求函数,的最值. 解:, 当时,;当时,.变式3:,求的最大值与最小值.解:(先观察角
2、之间的关系,最好能转化为同角,然后看同角是三角函数的次数,在化为同一个函数名)当时, 当时,在这个解题过程中,运用到了转化思想,化归到我们已经学习过的三角函数中去,通过一些倍角公式,与同角合并公式, 的转化,把它转化到“一角一次一函数形式”,此时对于同一个角度是同次的。所以说把化成的形式是解决问题普遍方法2、 一角二次一函数形式当三角函数转化为“一角一次一函数形式”有困难的时候,该如何呢? 例2 求函数的最值. 分析:先观察这个解析式可知,对于同一个角而言,不是同次时转化不到“一角一次一函数形式”时,肯定对同角而言是一次与二次的,所以有可能化归到二次函数去。 解: 变式1:求的最值. 解: 当
3、即时, 当即时,.此题这样做在思考上有一定的困难,但是我们可以思考到与是有关联的,由此可设 ,由此化归到了一元二次函数,比上面的思维应该简单一点。所以以后见到与同时出现时,借助它们之间的联系用换元法。利用一些三角公式进行变量替换,是求三角最值的一种常用技巧。 对同一个角,有一次,两次出现,一般都可以转化到“一角二次一函数形式”。3、 利用有界性(,) 三角函数中还有很多最值问题并不可以有上面两种方法解决,就有下面的例题来展示:例3 求函数的值域.分析:不能转化到“一角一次一函数”与“一角二次一函数”这两种形式,但与我们以前所学的求的最值,联系比较密切,借助分离变量或者说是反表示解决这一题目。
4、解:, 因为 ,所以. 由此可得,函数的值域为. 解二:, (用变量分离的方法更简便)变式1:求函数的值域.解:由题意得,所以 , 所以函数的值域为.解二:(此题还可以与几何图形相联系) 由题意得XQOP2P1Y 设点,则可以看成是单位圆上的动点P与点Q 连线的斜率,有图象可得, 这个代数问题通过解析几何解决了,体现了数形结合的数学思想。 这些过程中主要是让学生在学习的过程中,要会与以前所学知识的联系,把新的问题化归或转化到已经学过的知识中去。这就要求要把知识的传授和能力的培养相结合,注重数学思想方法的教学,而学生们一旦掌握了一种新的数学思想和方法,思维就提高到一个新的层次,解答数学问题的能力就有较大的提高,因为“数学的精神和本质在于它的思想和方法”。在这个求三角函数最值基本的过程中,让学生深刻的了解其中的数学思想方法,掌握“通性通法”,也就掌握了学习数学的“万能”钥匙。数学思想方法
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