山东省滨州市惠民县第二中学勇进部2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

致远高一数学3月月考卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知非零向量与共线，下列说法正确的是（）A.与共线 B.与不共线C.若，则 D.若，则是一个单位向量【答案】D【解析】【分析】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项.【详解】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误；若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误；根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确；故选：D.2.已知复数满足（虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根据复数的除法运算即可.【详解】．故选：B．3.下列命题中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误；对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确；对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，C错误；对于D，若，则，D错误，故选：B4.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理得到，由同角三角函数关系得到，由三角形面积公式求出答案.【详解】因为，，，所以，因为，所以，所以.故选：A5.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A.或 B.或3 C.或3 D.3【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分别求即得.【详解】由题意及正弦定理，得，解得.又，故，于是或，均符合题意.当时，，由正弦定理，得，解得；当时，，此时是等腰三角形，.故选：A6.已知向量满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求，结合向量的夹角公式可求答案.【详解】由模长公式，由夹角公式.故选：A7.已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，为坐标原点，，若点满足，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算和坐标运算，即可求解.【详解】由向量的减法得：，则，，设，则，，由，得，解得，所以.故选：A.8.已知复数（为虚数单位）在复平面内对应点在第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均小于0列不等式组求解.【详解】因为，在复平面内对应的点在第三象限，

，解得.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，若，则实数m的值可以为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】ABC【解析】【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值.【详解】因为，所以，解得或0或．故选：ABC10.有下面四个命题，真命题的是（）A.B.若，且，则C.，则D.两个虚数不能比较大小【答案】AD【解析】【分析】根据复数的定义和复数的乘方，直接计算和判断各个选项即可.【详解】对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错；对于C，当，时，，故C错；按照复数的定义，两个虚数不能比较大小，D正确.故选：AD11.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中，正确的命题是（

）A.在中，若，则B.若，则是等腰三角形C.若在线段上，且，则的面积为8D.若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为【答案】ACD【解析】【详解】利用正弦定理结合三角形中大边对大角，可判断A；化简条件得到，求得或，可判定B；设，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，结合面积公式，可判定C；根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式，可判定D．【分析】对于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正确；对于B中，由，可得，整理得，由正弦定理得，可得，因为，可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，由在线段上，且，，，，则，设，在中，利用余弦定理，整理得，解得或（舍去），所以，在中，可得，则，所以的面积为，故C正确；对于D，在中，因为，，则点在以为弦的一个圆上，由正弦定理可得外接圆的直径为，即，当点在外部时，如图所示，因为，可得，所以，所以的长度为，同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是，所以动点的轨迹的长度为，故D正确．故选：ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则________【答案】【解析】【分析】对于坐标法表示向量,向量的模为,代入计算即可【详解】由题,故答案为：【点睛】本题考查向量的模,属于基础题13.已知向量是单位向量，且夹角为，则_______．【答案】【解析】【分析】根据向量的模的性质和数量积的定义求解即可.【详解】由已知，，所以，所以，故答案为：.14.已知，，则在方向上的投影的坐标为____.【答案】【解析】【分析】首先求出，，再根据投影的定义计算可得.【详解】因为，，所以，，所以在方向上的投影的坐标为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.15.如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方．（1）作出，，，；（2）求的模．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可.（2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可.【小问1详解】根据题意可知，点在坐标系中的坐标为．因为点在点的正北方，点在点的正西方，所以，．又，，所以，即两点在坐标系中的坐标分别为，．作出，，，如图所示．【小问2详解】由两点间距离公式得，则．16.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解；（2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解.【小问1详解】由正弦定理边化角可得，即，所以，因为，所以，又，解得；【小问2详解】若，则，这里是三角形外接圆的半径，解得，由余弦定理可得.17.已知向量，．（1）若，求实数的值（2）求与的夹角；【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）应用向量垂直数量积为0，即可求；（2）利用数量积的夹角公式结合条件即得.【小问1详解】当时，，∴，则，∴．小问2详解】∵，，∴，，∴；又∵，、∴.18.．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．（1）设，，当，请用来表示，.（2）当时，判断是否垂直.若成立，给出证明，若不成立，说明理由.【答案】（1），；（2）不垂直，理由见解析.【解析】【分析】（1）直接利用平面向量的线性运算求解；（2）求出，，再求出，又，即得证.【详解】解：（1），因为，所以.（2）与不垂直.证明如下：由可得，，，又因为，所以，，所以与不垂直.19.在中，内角，，的对边分别为，，，满足．