北京市朝阳区2025届高三下学期一模试题 数学 含答案

2025北京朝阳高三一模数学2025.3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，集合，则（A） （B）（C） （D）（2）设复数的共轭复数为，则（A） （B）（C） （D）（3）在的展开式中，常数项为（A） （B）（C） （D）（4）为得到函数的图象，可以将函数的图象（A）向右平移个单位长度 （B）向左平移个单位长度（C）向右平移个单位长度 （D）向左平移个单位长度（5）已知是等比数列，，，则（A） （B）（C） （D）（6）已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）已知，则（A） （B）（C） （D）（8）某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线互相平行，桥与河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点处，其中入口（定点）在桥上，且到直线的距离分别为（为定值），入口分别在直线上，公园的一边与直线所成的锐角为，另一边与垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是（A）函数的最大值为（B）函数的最小值为（C）若且，则（D）若且，则（9）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为（A） （B）（C） （D）（10）位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛．每场比赛的计分规则是：胜者计3分，负者计0分，平局各计1分．所有比赛结束后，若这位同学的得分总和为分，且平局总场数不超过比赛总场数的一半，则平局总场数为（A） （B）（C） （D）

第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为________．（12）已知点在抛物线上，则抛物线的焦点的坐标为________；以为圆心，为半径的圆与抛物线的准线的位置关系是________．（填“相交”“相切”或“相离”）（13）已知函数是上的奇函数，当时，，则________；若存在，使得，则的一个取值为_______．（14）干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干和十二地支（）的组合来表示年份，循环纪年．比如某一年为甲子年，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是__________年．（用数字作答）（15）在棱长为的正方体中，点是底面内的动点，给出下列四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最小值为．其中所有正确结论的序号是________．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在四棱柱中，平面，在四边形中，，，，为线段的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值．（17）（本小题13分）在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．条件①：；条件②：边上的高为；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本小题14分）某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取名学生进行满意度调查，调查结果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地满意122183156一般226568不满意116232假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率.（Ⅰ）估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；（Ⅱ）分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取人，估计这人中至少有人选择去B地的概率；（Ⅲ）对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆的右焦点为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线与椭圆交于不同的两点．设,直线与直线交于点，求证：直线的斜率为定值．（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若，求证：当时，；（Ⅲ）若函数有个不同的零点，求的取值范围．

（21）（本小题15分）已知为有穷正整数数列，若存在，使得，其中，则称为连续可归零数列．（Ⅰ）判断和是否为连续可归零数列？并说明理由；（Ⅱ）对任意的正整数，记，其中表示数集中最大的数.令，求证：数列不是连续可归零数列；（Ⅲ）若的每一项均为不大于的正整数，求证：当时，是连续可归零数列．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）D （5）A（6）A （7）B （8）D （9）C (10)B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）；相切 （13）；（答案不唯一）（14）2049 （15）①②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）连接．因为,为的中点，所以．又，所以四边形为平行四边形．所以．又因为，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面． 6分（Ⅱ）因为平面，所以,．又因为平面平面，平面平面,平面，所以平面．所以．所以两两垂直．如图建立空间直角坐标系，则，，，．所以，，．因为平面，所以是平面的法向量．设平面的法向量为，则即令，则．于是．设平面与平面夹角为，则． 13分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及得．所以．所以．又因为，所以．所以． 5分（Ⅱ）选条件①：因为，，，且，所以．因为，所以．所以．又因为，所以．所以．又，所以．所以的周长为． 13分选条件②：因为，边上的高为，所以．又因为，所以．所以．因为，所以．（1）当时，由，得．又，所以．所以．所以的周长为．（2）当时，由，得．又，所以，不符合题意．综上，的周长为． 13分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）从表格数据可知，随机抽取的名学生对本次研学旅行满意的人数为．因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为． 4分（Ⅱ）设事件：抽取的高一学生选择去B地；事件：抽取的高二学生选择去B地；事件：抽取的高三学生选择去B地；事件：抽取的人中恰有人选择去B地，；事件：抽取的人中至少有人选择去B地．从数据表格可知，抽取的名学生中高一年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；抽取的名学生中高二年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；抽取的名学生中高三年级学生总数为，选择去B地的总数为，所以可估计为；因为，所以所以抽取的人中至少有人选择去B地的概率可估计为． 11分（Ⅲ）． 14分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得解得所以椭圆的方程是． 4分（Ⅱ）由题可知直线的斜率存在.设直线．由得．由，得，即．设，则．直线的方程为．令，得的纵坐标为．因为，所以．又．所以，即．所以直线的斜率为定值． 15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，所以，．所以曲线在点处的切线方程为，即． 4分（Ⅱ）由题设知．设函数．当时，因为，所以，即．所以函数在区间上单调递增．所以．所以当且时，． 9分（Ⅲ）函数的定义域为，．=1\*GB3①当时，，函数在区间上单调递减，函数至多一个零点，不合题意．=2\*GB3②当时，由（Ⅱ）可知函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意．=3\*GB3③当时，对于函数，因为，所以方程有两个实数根，满足．不妨设，则．变化的情况如下：↗↘↗所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是．因为，所以为的一个零点．又，，且，所以存在唯一实数，使得．又，，且，所以存在唯一实数，使得．所以函数有个不同的零点．综上，的取值范围为． 15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）数列是连续可归零数列，理由如下：取，，，则，所以数列是连续可归零数列．数列不是连续可归零数列，理由如下：当时，，因为是奇数，故是奇数，所以．当时，，因为是奇数，故是奇数，所以．当时，，因为是奇数，故是奇数，所以．所以数列不是连续可归零数列． 4分（Ⅱ）因为是奇数，故，所以．因为，所以．因为，所以．所以数列．因为，所以与奇偶性相同．当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数，所以为奇数．所以．当取时，由（Ⅰ）可知，综上，数列不是连续可归零数列． 9分（Ⅲ）设，，则是整数数列．下面证明对任意，均有．显然满足．假设