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文档简介

一、（满分35分，每小题7分，其中判断正确3分，理由4分）1、错误，数乘不封闭。2、错误，反例：线性无关，而线性相关。3、正确，A与B相似特征值相同。4、正确，ⅰ）R3，，，ⅱ）R3，R由ⅰ），ⅱ），是R3上的线性变换5、错误，该矩阵相应的二次型为。6、正确，对加法及数乘封闭，且满足八条性质，故为F上向量空间。7、错误，反例：但（线性无关。8、错误，在V的一组基下，L（V）与1—1对应，而AB=ACB=C。9、正确ⅰ），，而ⅱ）R，而由ⅰ）ⅱ）是R3的子空间。10、错误，该二次型的矩阵是。11、正确，对称矩阵的集合对于矩阵的加法及数乘封闭，且满足八条性质。12、错误，不是正实数，故不是正定二次型。13、正确，线性相关，存在不全为零的使，用作用于两端，不全为0，故，，线性相关。14、正确，.15错误，+=不是R3的子空间。16、错误，两个次多项式之和未必是次多项式。17、正确，ⅰ）==ⅱ）由ⅰ）ⅱ），是的线性变换。18、错误，，A与B的特征多项式相同，但A与B不相似。19、正确，设线性无关，=0，=0故与线性无关。20、正确（i=1，2，3）故与正交。二、证明1、证：又=AA故=A2、证：设①又有②②：线性无关，即:故表示法唯一.3、（1）对应的行列式线性无关是R3的一组基。同理线性无关，也是R3的一组基。（2）令，，于是到的过渡矩阵A=，到的过渡矩阵B=从而到的过渡阵为到的过渡矩阵为，而到的过渡矩阵为4、=A=A5、解：的矩阵A=（3分）特征值为3，6，9别属于特征值3，6，9的特征向量，，经正交变换：X=TY，二次型化为6、证：设即：解得：故，，+，+线性无关，是4维空间V的一组基。7、（1）设，即，解得，，故线性无关。R3（3）在自然基下的坐标是，设在下的坐标是，到下的过渡阵是，于是====8、9、解：=特征值：，，代入基础解系，正交化：，，再单位化，代入（7E-A）X=0，基础解系：单位化正交阵10、证：假定是的属于特征值的特征向量（）==另一方面：于是即分属不同特征值线性无关故=0，=0，从而与已知矛盾不是的特征向量。11、解：于是在下的矩阵是解法二：用过渡矩阵。12、证：（满分15分）又=A代入上式：=A=A13、证：则其中是不变子空间，于是故是的不变子空间。14、（满分20分）解：二次型对应的矩阵特征值当时（2E-A）X=0基础解为经正交化：，再单位化：，当时，（5E-A）X=0，基础解系：，经单位化经正交化变换二次型为三、计算1、二次型的矩阵一阶主子式1>0，二阶主子式三阶主子式当时，正定2、解：在基下的矩阵A的特征值为1，1，-1。时，，

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