分析力学讲义

第一章分析力学初步

§1.1基本概念

1.1.1约束及其分类

1.1.1.1约束

动力学中质点系视为质点的集合来研究。质点系的约束是指对系统内各质点运动的一种

限制，这种限制可以用约束方程表示。约束是存在于确定只带你质点位置和速度之间的关系

的描述，在系统运动的过程中约束的存在使这些关系总是成立的。约束对系统运动的限制不

因受力而改变。

那些彼此之间距离始终保持不变的质点的集合可认为是由连接这些点的无质量的不可

拉伸杆提供了约束，在动力学中这是绝对刚体的模型。若质点系不存在约束，则称为自由的,

太阳系即为自由的（太阳及行星可视为质点），弹性体，压缩性液体同样是自由的。

1.1.1.2约束的分类

将质点在惯性笛卡尔坐标系中进行描述、在OXYZ坐标系中，质点肌的矢径0M,.由向

量彳表示，下标力表示质点的标号，取值为1,…,N，N为质点系中质点的个数。

⑴完整和非完整约束

最简单也是最重要的一类约束分类方法为：完整约束和非完整约束分类，这种分类方法

取决于约束是否只对质点的位置（坐标）进行限制。若约束方程仅对系统位置（质点坐标）

加以限制，则称为完整约束或几何约束（位置约束）。其约束方程为

八（%1，%2，,%33）=0=（1.1.1）

其中，r为约束方程的个数，且r<3N,所有约束都是完整的系统称为完整系统。

例1.1球面摆的约束方程

x2+y2+z2-f=0一采—'

如果约束方程包括速度4的分量，即Z|\i

力（多，九2，，龙3可，玉，，％3N，'）=。，则称约束为微分约|（0

束。如果微分约束可写成质点坐标与时间的函数（就像完整约2

束的情况），则称微分约束是可积的。不可积的微分约束称为图

非完整约束。非完整约束（运动约束）表示系统的质点速度之间的关系，并且不能转化为质

点之间的联系。

例1.2光滑水平线上做纯滚动的圆盘其约束方----X

程为*一尺。=0,不失一般性，当龙（0）=0/（0）=0（¥）

时，x-R0=oof>Y

非完整约束的经典例子即为表面上受迫滚动的刚图「2

体，其在滚动点处无相对滑动。大多数能实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质点速

度的一次代数方程，可写作

3N

…,s）（1.1.2）

/=]

也可将各项乘以力，化作

3N

'^Akidxj+Akodt=O(左=(1.1.3)

Z=1

其中七=4(4。(，=1,..”3N)。

事实上，对完整约束方程(1.1.1)计算全微分，可得与式(1.1.3)相同的形式

3N

Z-+%dt=o(k=

!=1

(1.1.4)

可见微分形式的约束条件(LL3)也可以同时表示完整约束，称其为一阶线性约束。

若系统内同时存在r个完整约束和s个非完整约束，则可统一表示为

3N

^jAkidxi+Akodt=O(左=l,...,r+s)

i=l

(1.1.5)

其中厂个完整约束的系数对应为

Ai;雪,40=尊1=1,…"，i=L…,3N)

dxt8t

(1.1.6)(2)定常和非定常约束

按照约束方程中是否显含时间t可将约束分为定常约束和非定常约束。定常约束表示

为

力(不，巧，，三N，芍，，芍N)=0(左=1,…产+S)(1.1.7)

非定常约束表示为

力.。!，*2，，尤3N，玉，，尤3'；力=°(左=1,…，r+s)(1.1.8)

例1.3安装在可移动小车上的球面摆

2222

(x-x0(t))+(y-y0(t))+(z-z0(t))-L=0

可以看出，定常约束的约束曲面固定不变，非定常约束的约束

曲面随时间而改变。

(3)单侧约束和双侧约束

按照约束方程是否为不等式，可将约束分为单侧约束和双侧约

束。当约束方程为等式时，形成的约束为双侧约束。本书中所涉及的均为双侧约束。

单侧约束方程表示为

九，毛N，石，…，％(左=L…,r+s.

(1.1.9)

双侧约束方程表示为

fk(多，X2，，范可，不，，工3'")=。(左=1,…，r+s)

(1.1.10)

事实上，双侧约束方程(1.1.10)形成了空间中的超曲面。

双侧约束要求状态空间中的点不能离开约束曲面，单侧约束允许

状态空间中的点在约束曲面的一侧运动，但不能进入另一侧。二点)丫

例1.4由不可拉伸细绳悬挂的空间摆rV

x2+y2+z2-Z?<02*

图1.4

l.L2广义坐标、多余坐标及准坐标

1.1.2.1广义坐标和自由度

确定质点位形的独立参数(长度或角度)称为广义坐标，记作为=广

义坐标根据系统的具体结构和问题的要求选取。选定以后，系统由各点的笛卡尔坐标，由广

义坐标单值确定

如。。=1,…,3N)

(1.1.11)

若N个质点组成的系统受到r个完整约束的限制，则3N个笛卡尔坐标中只有3N-r个

独立标量，此独立变量数称为自由度。完整系统的广义坐标数/与自由度数/=3N-r相

等，若系统除r个完整约束以外，还收到s个非完整约束的限制，则系统的自由度为

f=3N-r-s,,由于s个非完整约束方程不能积分为联系广义坐标的关系式，因此，对于

非完整系统，确定系统位形空间的广义坐标仍为3N-r个，大于系统的自由度/o广义

坐标对时间t的导数称为广义速度。

由式(1.1.11)及(1.1.2)可得出限制广义速度的s个非完整约束方程

3N

£纥4+%(左=(1.1.12)

i=l

式中

3NQx咨Qx

纭=Z4-广>Bi-o=4O+2JA/^71=L…，S,/=I,…(1.1.13)

i=\的11=1Ot

例1.1冰刀在水平面上滑动

选择质心。的坐标七，£和雪橇对称轴力8相对X轴的倾角。

为广义坐标。由于点C的速度方向与方向始终一致，即有

—=tan,

儿

冰刀需满足如下非完整约束条件tan0xc-yc=O,此系

统为由3个广义坐标描述的二自由度非完整系统。

令关于微分约束可积分条件的简要说明

微分约束(1.1.5)可积分为几何约束，如有下式成立:

-,

dxtdXjdtdXj

(1)

特别地，若考虑约束定常时的情况，此时可积分条件为

dx.dx.

J1

(2)

事实上，对于下列坐标和时间的函数力(不，%，，天力力，当为=尊，Ao=—

OX;dt

时，此时式(1.1.5)表示全微分球等于0,即人为常数5，关系式

fk(A，X2,,x3N-,t)-Ck=0(3)

这种情况下(3)为完整约束方程。注意到条件(1)为充分的，但是不是可积分的必要

条件。试对应例1.5及例1.2理解条件(1)»

1.1.2.2多余坐标

在某些问题中使用数目超过必要的/个坐标(对于完整系统，/为自由度数)的参数坐

标qv...,ql,...,ql+s将是更加合理的。这些6+1，...,夕人坐标为一组s个非独立的坐标，称

其为多余坐标。当然，这/+s个参数中存在着s个关系式，(其中可能含有时间)

九(%...,如，西+$;力=0(Zr=l,...,5)(1.1.14)

若将此方程对r求导,可得形式与式(1.1.5)相同的一阶微分约束方程，其中的系数,

AkQ由式(1.1.6)定义。若将完整系统的包含多余坐标在内的全部/+s个坐标称为广义

坐标，并将完整约束方程(1.1.14)用求导后的一阶微分方程(1.1.12)代替，则可将非完

整系统和含多余坐标的完整系统在形式上统一起来。区别仅在于后者的约束方程为可积分的

情形。因此，在以后的讨论中，有关非完整系统的所有处理方法也完全适用于含多余坐标的

完整系统。

由式(1.1.14)可知,多余坐标功+1，…,4+s可以由外…,切及时间才确定

q1+u=(1,…，功，')(〃=L・・，s)

(1.1.15)

用包含了多余坐标的广义坐标功，…心/,・・・,为+$表示的笛卡尔坐标为

七=七(分…,0+s")(i=l,...,3N)

(1.1.16)

将多余坐标(1.1.15)的值代入(1.1.16)中就得到了形如(1.1.10)的形式，但这个

形式要远远复杂于(1.1.16),例如下例中的平面四连杆机构

例1.2平面四连杆机构如图1.6所示

其位形可由一个角度夕来确定(单自由度系统)。但在推

导中还需要两个角仍和仍才能使点B的笛卡尔坐标形式变得十分简单

%B=L1cos0+L2c°sB,g)B=Lising)+L2sinG

约束方程(1.1.14)很容易确定

夕+

/:L1cosZ^cosO+L3cos,—d=0

f2:Llsin(p+L2sin3-L3sini//-0

由约束方程中消去9,即转变为形如(1.1.11)的关系式，将会引入极为庞大的式子。

令具有不动点的刚体运动中，刚体固连坐标系与惯性坐标系轴之间的9个夹角余弦中存在

六个约束方程，得到的表达式是十分复杂的。但在惯性系中对刚体内任一点的坐标描述使用

余弦角要比使用三个独立的描述刚体位置的欧拉角更加方便。多余坐标的引入使得笛卡尔坐

标系位于次要地位。

1.1.3准(伪)坐标和准(伪)速度)(参见4.1.1)

系统的位形由"个独立的参数给出苗,…,功,其相应的速度描述有时并不直接使用广

义速度小,…,％,而是使用它们的某些线性形式

期=为。+综闻+42%+”.+综“%(v=l,...,L)(1.1.17)

其中系数%为广义坐标名和时间r的函数。

量为称为准速度，在刚体运动的分析中，引入准速度可以避免复杂的推导，是极其方

便的。通常，准速度并不能够积分。即式(1.1.17)中的必不能写成是某全微分的形式。

但为了简化公式及文字叙述，我们引入如下的准坐标。我们约定

电工=u、,=兀、,(丫=1,…，(1.1.18)

dt

其中小零(代替表示导数意义的点，马上方的)表示谈及的是引入意义，而非量久关于

时间的导数。当然，如果表达式(1.1.17)可积分，那么引入了关系式

…，％)(v=l,(1.1.19)

其给出的仅是由旧的广义坐标外…,你到新的广义坐标阳，…，阳的变换。

1.1.4虚位移、虚速度及虚加速度

1.1.4.1虚位移

广义坐标小,…曲是在给出的初始条件下表示力学规律的运动微分方程确定的时间的函

数。这个时间的函数的集合

(1.1.20)

由系统的真实运动确定。广义坐标的微分岗)是其在真实运动中的无限小的位移与时

间区间力成比例

(i.1.21)

dqs=qsdt

事实上，在力学问题的分析中运入另一种类型的无限小量是十分有益的。式(1.1.20)

确定了时刻t系统的位形。抛开运动，我们提出问题，在当前时刻，系统的约束允许怎样的

位形集合。如果仅限于分析无限接近真实路径的位形，并用表示广义坐标的无

限小位移，称其为虚位移，那么这个集合(约束所允许的)可表示为

(1.1.22)

q*=qx(t)+dqv...,ql=ql(?)+8qn

当系统为完整时，变分6%是完全任意的。我们可以说，在时刻r具有〃个自由度的

系统约束允许00"个位移。

具体地，设质点系4(z=l,...,N)中各质点相对固定参考点。的矢径为

3=1,2,.N)，q相对参考系0XYZ的3N个分量依次排列为%,42,…,％3N。若系统中存

在厂个完整约束和S个非完整约束，则各质点在无限小时间间隔力内所产生的无限小位移

卅(i=1,2,...”)或也.(i=l,2,...,3N)必须受到约束方程的限制

3N

内+40力=。(攵=l,...,r+s)(1.1.23)

1=1

满足约束方程(1.1.23)的无限小位移称为质点系的可能位移。对于定常约束时，位移约束

方程中的4to为零，简化为

3N

XA-A=0(k=l,...,r+s)(1.1.24)

1=1

质点系实际发生的微小位移称为实际位移，它是无数可能位移中的一个，除满足约束方

程(1.1.23)或(1.1.24)之外，还必须满足动力学基本规律和运动的初始条件。

虚位移与时间的变化无关，它表示的是固定时刻约束所允许的质点的微小位移。当约束

定常时，虚位移就是可能位移。对于非定常约束，质点的虚位移为约束瞬时凝固时，所允许

的无限小位移。虚位移表达式中的6在这里具有等时变分的意义，即各质点的虚位移可表

示为矢径或坐标的变分，物«=1,2,.,')或3%/=1,2,...,3间。令式(1.1.23)中

的力=0,将换做，则虚位移应满足下列条件

3N

X，网=0(z=l,2,...,r+5)

i=l

(1.1.25)

对照式(1.1.24)可见，当约束定常时，虚位移与可能的位移完全相同，但对于非定常

约束，一般情况下约束条件(1.1.25)不同于(1.1.23)；因此虚位移不一定等同于可能位

移。

设质点系在同一时刻，同一位置有两组可能位移和,它们分

别满足约束条件(1.1.23),即有

，3N

X4&：+A/=O

V；(左=l,2,...,r+s)

S4A**+4o^=0

、i=l

(1.1.26)

将以上两式相减，若令3%(i=l,...,N)(1.1.27)

即可得约束方程(L1.25)。因此也可将虚位移定义为质点系在同一时刻，同一位置的两组

可能位移之差。由于r+S个约束条件(1.1.25)的存在，虚位移3天中只有3N-r-s个

独立变量，因此也可将系统的独立虚位移数目(变分数)作为系统的自由度的定义。

例1.3对于斜面固定和作平移两种情形，分析沿

斜面运动质点的可能位移和虚位移斜面固定时，

质点的可能位移和虚位移相同(图a),斜面做

平移时质点的可能位移应考虑斜面牵连运动的

影响，而质点的虚位移等于约束凝固时的可能位

移，与斜面固定时的可能位移完全相同(图b)。

1.1.4.2虚速度

将式(1.1.23)中的质点的无限小位移办

与完成此位移所需的无限小的时间力相除，即

图1.7

得到质点的速度玉。因此，速度看与无限小位移dx,•应满足约束条件。质点系与可能位

移对应的速度称为可能速度，即约束允许的运动速度。应满足的约束条件为

3N

\ixi+Ao=0(左=l,2,...,r+s)

1=1

(1.1.28)

质点系的实际运动速度称为实速度，它是无数可能速度中的一个，还必须同时满足动力

学基本定律和运动的初始条件。质点系的虚速度是设想约束瞬间“凝固”，质点系保持原有

位形不变时，约束所允许发生的可能速度。与无限小位移不同，速度不必限制为无限小量。

因此将虚速度记作比•(i=l,…,N)或A%,.(i=l,2,...,3N),称为速度的变更(这里变

更规定为有限量，用A符号表示，以区别于用3符号表示的无限小变分)。与虚位移类

似，虚速度也可定义为在同一时刻，同一位置两组可能速度%:和x：*(i=l,2,...,3N)之差,

即

Ax,.(i=l,2,...,3N)(1.1.29)

将％;和X；代入式(1.1.2)并相减，即导出与虚位移约束条件(1.1.25)相同的约束

条件

3N

(左=l,2,...,r+s)(1.1.30)

i=l

在定常约束情形，虚速度与可能速度完全相同。但在非定常约束情况下，约束条件

(1.1.30)不同于(1.1.2),因此虚速度不一定等同于可能速度。

1.1.4.3用广义坐标表示的虚位移和虚速度

以上分析表明，由N个质点=组成的带有，个完整约束和s个非完整约束

的质点系，其自由度为/=3N—r—s。选取/=3N—r个广义坐标％(/=1,2,表

示系统的位形有

%=%(%...,q”。(i=l,2,...,3N)(1.1.31)

各质点的包括实位移在内的可能位移由广义坐标的微分d%(j=1,2,...,/)完全确

定。

依dqj+*~dt(i=1,2,...,3N)(1.1.32)

由广义坐标数/大于系统的自由度数了,不是独立变量，而受到约束方程(1.1.12)

限制,

+Bk^dt=0(左=1,2,...,s)

j=i

(1.1.33)

设质点系在同一时刻，同一位置有两组广义坐标微分dq：和，力；(/=1,2,,分

别对应于两组可能位移，即

.*。fix；,*dx,

i

dx------dqH-------------dt

7=1网

,..i=l,2,...,3N

7**-OX.7**OX.1

dx；—/----dq；H-------------dt

Jst

(1.1.34)

将以上二式相减，由式(1.1.17)将df一必。以虚位移代替，引入

^,(j=1,../)为广义坐标的等时变分，即同一时刻，同一位置两组广义坐标微分之差

8q}=dqj-dq-(j=1,2,...,/)

(1.1.35)

将dq；和期*代入约束方程(1.1.23)并相减，导出广义坐标变分应满足的约束方程

Z纥网=0(k=

j=i

(1.1.36)

将式(1.1.22)各项除以力，重复以上推导，可导出用广义速度表示的虚速度

(i=l,2,...,3N)

(1.1.37)

式中A%(/=1,为广义速度的变更，即同一时刻，同一位置两组广义速度之差。A%

应满足与式(1.1.36)相同的约束方程

I

，筑△为=0(左=1,…,s)

>1

(1.1.38)

例1.4写出例1.6中A,B两点的虚位移与广义变分之间的关系。

对1.6中的约束方程各项取变分可得

。sin。却+4sinft^+Asin必〃=0

L,cos(p5(p+L2COS050-cos必〃=0

将两点的坐标用广义坐标表示

xx=L{cos（p,y、=ksin（p

/=d—L,cos=4sin什

对上式各项取变分，导出A,B两点的虚位移

dx1=sin（p8（p,3y1=£,cos（p5（p

=乙sini//d\//,dy7=cos

1.1.4.4虚加速度

质点系可能运动的加速度称为可能加速度。两组可能加速度之差（同一时刻、同一位置

下）称为加速度变更或虚加速度，可理解为约束瞬时“凝固”，质点保持原有位置和速度不

变时约束允许发生的可能加速度。

§1.2基本原理•动力学普遍方程

动力学普遍方程是分析力学的基本原理，包括虚功形式、虚功率形式，高斯形式三种不

同形式的动力学普遍方程形式，三种形式彼此之间等价。

1.2.1理想约束力、主动力与惯性力

在质点系q（i=l,...,N）中，约束对质点的作用力称为约束力，第，指点上作用的约束

力记为四j«=l,...,N）,凡约束力对于质点系的任意虚位移所作的元功之和为零的约束称

为理想约束，相对应的约束力称为理想约束力，满足以下条件

N

汇几近=0（1.2.1）

i=l

质点系除约束力以外的力称为主动力，第i质点上作用的主动力记为耳=设

第，质点的质量为码，加速度为6，定义质点的惯性力月为

F：=—m^（1.2.2）

例1.1质点P沿光滑（固定或运动）曲面运动（图1.8）

无论曲面是固定还是运动的，虚位移3r都位于曲面的切平

面内，曲面的约束力垂直于切平面。/匕

例1.2自由刚体

自由刚体上作用的约束为保持刚体内部任意两点之间距离

不变的约束，其约束力为内力，刚体的内力不作功，因此___

3W=Q/:

例1.3定点运动的刚体（图1.9）。/百，

因为约束力盘的作用点不运动，因此

3W=0两1

例1.4两个质点以理想细绳项链（图1.10）。囱1Q

理想细绳是指没有质量，不可伸长。图1.10中绳绕过

光滑杆A,因为绳没有质量，作用在片和8点的约束力7；

和式大小相等，即（=4=To由绳子不可伸长有

8rcos%-3rcoscr

x22图1.10

因此

2

SW=Z/即=Txdr{cosof；=Tx8rxcos%+（物cos%=0

i=l

1.2.2达朗贝尔原理

达朗贝尔原理为矢量力学的基本原理，与牛顿第二定律等价，可叙述为：作用于质点的

力（包括主动力和约束力）与惯性力相平衡，即

F^Fm+F*=0（1.2.3）

达朗贝尔原理将动力学问题化为静力学问题，是工程中常用的动静法的理论根据。

1.2.3虚功形式的动力学普遍方程

动力学普遍方程是分析力学的基本原理，可叙述为：具有理想双侧约束的质点系在运动

的任意瞬时，其主动力和惯性力在系统的任意虚位移中所作的元功之和等于零。写作

N

(1.2.4)

Z(4-w)Sri=。

i=l

方程(1.2.4)称为虚功形式的动力学普遍方程，或拉格朗日形式的达朗贝尔原理。作

为原理，动力学普遍方程并不需要证明，但可由达朗贝尔原理(1.2.3)和理想约束条件

(1.2.1)导出动力学普遍方程(1.2.4),这有助于理解分析力学和矢量力学在基本原理上

的一致性。

例1.1求平面摆的运动微分方程，选。为广义坐标。

x=LcosO,y—Lsin，

Sx=—Lsin030,6y=Leos050,

x=-LsinO-0,y=LcosO-0,

x=-Lcos0-02-Lsin0-O,y=-LsmO-02+Lcos0-0,

Fx=mg,Fy=0；

代入动力学普遍方程(1.2.4),有

^+―sin^=O

L

L2.4虚功原理

在静力学中，质点系的平衡状态是系统内各质点的加速度均等于零的特殊情形。令动力

学普遍方程(1.2.4)中4=0(i=L..,N),导出主动力的虚功之和为零，即

N

sw=工可物=o(1.2.5)

i=i

此结论为分析静力学中的虚功原理。即质点系平衡的充分必要条件为所有主动力在系统

任意虚位移中所作的元功之和为零。作为分析静力学的基本原理，虚功原理有时也称为静力

学普遍方程。在分析静力学中，虚功原理的适用范围被严格限制为受完整、定常、理想、双

侧约束的质点系。而在动力学普遍方程中，由于非定常约束对质点运动的影响已经在达郎贝

尔惯性力中得到体现，因此动力学普遍方程也适用于受非定常约束的质点系。

例1.1求图1.12中质点系的平衡条件

rA=(4acosw，0)

2=(2acos0,2asin°)

dr=(Tasin滔7,0)

A图1.12

8rB=(-2asin(pd(p,2acos滔?)

FB=(Q,-P),FA=(-F,Q)

代入虚功方程(1.2.5)中，有

N

EFM=-Placos(p5(p+4aFsin(p5(p=0

Z=1

F=-i-cot(p,P

1.2.5虚功率形式的动力学普遍方程

动力学普遍方程（1.2.4）中的虚位移近也可以用虚速度M代替，写作

N

7%）维=0

1=1

（1.2.6）

方程（1.2.6）称为虚功率形式的动力学普遍方程，由若丹（Jourdain）于1908年导

出，因此也称为若丹定理。由于刚体的虚速度可直接利用运动学基本公式导出，且由于虚速

度,可为有限量，因此虚功形式的动力学普遍方程更便于刚体动力学问题的实际应用，尤

其可用于讨论碰撞问题和非完整系统的运动问题。

1.2.6高斯形式的动力学普遍方程

虚加速度的矢量形式M与理想约束力下所之间也满足与式（L2.1）相似的正交条件

N

A，=o(1.2.7)

1=1

以沿约束曲面运动的质点为例，在约束“凝固”，质点保持位置和速度不变的条件下，

质点可能运动的法向加速度必保持不变，因此其加速度变更只能沿切向，而与理想约束力正

交。因此，动力学普遍方程也改写成为

N

£但-7也）应=0

!=1

（1.2.8）

此方程由高斯于1829年导出，因此称为高斯形式的动力学普遍方程，也称为高斯原理。

第二章质点动力学基本概念与定理

§2.1质点系基本动力学量

2.1.1质点系的动量

质点系的动量定义为

NN

p=Zsc=

i=li=l

(2.1.1)

N

考虑到吗G，这M为系统的总质量。

i=l

P=Mrc=Mvc

(2.1.2)

即质点系的动量等于系统的质量乘以质心速度。

2.1.2质点系的动量矩

质点系相对某点。的动量主矩(动量矩)定义为

NN

L=Yjrixmiri=Yr^mivi

i=\i=l

(2.1.3)

这里4为质点系中的点4相对选定点。的矢径。改变矩心会改变系统的动量矩。

2.1.3质点系的动能•柯尼希定理*,

IN1N

2

质点系的动能定义为丁=立50m;v;

/i=\/(=1

（2.1.4）

*）引入动力学分析中一个非常重要的概念

系统相对质心的运动;这个运动是指系统质点相对以质心为原点的平动坐标系的运动。

这个坐标系也称为柯尼希坐标系。

给出在质点系动能计算中常用到的一个定理。

柯尼希定理：系统的动能等于位于系统质心处且具有系统质量的质点的动能，再加上系

统相对质心运动的动能。

证明：由于柯尼希坐标系作平动，系统所有点的牵连速度都等于〃，因此，质点《的

绝对速度为/=〃+.',r'为质点相对质心的速度，代入式（1.2.4）,有

N

1=1

(N、(N(N\

1/2

1Y+Xm.rr.H—ri

L=iIi=l7c2\i=l7

CN

/2

=^Mre2+(Mre)re+^Emiri

L=i

(N\

因为质心的相对速度d=0,所以有T=gMi+g，2

ri

Ii=l7

2.1.4用广义坐标表示的质点系的动能

将式(1.1.11)对时间求导后代入式(1.2.4)即可得到由广义坐标表示的质点系动能:

]N

Zi=i

dr：dr.

：+—(2.1.5)

21dt

/7

jIII]

YM为+E%%+丁。

乙Zj=lk=l'j=l乙

(2.1.6)

此时，动能可写作三项和的形式

(2.1.7)

其中％,7],I分别表示广义速度为(7=1,2,...,/)的零次，一次和二次项函数。

当约束定常时竺=0,即4=%=0,有

(2.1.8)

因此，约束定常时质点系的动能是广义速度的二次齐次函数。

§2.2功与势能

2.2.1力系的功

设匕是作用在质点《上的所有力(内力和外力)的合力，自为点沿着其运动轨迹的

位移，则力所作的元功为

d'Wt-F•dr(2.2.1)

将(2.2.1)对，求和可得力系的元功

N

曲

i=l

这里，d'表示(2.2.1)和(2.2.2)的右端不一定是全微分。

类似地，可定义固定时刻使质点片发生虚位移航的力月所作的元功为

叫=月屹

(2.2.3)

将(2.2.3)对，求和可得力系的元功为

N

(=1

(2.2.4)

这里，8仅表示小量意义，而非定量W的变分。

2.2.2力场、力函数、势能

假设质点在空间中相对惯性参考系运动，在质点上作用的力依赖于质点的位置（可能还

依赖于时间），但不依赖于质点的速度。这种情况下，我们说在空间中给定了力场，质点在

力场中运动。对于质点系概念是类似的。

在力学中经常遇到依赖于位置的力，例如，在弹簧作用下沿着水平直线运动的质点上的

力。自然界中最重要的力场是引力场：太阳对给定质量的行星在空间每一点的作用力完全由

万有引力定律确定。

如果存在仅依赖于质点£的坐标大,%,z,（可能还依赖于时间）的标量函数。，

使得

_dU口_dU_dU

ix一个，iy-〜，ix一0(2.2.5)

oxioyiozi

则力场称为有势力场，函数。称为力函数,而函数V=-U称为势或势能。有势场根

据函数V是否显含时间称为非定常或定常的。满足式（2.2.5）的力耳称为有势力。

定常有势力的元功是全微分，事实上，由（2.2.2）和（2.2.5）可得

N（ATIrlTJr）TI、

（2.2.6）

d'W=Y——向+——血+——dzt=dU=-dV

白（物dytdZj）

因此，如果在我们研究的空间区域为V是%,%,z,（i=l,…,N）的单值函数，则在系

统从一位置到另一位置的运动中，有势力的全功不依赖于从初始位置到末位置的途径。特别

地，如果系统的所有点的轨迹都是封闭的曲线，则全功等于零。

2.2.3广义坐标形式的力系的元功•广义力

将式(2.2.4)中的虚位移由相应的广义坐标变分表示，有

N(IaryiN

(2.2.7)

；=1(耳如)7=1汩的;

称量

24哈(，*.,/)(2.2.8)

为对应于广义坐标％的广义力。此时，元功的表达式为

5W=£Q西(2.2.9)

尸

例1.1质点在力心作用下沿OX轴运动。

此时，选X为广义坐标，元功为bW=q加，

广义力为。=以

例1.2重力场内双摆在竖直平面内运动(图2.1)

))

Fx=(mg,OF2=(mg,O图2.1

4=(£cos^,£sin

r2=(L(cos9+cose),L(sin8+sin。))

drx=(~LsinOSO,LeosOSO]

3r2=(£(-sin080-sin(p8(p),L(cosOSO+cos(p6碎

6W=~^2mgLsin686—mgLsin(pS(p

:.QQ=-ImgLsin0,0^,=-mgLsin9

§2.3动力学基本原理

设质点系4(，=1,…,N)在某惯性坐标系中运动，码为£的质量，”为£对坐

标原点的矢径。如果质点系是非自由的，则除了作用在系统上的主动力，还存在约束力，那

么由达朗贝尔原理(1.2.3)可得

吗6+4+FM=O(Z