初中数学简单的轴对称图形第3课时角平分线的性质 2024-2025学年七年级数学下册（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册第五章图形的轴对称5.2简单的轴对称图形

第3课时角平分线的性质目录学习目标01情景导入02新知探究03课本例题0405课本练习06分层练习0807课本习题课堂小结学习目标1.从轴对称的性质中，提炼出里面的数学思想，探索并掌握角平分线的性质及尺规作图的画法.2.由具体的客观事实，转化成抽象的猜想证明，让学生感悟数学思维解决问题的方法.3.经历猜想、验证、归纳的学习过程，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯.情景导入生活中哪些地方有角的身影?请举例说明.墙角，桌角等.新知探究角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗？如果是，请指出它的对称轴.如图，将

∠AOB

对折，你发现了什么？OBA角两边能完全重合角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线.尝试思考如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D'，连接CD和CD'。（1）线段CD和CD'之间有什么关系?

说说你的理由。CD=CD'。理由如下：因为OP是∠AOB的平分线，所以∠POA=∠POB。在△COD和△COD'中，DO=D'O，∠POA=∠POB，CO=CO。所以△CED≌△CED'(SAS)所以CD=CD'。（2）特别地，当CD⊥OA时，如图所示，CD'与OB有怎样的位置关系?为什么?CD'⊥OB。理由如下:因为CD⊥OA，所以∠ODC=90°。由(1)可知，∠OD'C=∠ODC=90°，所以CD'⊥OB。D'（2）线段CD和CD'之间还有(1)中的关系吗?CD=CD'。改变点C的位置，线段CD和CD'还相等吗?由此你能得到什么结论?D'角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的性质:几何语言:因为点C在∠AOB的平分线上，且CD⊥OA于点D，CD′⊥OB于点D′。所以CD=CD′。思考交流如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线?思路：①利用性质确定角平分线上的一个点；②连接这个点和顶点确定角平分线。假设∠AOB的平分线已作出，那么(1)这条射线有什么特征?(2)如何确定这条射线上除端点之外的一个点?这条射线在∠AOB内部，端点是О，在这条射线上任取一点(非点O)，这一点到边OA，OB的距离相等。提示：需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作。例题讲解例

如图，已知∠ AOB，请用尺规作∠ AOB的平分线。

请你说说这样作的道理。角平分线的作图依据是“SSS”.思考交流过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的角平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点?作一个平角的平分线的方法就是过直线上一点作已知直线的垂线的方法，不同的是平角的平分线最后是作射线，而直线的垂线最后是作直线。回顾反思

回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法?积累了哪些经验?概念归纳1.角的轴对称性及角平分线的性质类别内容图形依据角的轴对称性角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴，即OP所在的直线为∠MON的对称轴AAS角平分线的性质角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，即PE＝PF2.用尺规作角的平分线作法图形依据(1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.

(2)分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.(3)作射线OC.OC就是∠AOB的平分线SSS特别提醒1.利用“角平分线的性质”必须要具备两个条件：①点在角平分线上；②有过该点的角两边的垂线段.二者缺一不可.2.利用角平分线的性质说明线段相等时，所要说明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.随堂练习理由：在Rt△ABC中，∠C=90°，所以DC⊥BC。因为BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，所以DE=DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）1.如图，BD是Rt△ABC的一条角平分线，DE⊥AB，垂足为E。你认为DE与DC相等吗?为什么?

解：相等。【课本P133随堂练习第1题】2.任意画一个角，用尺规将它四等分。分层练习基础题1.下列说法不正确的是(

)A

（第2题）

CA.4

B.3

C.2

D.1（第3题）

B

（第4题）

CA.

7

B.

6

C.

5

D.

4

CA.

1

B.

2

C.

3

D.

4

2.4（第6题）

1（第7题）

综合应用题（第9题）

B

C（第10题）A.3

B.5

C.6

D.不能确定（第11题）

C

（第11题）

2（第13题）

4

（第14题）

4（第15题）

创新拓展题

18.[2024太原期末]

9

习题1.如图，在下面的等腰三角形中，∠A是顶角，分别求出它们的底角的度数。解:（1）∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°。（2）∠B=∠C=(180°-90°)÷2=45°。（3）∠B=∠C=(180°-120°)÷2=30°。AB2.画一条线段AB，用尺规将它四等分。解：已知：线段AB。求作：将线段AB四等分。

3.任意画一个三角形，用尺规作三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么?再换一个三角形试一试。解:已知：△ABC。求作:△ABC的三条边的垂直平分线。ABC

4.任意画一个三角形，用尺规作三角形三个内角的平分线。解:已知：△ABC。求作:△ABC的三个内角的平分线。ABC

5.等腰三角形的底角可能是锐角吗?可能是直角吗?可能是钝角吗?请说明理由。解:可能是锐角，不可能是直角或钝角。6.在等腰三角形ABC中，已知∠A=100°，你知道这个等腰三角形的底角是多少度吗?如果∠A=30°呢?解:∠A=100°时，底角是40°；∠A=30°时，底角是30°或75°。7.如图，在△ABC中，AB≠AC，线段AM是它的一条中线，点P是线段AM上的一点，你认为PB与PC相等吗?如果AB=AC呢?为什么?解:不相等。如果AB=

AC，那么PB=

PC。因为此时△ABP与△ACP关于AP所在的直线对称，所以PB=

PC。8.在线段AB的垂直平分线上任取两个不同的点M，N，则∠MAN和∠MBN之间有什么关系?为什么?解:∠MAN=∠MBN。理由：由题意容易得到△MAN和△MBN关于线段AB的垂直平分线对称，所以∠MAN=∠MBN。解:

如图，过点M作MN⊥AB于点N。因为∠CAB=60°，∠BAM

=30°，所以∠CAM=∠CAB－∠BAM=60°－30°=

30°。所以AM平分∠CAB。因为∠C=

90°，所以CM=MN

(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)9.把两个同样大小的含30°角的三角尺按如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点，这时MC

的长度就等于点M到AB的距离。你知道这是为什么吗?N10.校园一角的形状如图(1)所示，其中AB，BC，CD表示围墙。如图(2)所示，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等。请解释他这样做的道理。ABCD(1)(2)解:如图所示。过点P分别作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥CD，垂足分别为E，F，G。因为BP平分∠ABC，所以PE=PF。因为CP平分∠BCD，所以PF

=PG。所以PE=PF=PG。※11.请用等腰三角形“三线合一”的性质解释例3作法的道理。12.

(1)等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的底角有何特征?(2)请仿照(1)再提出一个问题。解:

（1）底角相等，且都为45°。12.

(1)等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的底角有何特征?(2)请仿照(1)再提出一个问题。解:

（1）底角相等，且都为45°。13.如图，一张纸上有A，B，C，D四个点，请用尺规找出一点M，使得MA=MB，MC=MD。解:如图