北师版七年级数学下册 第一章《整式的乘除》单元检测（含解析）

第一章《整式的乘除》——北师版数学七年级下册单元检测

一'选择题（每题3分，共30分）（共10题；共30分）

1.（3分）科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为0.0000061米，将数据0.0000061

用科学记数法表示正确的是（）

A.6.1X10-5B.0.61x10-3C.6.1x10-6D.0.61X10-6

2.（3分）有下列计算：①-.%4=%16；②（_a5b）2=—a7b2；③（加）3=。庐；

④（—2a）2=4a2.其中正确的有（）

A.①④B.②④C.①③D.④

3.（3分）下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）

A.（x+a）（x—a）B.（a+b）（—a—b）

C.（—%—b）（x—b）D.（b+m）（m—b）

4.（3分）若2、=3,4》=5,贝lj2尸2"的值是（）

A.|B.-2C.莘D.|

5.（3分）如图1,将边长为a的正方形纸片，剪去一个边长为b的小正方形纸片.再沿着图1中的虚线

剪开，把剪成的两部分（1）和（2）拼成如图2的平行四边形，这两个图能解释的数学公式是（）

图1图2

A.(a—b)2=a2—2ab+b2B.a2—b2=(a+b)(a—b)

C.(a+b)2=a2+lab+b2D.ab=-^[(a+b)2—(a—b)2]

6.(3分)下列运算中，错误的是()

A.3xy•(%2—2xy)=3%2y—6x2y2B.5x(2x2—y)=10%3—5%y

C.5mn(2m+3n-1)=10m2n+15mn2—5mnD.(ab)2•(2ab2—c)=2a3b4—a2b2c

7.（3分）有两个正方形A,B,现将B放在A的内部如图①；再将A,3无缝隙且无重叠放置后构

造新的正方形如图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7,则图②所示的大正方形的

面积为（)

8.（3分）已知a,b是常数，若化简（-2x+a）（x2+bx-3）的结果中不含x的二次项，则

-12a+24b-3的值为（）

A.-3B.2C.3D.4

9.（3分）已知3。+3b=9,ab=3,则a+b的值为（）

A.16B.4C.-4D.±4

10.（3分）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出2丫个球放入

乙袋，再从乙袋中取出（2支+2与个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中

球的个数都相同，则/+y的值等于（）

丙袋

二'填空题（每题3分，共18分）（共6题；共18分）

小2024

11.（3分）计算：—52025*偿）=.

12.（3分）若x+2y—3=0,贝U2x+1-4y=.

11

13.（3分）已知：771---=5,则7712-----.

mm乙

14.（3分）若Tn?一序=-6,且根一？！二一3,则+八二.

15.（3分）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数

排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角

（a+b）°=1

(a+b)i=a+b

（a+bp=a2+2ab+b2

（a+5）3=a3+3a2b+3ab2+b3

请观察这些系数的规律，探究。+1户的展开式中％3项的系数是.

1

11

121

1331

••・・・・«*«・・・

16.（3分）著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少

数时难入微”.如图所示，由四个长为a,宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中a>b>0,

9

-

4a+b=5,则阴影部分的面积为

三'解答题（共9题，共72分）（共9题；共72分）

_2

17.（8分）（1）计算：2X（—1）2024一|_2|+G）+（兀一3.14）°；

2

（2）（f3y）3Gx2y3z）+（一/%5y2）.

18.（8分）计算：

（1）（4分）a2.a4+（_2a2）3—a8+a2；

200/i、201

（2）（4分）（-2）T+（3.14—兀）°+z（_,）x（—

19.（5分）化简，求值：（%—y）2+（第一2y）（%+2y）-%（%+3y）,其中％=-1,y=2.

20.（5分）先化简，再求值：[（2%+y）?+y（4%-y）-10%y]+（-2%）,其中第=一1,y=2.

21.（8分）如图，在长为4。-1,宽为3b+2的长方形铁片上，挖去长为3a-2,宽为2b的小长方

形铁片.

（1）（4分）计算剩余部分（即阴影部分）的面积.

（2）（4分）求出当a=4,b=3时的阴影面积.

22.（10分）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题.

（1）（3.5分）观察图1,写出代数式（a+b）2,（a—卜/，ab之间的等量关系：;

⑵（3.5分）若x+y=7,xy=5,则/+/=；（%_y）2=；

（3）（3分）如图2,边长为5的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为m，n（m<5,n<5）的

长方形，若长方形的周长为12,面积为8.5,求图中阴影部分的面积S1+S2+S3的值.

23.（10分）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法.比如：在学习“整式的乘法”

时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2

（如图1）,利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代

【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：

（1）（2.5分）由图2可得等式：；由图3可得等式：

（2）（2.5分）利用图3得到的结论，解决阁题：若a+b+c=15,ab+ac+be=35,求+

■+c2的值.

(3)(2.5分)如图4,若用其中X张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别

为a、b的长方形纸片拼出个面积为(2a+b)(a+2b)长方形(无空隙、无重叠地拼接)，求久+y+z

的值.

(4)(2.5分)如图4,若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b的长方形纸片，5

张边长为b的正方形纸片.从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张.把取出的这些纸片拼成一

个正方形(无空隙、无重叠地拼接)，则拼成的正方形的边长最长可以为.

24.(10分)乘法公式的探究及应用：

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是

边长为b的正方形，C种纸片是长为从宽为a的长方形.并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸

片两张拼成如图2的大正方形.

(1)(3.5分)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积：

方法1：,方法2：；

(2)(3.5分)观察图2,请你写出三个代数式(a+b)2,a2+b2,ab之间的数量关

系：;

(3)(3分)根据(2)中的等量关系，解决如下问题：

①已知a+b=7,a2+b2=33，求ab的值；

②已知(2024-a)2+(a-2022)2=8,求(2024-a)(a-2022)的值.

25.(8分)如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”.例:

16=52—32,16就是一个“智慧数”.

小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索：

小明的方法是一个一个找出来：

0=02-02,1=I2-02,3=22-I2

4=22—。2,5=32—22,

7=42-32,8=32-I2,

9=52-42,11=62-52,•••

小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于4+1）2_卜2=&+1+

k）（k+l-k）=2fc+l.所以，自然数中所有奇数都是“智慧数”.

问题：

（1）（4分）根据上述小明的方法，自然数中第10个“智慧数”是

（2）（4分）他们发现除奇数外，还有0,4,8也是“智慧数”，由此猜测4a（a为正整

数）都是“智慧数”.请你参考小王的办法证明4a（a为正整数）都是“智慧数”.

答案解析部分

L【答案】C

【解析】【解答】解：0.0000061=6,1x10-6,故答案为A.

【分析】绝对值小于1的数科学记数法可以表示为：±aX10『其中lWa/10,n取从左边数第一

个非。数前0的个数，包括小数点前面的0.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：①比4'=久8,①错误；②(_a5b)2=al。b2,②错误；③(加)3=

a3b6,③错误；④(-2a)2=4a2,④正确.

故答案为：D.

【分析】①根据同底数事的乘法法则验证即可；②③④根据积的乘方运算法则验证即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；

B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算.

故答案为：B.

【分析】利用平方差公式的计算方法逐项判定即可。

4.【答案】A

【解析】【解答】解：2*=3,4y=5,

2A2y=2、+229=2-+犷=3+5=,

故答案为：A.

【分析】利用同底数幕的除法的逆运算及幕的乘方运算法则即可解答.

5.【答案】B

2222

【解析】【解答】由图1知(1)和(2)的面积为a-b,图2中⑴和⑵的面积为(a+b)(a-b),^a-b=

(a+b)(a—b)

答案：B.

【分析】分别计算图1和图2中的(1)和(2)的面积，即可得平方差公式.

6.【答案】A

-22322

【解析】【解答】解：,.3xy-(x-2xy)=3xy-x-3xy-2xy=3xy-6xy0选项A错误；

\"5x(2x2-y)=5x-2x2-5x-y=10x3-5xy。选项B正确;

5mn(2m+3n-l)=5mn-2m+5mn-3n-5mn=10m2n+15mn2-5mn。，选项C正确；

(ab)2-(2ab2-c)=a2b2-(2ab2-c)=a2b2-2ab2-a2b2-c=2a3b4-a2b2c。.•.选项D正确.

故选：A.

【分析】根据单项式乘多项式的法则，分别计算出各选项，即可得到正确答案.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：设正方形3的边长为°,其中a>0,

..•将3放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1,

,阴影部分为正方形，且边长为1,

图①中大正方形的边长为a+1,

即正方形A的边长为a+1,

又将4,B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：

图②中大正方形的边长为：a+a+l=2a+l,

•••图②中阴影部分的面积为7,

••(2a+1)2——(a+l)2=7，

整理得：2a2+2a-7=0,

解得：a土巫<o(不合题意，舍去)，

1ZzZ

.♦•图②中大正方形的边长为：2。+1=2义-1。回+1=回

图②中大正方形的面积为15.

故答案为：B.

【分析】设正方形8的边长为。，其中a>0,依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1,则正

方形4的边长为a+1,依题意得图②中大正方形的边长为2a+l,则(2a+1下-—(a+1下=7，

由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：(-2x+a)(x2+bx-3)

=-2x3-2bx2+6x+ax2+abx-3a

=-2x3+(-2b+a)x2+(6+ab)x-3a,

:多项式中不含X的二次项，

a-2b=0,

・・--12a+24b-3=12(a-2b)-3=12xO-3=3.

故答案为：A.

【分析】根据多项式乘多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式

的每一项，再把所得积相加”将原式去括号，然后由多项式中不含X的二次项可得关于a、b的等

式，将所求代数式变形得：原式=-12(a-2b)-3,再整体代换计算即可求解.

9.【答案】D

【解析】【解答】解：■ab=3,3a30=9,

...3a-b=32

a-b=2,

二(a+b)2=(a—b)2+4ab=22+12=16

/.a+b=+4

故答案为：D.

【分析】根据已知可得3^=32,得出a-b=2,根据完全平方公式变形求值即可.

10.【答案】A

【解析】【解答】解：交换后各袋数量，甲(292+2丫)个、乙［(29+2x-(2x+2y)］个、丙(5+2*+2丫-2丫)个.

因为交换后数量相等，由甲数量=乙数量，乙数量=丙数量得

(29—2"+2'=29+2久一(2久+2y)

(29+2X-(2X+2y)=5+2X+2y-2y

2x+y=2X-2y=16X8=128

故答案为：A.

【分析】本题先用代数式表示交换后三个袋中球的个数，再根据交接后各袋中数量相等列方程组,

求出2x与2y的值，进而求解.

11.【答案】—5

20242024

【解析】【解答】解：原式=一5x52024X偿4)=_5X(5X/=—5

故答案为：-5

【分析】本题考查同底数嘉的乘法和积的乘方运算.先对式子进行变形可得：原式=-5X52025X

/八2024/1、2024

，再利用逆用同底数幕的乘法可得：原式=—5X(5X!)，再利用积的乘方运算法则进行

计算可求出答案.

12.【答案】16

【解析］［解答］解：2X+1.4y=2X+1.22y=2X+2V+1,

Vx+2y-3=0,

x+2y=3,

A2x+2y+1=23+1=24=16.

故答案为：16.

【分析】先根据幕的乘方把4y转化为22y,再根据同底数幕的乘法的法则变形得/+2y+i,再把已知

条件变形为x+2y=3,最后整体代入计算。

13.【答案】27

【解析】【解答】解：—工=5,

m

(m——)=25，

1I

m2o—2mx——I——=25,

mm2

•*.H--y—27,

m乙

故答案为：27.

【分析】由完全平方公式变形可得：m2+^2=(m-^)2+2,据此求解。

14.【答案】2

【解析】【解答］解：m2-n2=(m+n)(m-n)=6,且m-n=3,

/.m+n=2

【分析】根据平方差公式，将(m-n)的值代入即可求出(m+n)的值。

15.【答案】10

【解析】【解答】解：(x+1}5=X5+5%4+10x3+10x2+5x+1；

.•.含炉项的系数是10,

故答案为：10.

【分析】根据“杨辉三角”展开，再找出展开式的规律即可.

16.【答案】16

【解析】【解答】解：如图，•••大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间阴影小正方形的面积

AS阴影=(a+b)2-4ab,

9

=-

4

AS阴影二(a+b)2-4ab=52-4x94=16.

故答案为：16.

【分析】本题考查完全平方公式，结合图形能够看出大正方形与小正方形的关系，即小正方形等于

大正方形减去四个长方形，代入必=垓，a+b=5代入求出阴影面积.

17•【答案】解：⑴2x(—1)2024—|_2|+G[+(7r—3.14)。

=2x1—2+9+1

=2—2+9+1

=10.

2

（2）（-炉、）3.信久2y3z）+（一/％5y2）

【解析】【分析】(1)根据实数混合运算法则正确运算即可；

(2)根据整式混合运算的顺序，先算乘方，再算乘除即可得出结果。

18.【答案】(1)解：.a4+(-2a2)3-a8-a2

=a6-8a6—a6

=—8Q6；

,Q、200/八201

⑵解：(_2尸+(3.14—兀)°+(Z—I)X(-li)

13

=2-2

=-1.

【解析】【分析】(1)根据整式的混合运算，实数的混合运算法则，先由同底数幕乘除法，积的乘

方，计算各项，再算加减法，即可得到答案;

(2)根据整式的混合运算，实数的混合运算法则，先由负整数指数幕，零指数塞，乘方的运算方法计

算各项，再算加减法，即可得到答案.

（1）解：a2-a4+（-2a2）3-a8-a2

=a6-8a6—a6

=—8。6；

,Q.200,i、201i200,Q.200Q.

⑵(—2厂+(3.14—兀)。+(一或X(-12)="2+1+(z-3)X(-2)X(z-2)

13

=2-2

=-1.

19.【答案】解：(%-y)2+(%-2y)(x+2y)—%(%+3y)

=x2—2xy+y2+x2—4y2—x2—3xy

=x2—5xy—3y2,

当％=-19y—2时,原式二(-I)?—5x(—1)x2—3x2?=1+10—12——1.

【解析】【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式，以及单项式

乘以多项式的计算法则，去括号，然后合并同类项化简，得到%2—5%y-3y2,再将％=—1,y=

2,代入化简后的代数式%2—5%y-3y2,进行计算，即可得到答案.

20.【答案】解：[(2]+y)2+y(4%-y)—10%y]+(-2%)

=(4x2+4xy+y2+4xy—y2—lOxy)+(-2%)

=(4%2—2xy)-r(—2%)

=4x2+(-2%)—2xy+(—2%)

=—2x+y,

当％=—1,y=2时，

原式=-2x(-1)+2

=2+2

=4.

【解析】【分析】先把中括号里化简，再根据多项式除以单项式的法则计算，然后把％=-1,y=2

代入计算即可.

21•【答案】(1)解：由题意，管阴影=S原长方形-S挖去的长方形

—(4a—1)(36+2)-2b(3a—2)

=12ab+8tz—3b—2—6ab+4b

=Gab+8ci+b—2；

(2)解：当。=4,b=3时，

6ab+8a+b—2=6x4x3+8x4+3—2=105.

【解析】【分析】(1)根据阴影部分图形，结合大长方形的面积减去小长方形的面积，列出代数

式，化简计算，即可求解；(2)将a=4,b=3代入(1)中的代数式6ab+8a+b—2,进行运

算，即可得到答案.

22.【答案】(1)(a+b)2—(a—b)2=4ab

(2)39,29；

(3)解：如图所示，

・・,长方形的周长为12,面积为8.5,

.12

m+n=-^-=6,mn=8.5,

m2+n2=(m+n)2—2mn=36-17=19,

由题意得，ED=5—TH,HG=n—(5—m)=m+n—5,BQ=5—n,

.=Si+S2+S3=(5—m)2+(m+n—5)2+(5—n)2

=(5—m)2+(6—5)2+(5—n)2

=m2-10m+25+1+n2—lOn+25

=m2+n2—10(m+n)+51

=19-10x6+51

=10.

【解析】【解答］解：(1)・・,图1左图长方形的面积为；4axb=4ab,图1右图空白部分可以看成4个

小长方形面积，4个小长方形的面积=4axb=4ab,

・••图1左图长方形的面积=图1右图空白部分4个小长方形的面积

・・•图1右图空白部分4个小长方形的面积=大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积=(a+b)2-

(a-b)2；

(a+b)2—(a-b¥=4ab,

故答案为：(a+bp-(a-b)2=4ab；

(2)：%+y=7,

(x+y)2=72=49,

/.x2+2xy+y249,

又％y=5,

x2+10+y2=49,

Ax2+y2=39,

*/(%+y)2—(%—y)2=4xy,

**•(x—y)2=(x+y)2—4xy=49—4x5=29,

故答案为：39,29；

【分析】(1)根据两种不同的方法表示4个小长方形的面积，即可得出(a+b)2—(a-份2=4防；

(2)根据完全平方公式的适当变形，即可求得答案；

(3)首先根据长方形的周长为12,m+n=6根据面积为8.5,可得出mn=8.5,进而可得6？+/=

19,再根据大正方形的边长为5,可得出£7)=5-租，HG=n-(5-m)=m+n-5,BQ=5-

n,即可得出Si+S2+S3=7712+^2—10(^+0+51,然后在整体代入求值即可得出答案。

23.【答案】(1)(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab;(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

(2)解：由(1)得：若a+b+c=15,ab+ac+be=35

则层+b2+c2=(a+b+c)2—2(ah+ac+be)=225—2x35=155.

(3)解：长方形面积为(2a+b)(a+2b)=2小+2/+5M，

2a2+5就+2户可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的

长方形纸片拼成的大长方形的面积，

可得：x=2,y=2,z=5,

/.%+y+z=9.

(4)(a+2b)

【解析】【解答］(1)解：利用长方形面积公式(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab，

利用正方形面积公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

故答案为：(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab，(a+/?+c)2=a2+b2+c2+2ab+lac+2bc;

(4)3a2+Sb2+4ab=a2+4ab+4b2+b2+2a2=(a+2b)2+b2+2a2,

J正方形的边长最长是(a+2b),

故答案为：(a+2&).

【分析】(1)结合图形分别列出等式即可；

(2)利用(1)的等式，将a+b+c=15,ab+ac+be=35代入层+川+c2计算即可；

⑶先根据长方形的面积公式可得(2。+8)9+25)=2小+2户+5仍，再求解即可；

(4)先利用长方形的面积公式及等量代换可得3a2+5b2+4ab=a2+4ab+4b2+b2+2a2=

(a+2b尸+b2+2a2,再求解即可.

(1)解：利用长方形面积公式(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab，

利用正方形面积公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

故答案为：(a+b)(2a+b)=2a2+b2+3ab，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;

(