北京市某中学2024-2025学年九年级下学期开学测试数学试题（含答案）

北京市第四中学2024-2025学年九年级下学期开学测试数学试题

学生须知

1.本练习卷共8页，共28道小题，满分100分.练习时间120分钟.

2.在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号，

3.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.

4.选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.

一、选择题（共16分，每小题2分）

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

2.若3a=26（仍W0）,则下列比例式中正确的是（）

a3b2abab

A.­=—B.—=—C.—=—D.—=—

b2a32332

m+2

3.若函数歹=---的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增小，则加的取值范围是（）.

x

A.m>-2B.m<-2C.m>2D.m<2

4.观察下列表格，估计一元二次方程必+3》一5=0的正数解在（）

X-101234

x2+3x—5-7-5-151323

A.—1和0之间B.0和1之间C.1和2之间D.2和3之间

5.如图,e。过点8、C,圆心。在等腰RtV45C的内部，乙B/C=90。，OA=\BC=6,则e。的半

径为（）

A

A.V13B.13C.6D.2V13

6.教练将某射击运动员50次的射击成绩录入电脑，计算得到这50个数据的平均数是7.5,方差是L64.后

来教练核查时发现其中有2个数据录入有误，一个错录为6环，实际成绩应是8环；另一个错录为9环，实

际成绩应是7环.教练将错录的2个数据进行了更正，更正后实际成绩的平均数是无，方差是S2,则（）

A.x<7.5,s2=1.64B,元=7.5,s2<1,64

C,元>7.5,s2<1.64D.元=7.5,52>1.64

7.如图，抛物线^="2+区+。（。/0）与》轴交于点（%1，0）,（2,0）,其中0</<1,下列四个结论：①

abc<0；@a+b+c>0；③26+3c<0；④不等式ax?+bx+c<-9x+c的解集为0<x<2.其中正

2

C.3D.4

8.点M为等边三角形4BC内的一点，MB'上AC于点B',W,8c于点H,于点C',

记△M4C'的内切圆半径为么20,的内切圆半径为么岫⑷，△MC5'的内切圆半径为么MM，

的内切圆半径为么小笈，的内切圆半径为么“8°，△MC4的内切圆半径为么给

出下面三个结论：

@^MAC=^MC'+AC'-MA)

②AB'+BC+CA'=AC+BA'+CB'

③r/\MAC+rAMBA'+r/\MCB'=rAMAB'+r/\MBC+rt\MCA

上述结论中，一定正确的序号是（）

c

A.①B.①②C.①③D.①②③

二、填空题(共16分，每小题2分)

9.分解因式：2/—12x+18=.

10.已知二次函数＞=一_?+2%—4的图象上两点/(4,%),8(机/2)，若％=%，则加=

1

11.已知a,〃均为锐角，_B|sincr--|+(tan/?-l7)=0,则。+尸=_.

12.若关于x的方程狈2+云+。=()的解是再=3,々=—5,则关于〉的方程

Q(y-1)?+6(y-1)+c=0的解是.

13.在平面直角坐标系中，直线V=G与双曲线y=2交于点(1,-2)和点2,则点3的坐标为

尤

14.某校学生会在同学中招募志愿者作为校庆活动讲解员，并设置了“即兴演讲”“朗诵短文”“电影片段配

音”三个测试项目，报名的同学通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一项进行测试.甲、乙两位同学

报名参加测试，恰好都抽至犷即兴演讲”项目的概率是.

15.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1,/、B、C、。均落在格点上.

（1）S&BDC:S&BAC=

(2)点P为8。的中点，过点尸作直线/P8C,过点2作于点过点C作CW，/于点N,则

矩形BCNM的面积为

16.图1是放在水平桌面上的高脚杯的截面图，杯体NC5呈抛物线状(杯体厚度不计)，点C是该抛物线

的顶点，CZ>=6cm,£尸=2cm,。是£尸的中点.当高脚杯中装满红酒时，液面48=4cm,此时最大深

度（液面到最低点的距离）为4cm.现将高脚杯绕点尸缓缓倾斜倒出部分红酒，当倾斜角a=45°时停

止，此时液面为G5,如图2所示，则此时酒杯内红酒的最大深度是cm.

图1图2

三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题每题5分，第24题

6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）

17.计算：V3tan60°—A/8+1—V2|—（1—.

18.解方程：%2—6x+2=0-

（2）如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为c,c+l,c+2,求这三张正方形纸片的面积之和.

20.已知：如图，V48C中，ABAC=90°,AB=AC,点。是边上的一个动点（不与8、C点重

合），Z1=45°.

(1)求证：AABDs^DCE；

(2)若AE=EC=1,求的长.

21.已知抛物线y=(x—3)(x+l).

(1)直接写出该抛物线与x轴的交点坐标为；

(2)画出它的图象；

(3)若(加，州),(加+2,%)在抛物线上，且外三%，直接写出"的取值范围是.

22.如图，在四边形/BCD中，AB=4C,ND=90。,BEL4C于点、F,交CD于点、E,连结区4,若

(1)求证：AABFmLACD；

⑵若BF=7,DE=3,求W的长.

23.在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4,将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将

抽得卡片上的数字记为。；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅

匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为上

(1)先抽取一张卡片，再摸一个球，求a-6=0的概率：

(2)若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜.这样的规则公平吗？请说明理由.如果不公平，

能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案.

24.如图，4B是e。的直径，M是。4的中点，弦CDL/5于点过点。作£>£_LC4交C4的延长

线于点E.

E

(1)连接OD,求440。的度数；

(2)求证：与e。相切；

(3)点尸在弧上，ZCDF=45°,DF交AB于点、N.若DE=6,求7W的长.

25.某公园内人工湖上有一座拱桥(横截面如图所示)，跨度N8为4米.在距点N水平距离为d米的地

点，拱桥距离水面的高度为〃米.小红根据学习函数的经验，对d和力之间的关系进行了探究.

(1)经过测量，得出了d和力的几组对应值，如下表.

d/米00.611.82.433.64

〃/米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d和力这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数;

(2)在下面的平面直角坐标系xQy中，画出(1)中所确定的函数的图象;

3

2

F------:-----;------:-------:-----;——►

O12345T

(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：

①桥墩露出水面的高度AE为米；

②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船.为安全起见，公园

要在水面上的C,。两处设置警戒线，并且CE=£>/，要求游船能从C,。两点之间安全通过，则C处

距桥墩的距离CE至少为米.(精确到01米)

26.已知抛物线y=ax?+bx+c过点(1,2),顶点(机,")在抛物线y=x之上.

(1)当"取最小值时，a=；

(2)用含m的式子表示a；

(3)已知点/(—2,£)、5(-1,y2),C(2)3)在抛物线>=分+及+。上，且为〈外〈为，求加的取

值范围.

27.在V4BC中，ZACB=90°,AC=BC,5c绕点C顺时针旋转角度a(0。<a<360°)得到

DC.

(1)如图1,若。=30°,连接4D交8c于点E,若NC=6,求。£的长；

(2)如图2,若0。<0<90°,CF平分NBCD交4D于点尸,连接瓦L过点C作CG_LZ。，在射线

CG上取点G使得NBGC=45°,连接8G,请用等式表示线段CG、CF、2尸之间的数量关系并证

明；

(3)如图3,若BC=8,点尸是线段4g上一动点，将C尸绕点P逆时针旋转90。得到QP,连接Z0,

M为Z0的中点，当2cA1+C。取得最小值时，请直接写出V4B祖的面积.

28.在平面直角坐标系中，已知点对于点尸给出如下定义：将点尸向右(a»0)或向左

(a<0)平移后|a|个单位长度，再向上S20)或向下(6<0)平移，回个单位长度得到点p,点P'绕点

"逆时针旋转90。得到点。，称点。为点尸关于点M的“左平移旋转点”.已知点尸(-2,0).

Ar

10>

9>

8L

65432-101234s67X91。x

1)

,卜

一3卜

-4

5〉

6k

备用图

(1)若点点。为点尸关于点M的“1平移旋转点”，则点。的坐标为;

(2)若点。(1-后,-1),点。为点尸关于点M的“、回平移旋转点”，求点M的坐标；

7

(3)若e。的半径为1,/是e。上一点，点。为点尸关于点M的“一平移旋转点”，直接写出尸。长的

4

最大值与最小值.

参考答案

1-8.

【答案】A

【答案】C

【答案】A

【答案】C

【答案】A

【答案】B

【答案】C

【答案】D

9.【答案】2(x—3)2

10.【答案】-2

11.【答案】75。

12.【答案】%=4,%=-4

13.【答案】（—1,2）

14.【答案】』

9

15.【答案】①.5:1②.7.5

16.【答案】迪

8

17.【答案】2-6

18.【答案】再=3+77,x2=3-V7

19.【答案】（1）2（2）7

20.【小问1详解】

证明：•••Z8/C=90°,AB=AC,

・•.V4BC为等腰直角三角形，

.■.ZB=ZC=45°,

■■.ZBAD+Z3=180°-ZS=135°,

•••Z1=45°,

.•.N2+N3=135。，

；•/BAD=Z2,

又•••=NC,

/\ABDS/\DCE；

【小问2详解】

解：•.•Z£=£C=1,

AC=AE+EC=2，

由（1）知V4BC为等腰直角三角形，

；.AB=AC=2,BC=y/2AC=2V2>

设BD=x,则。C=20—x，

由（1）知△ABDs/\DCE,

ABBD

'^C~~CE'

2x

解得：x=V2，

■-BD=42■

21.【小问1详解】

解：当夕=0时，（%—3乂》+1）=0,

解得，再=3,x2=-1,

可得，抛物线与X轴交点为（-1,0）,（3,0）；

【小问2详解】

解：当x=0时，J=-3,

抛物线与y轴交点为（0,-3）,

由（1）可知，抛物线与X轴交点为（—1,0）,（3,0）；

-1+3

对称轴为直线x=-------=1,

2

当％=1时，y=-2x2=-4,

二顶点为（1,—4）,

顺次连接各点即可得到抛物线图象.

解得，m=0,

由图可知mN0时，乂

22.

【小问1详解】

证明：••・EZ平分NDEP,ND=90°,BE上AC,

AF=AD,

•­•AB=AC,

.•.VAftF等VZCD（HL）；

【小问2详解】

解：由（1）可知：AABF注AACD,AF=AD,

BF=CD=1,

•••DE=3,

CE=4,

■：AE=AE,AF=AD,

V4E*VZ£Q（HL）,

•1"EF=DE=3,

-CF=4CE2-EF2=V7-

23.【答案】（1）-

4

(2)不公平，理由见解析；将标有数字1的小球改成4,理由见解析

24.【小问1详解】

解：如图，连接0。，AD,

E

••・43是eO的直径，CDLAB,

垂直平分CD,

〃是。4的中点，

:.OM=-OA=-OD,

22

小八”OM1

cosZ.DOM==—,

OD2

ZDOM=60°,

y.-：OA=OD,

:MOAD是等边三角形，

.-.^AOD=60°.

故答案为：60；

【小问2详解】

证明：•.■C0LN8,48是e。的直径,

:.CM=MD,

是。4的中点，

AM=MO,

又；ZAMC=ZDM0,

:MAMC^/OMD(SAS),

ZACM=ZODM,

CA//OD,

DE1CA,

DELOD,

•••0。是半径，

.〔DE与e。相切.

【小问3详解】

解：如图，连接CE,CN,

于初,

;.M是CD中点，

NC=ND,

QZCDF=45°,

ZNCD=ZNDC=45°,

ZCND=90°,

ZCNF=90°,

由（1）可知NAOD=60°,

:.ZACD=-ZAOD=30°,

2

在Rtz\C£）£中，ZE=90°,ZECD=30°,DE=6,

CD=DE=12,

sin30°

在RtzXOVD中，ZCND=90°,ZCDN=45°,CD=12,

CN=CD-sm450=6y/2，

由（1）知/G4D=2N0AD=120。，

ZCFD=180°-ACAD=60°,

在RtZiOVF中，ZCNF=90°,ZCFN=60°,CN=672-

:.FN=CN=2A/6.

tan60°

25.【小问1详解】

解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和〃这两个变量中，d是自变量，力是这个变量的函数;

故答案为：d,h；

【小问2详解】

解：描点，连线，画出图象如图：

解：①观察图象，桥墩露出水面的高度/£为0.88米；

故答案为：0.88；

②设根据图象设二次函数的解析式为公。屋+4+0.88,

2.38=a+b+0.88

把（1，2.38）,（3,2.38）代入得：］,

2.38=9a+3b+0.88

a=—0.5

解得:

b=2

••・二次函数的解析式为%=-0.5理+24+0.88,

令人=2得：-0.5屋+21+0.88=2,

解得公3.3或公0.7,

・••则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米.

26.【小问1详解】

解：：顶点（加,〃）在抛物线y=%2上,

•••n=m2>0，

・•・当〃取最小值时，〃=0,m=0,

••・顶点坐标为（o,o）,

•••6=0,c=0,

将点（1,2）代入y=a/得，〃=2,

故答案为：2；

【小问2详解】

解：•・・抛物线歹=。%2+6%+。的顶点（加,加2）,

二抛物线解析式为y=ax2+bx+c=。(x-m)2+m,

将点（1,2）代入得，2=。（1—加广+加2,

当加=1时，过顶点（1,1）,但此时又过点（1,2）,矛盾，

•••加w1

2—m2

••・”7一不；

【小问3详解】

解：•・•点4（-2,乂）、。（2,8）在抛物线V=Qv2+bx+c=加『+加2上，

-'-y2=Q（加+1）2+加2,必=Q（加+2『+加2,%=4（加一2『+加2,

••.%<必<%，

•••a（掰+1）2+加2<〃（加+2『+加2<Q（加一2）2+m2,

整理得2am+〃<4am+4〃<-4am+4a,

2am+a<4am+4aa（2m+3）>0

整理得♦

4am+4（2<-4am+4aam<0

2

、［/2—m_厂r-.fa（2m+3）>0C2m+3>0々,3

当。=而二子>0时，由［am<0可z得［m<0，解得一］<加<0，此时

-yj2<m<0；

2

当°=而*<0时，叱或心血，且加W1，由｛矶2*%广。可得『*胪，不等式组无

解；

综上所述，—也<m<0'

27.【小问1详解】

解：由旋转可得/BCD=a=30。，CB=CD=CA,

ACAD=ZCDA,ZT4CL>=900+30°=120°,

ZCAD=ZCDA=ZBCD=30°,

DE=EC,AE=2EC,

在RtzXNEC中，AC2+EC2=AE2，

:.62+EC2=（2ECy,

EC=2百，

DE=EC=26

【小问2详解】

解：CG=4iCF+BF；

证明：连接8。，2。与CG交于点。，如图2,

图2

由旋转可得/BCD=a,CB=CD=CA,

ZCBD=ZCDB=90°--a,ZACD=90°+a,

2

•：CF平分NBCD,

:.ZBCF=ZDCF=-a,

2

；NBCF义VDCF(SAS),

BF=DF,

NFDB=NFBD,

•/CGIAD,

ZGOD=ZFOC=90°,ZACG=NDCG=-ZACD=45°+-a,

22

ZOCF=ZDCG-ZFCD=45°+-a--a=45°,

22

ZOCF=NOFC=45°,

△OFC是等腰直角三角形，

•­.OC=OF=—CF，

2

•••ZFDC=ZOFC-ZFCD=45°--a,

2

ZFDB=ZCDB-ZFDC=(90°-1a)-(45°—ga)=45。，

ZFDB=NFBD=45°,

•/ZBGC=45°,ZGOD=90°,ZFDB=45°,

:.G,B、。三点共线，且VOG。是等腰直角三角形,

OG=OD,

CG=OG+OC=OD+OC=OF+FD+OC=—CF+—CF+BF，

22

整理得CG=V2CF+BF；

【小问3详解】

解如图3,过尸作PHJ.ZC交/C于X,交幺。于0,过。作0G,尸H交于G,延长CM交。G

于N,延长CB至E,使CB=BE=8,过A作ZEJ.0G交。G于/，

.••将CP绕点P逆时针旋转90°得到QP,

CP=QP,NC尸0=90。，

•/QH1PH,PHLAC,

ZCPQ=ZPHC=ZPGQ=90°,AHPC=ZPQG=90°-ZGPQ,

VPHC^V0GP（AAS）,

PH=GQ,GP=CH,

设GP=CH=a,

•：ZACB=90°,AC=BC=8,

AH=AC-CH=S-a,ABAC=AAPH=45°,

AH=PH=GQ=8—a,

:.GH=GP+PH=8=BC,

：.四边形5cHG是矩形，

・・•点8在。G上，CBLQG,HC=BG=a,

四边形ZC8尸是正方形，

BF=AF=8,

•:AH=GQ=8—a,ZAHP=ZPGQ=90°,ZGOQ=ZAOH,

..VZHO咨VQGO(AAS),

OG=OH,OA=OQ,

,。为Z。的中点，

为幺。的中点，

:.M与。重合，SVABM=-SVABQ>

:.MG=MH=OG=OH,

V7WG丝VCNH(ASA),

:.CM=MN,NG=CH=a

CN=2CM,NQ=NG+GQ=8-a+a=8=AC,

四边形ZC0N是平行四边形，

CQ=AN,

•:CB=BE=8,CBLQG,

CN=NE,

2CM+CQ=CN+AN=AN+NE>AE,

.,.当A、N、E三点共线时2cM+C0取得最小值，此时V4WV四V£8N,

：.FN=BN=-BF=4=2a,

2

a=2,

GB=〃=2,GQ=8—Q=6,

・•.BQ=G