北京市西城区2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试卷（含答案与解析）

机密★启用前

北京市西城区2024〜2025学年度第一学期期末试卷

他一^缴于

本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答

无效.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知直线/经过两点尸那么直线/的斜率为（）

A—3B.—

,3

C.-D.3

3

22

2.双曲线^--工=1的离心率为（）

169

345,

A.—B.—C.—D.6

434

3.已知椭圆：+。=1的一个焦点与抛物线＞2=2.（2〉0）的焦点重合，则。等于（）

A.2B.3C.4D.6

4.在空间直角坐标系中，已知点幺（2,3,5）,5(1,1,2),C(0,a,Z>),若45,C三点共线，则a+6的值为

()

A.-2B.-1C.0D.1

5.12x—的展开式中

x的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

6.正四棱锥P-的所有棱长均为2,则侧面与底面所成角的余弦值为（）

1V2D.3

A.-

B.y2C.

3~T3

7.从数字1,2,3,4中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数

为（）

A.6B.8C.10D.12

2222

8.已知直线/：歹=左（'—1）,“左二—或左二—一”是“直线/与双曲线上—匕=1有且仅有一个公共

3394

点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.在平面直角坐标系中，已知点4-2,0）,5（—2,2）,若点P为圆=i上的动点，贝I“万+万|

的最大值为（）

A.3B.V13C.5D.272+1

10.在正方体4BCD-451GA中，动点P在面4SCD及其边界上运动，（方五瓦弓=；,则动点尸的轨

迹为（）

A.椭圆的一部分B.线段

C.圆的一部分D.抛物线的一部分

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

II.已知直线ax-y—3=0与2x+y=0垂直，那么。=.

12.已知（3X-I），=的*4+%/+出无？+%尤+，贝!］。0+%+。4=.

13.某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有

缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处A8宽4cm,底部CA宽5cm,AB//CD,底部离最窄处垂直高度为

3cm,斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与45平行，则其长度为cm.

14.已知曲线＞=|xT|与x轴交点为。，与抛物线C：「=4x交于A、8两点，则,

/\ABD的面积为.

15.已知M={(x,y)|了=心-+2x+2,0v/v1,1vxv2}是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图形为

Q,给出下列四个结论：

①(2,10)eM；

②设点NeM,则直线04的斜率的最大值为4；

③V48GM,区丽；

④0的面积小于!.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了5种不同的荤菜和"种不同的素菜.

(1)当"=4时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？

(2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求"的最小值.

17.如图，在直三棱柱幺8。-44cl中，AC=BC=1,幺4=2,AC1BC,。是的中点.

(1)求直线CD与平面所成角的正弦值;

(2)求点C到平面的距离.

18.已知圆C经过点4-2,0),5(0,2),且圆心在直线＞=x上.

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线后+.v-6=0交于两点E,尸,

(i)求6的取值范围;

(ii)若在圆C上存在点。，使四边形尸为平行四边形，其中。为坐标原点，求b的值.

19.已知椭圆C：工+匕=1的左顶点为A,右顶点为3,点产(%,%,)在椭圆C上(与点A、8不重

43

合)，过。(4,0)且与无轴垂直的直线交直线N尸于点G,交直线AP于点

(1)求椭圆C的短轴长和离心率；

(2)若线段GH的中点为。，求点尸坐标.

20.如图，在四棱锥P—48co中，PA1^-\^ABCD,ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD

=2,BC=4,E为P4的中点，尸为尸C中点.

B4----------------------七

(1)求证：PDA.CD.

(2)设平面BE尸与平面P4D的交线为/,

(i)求二面角8-/-/的余弦值；

(ii)求直线/与直线尸C所成角的余弦值.

22

21.已知椭圆£:0+2=1伍〉6〉0)的上顶点为。(0,6),四个顶点组成的四边形面积为72J5.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点(0,2)的直线与椭圆£交于两点48,交X轴于点0,直线。与直线y=/分别交于点

M,N,线段跖V的中点为P.是否存在实数"使得以尸。为直径的圆总与了轴相切？若存在，求出/的

值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知直线/经过两点尸(1'2)，0(4,3),那么直线/的斜率为()

A.-3

C.-D.3

3

【答案】C

【解析】

【分析】根据斜率公式求得直线/的斜率.

3-21

【详解】依题意，直线/的斜率为——=-.

4-13

故选：C

2.双曲线^匕=1的离心率为（）

169

345

A.—B.—C.—D.

434

【答案】C

【解析】

【分析】求出C的值，即可求出该双曲线的离心率的值.

22

【详解】对于双曲线上—2=1,0=4,6=3,则0=必荐不再=5,

169

c5

因此，该双曲线的离心率为e=—=—.

a4

故选：C.

3.已知椭圆工+匕=1的一个焦点与抛物线>2=2px（2〉0）的焦点重合，则）等于（）

62

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】

【分析】由/=2px得出抛物线的焦点在轴的正半轴，从得出抛物线与椭圆的右焦点重合，求出椭圆的右

焦点，即可得出抛物线的焦点，从而得解.

【详解】因为抛物线『=2夕x（p>0）的焦点［go］在x轴的正半轴，

所以抛物线焦点与椭圆的右焦点重合,

又椭圆方程为上+匕=1,所以。2=6力2=2,所以C=J7J=JC=2

62

所以椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线焦点也是这个，

即孑=2,夕=4.

故选：C

4.在空间直角坐标系中，已知点2(2,3,5),8(1,1,2),C(0,a,b),若4瓦。三点共线，则6的值为

()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量共线即可求解.

【详解】由于方=(一1,—2,—3),府=(一1,。一1,6—2),

由于4民C三点共线，所以a—1=-2,6—2=—3,解得a=-1力=一1,

故Q+b=—2,

故选：A

5.(2x—工］的展开式中x的系数为()

A.-80B.-40C.40D.80

【答案】D

【解析】

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.

【详解】对于12%-工］,由二项展开式的通项得刀+1

令5—2厂=1解得r=2,

则所求系数为(-1)2-25-2•C；=80,

故选：D

6.正四棱锥P-483的所有棱长均为2,则侧面与底面所成角的余弦值为（）

A.-B.yC.—D,—

3223

【答案】D

【解析】

【分析】作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，得到/尸£。即为侧面与底面所成角，求出各边

长，得到cos/PEO=^=且.

PE3

【详解】连接相交于点。，取8c的中点E,连接尸£,OE,0P,

则0P，平面ABCD,

因为8Cu平面48CD,所以。尸，3C,

又OE11AB,AB±BC,所以

又OEp[OP=O,OE,OPu平面OPE,

所以平面OPE,

因为EPu平面OPE,所以尸E,

故ZPEO即为侧面与底面所成角,

正四棱锥P-48。的所有棱长均为2,故BE=CE=T,

由勾股定理得PE=y]PB--BE2=V3，

由=

2

故“E°焉弓泻

故选：D

7.从数字1,2,3,4中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数

为（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【解析】

【分析】分别讨论和为6的情况，再结合排列组合概念即可求解；

【详解】三个数字和为6的情况有：222,114,123,

对于3个2的排列只有1个；

对于1,1,4的排列由C；=3个，

对于1,2,3的排列有A；=6个，

所以这样的三位数有10个，

故选：C

2222

8.已知直线/：y=《（x—1）,“左=—或左=——”是“直线/与双曲线土一二=1有且仅有一个公共

3394

点”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】将直线/的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出左的取值，结合充分

条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】联立《­=1可得（9左2—4）》2_18左2》+9（左2+4）=0（*）,

[94

当直线/与双曲线工-匕=1只有一个公共点时:

94

2

若9左2—4=0时，即当左=±§时，方程（*）即为—8x+40=0,解得x=5,合乎题意;

229k2—4w0

若9左2—4wo时，直线/与双曲线——匕=1相切时，则LIo2z4znz2XZ72八，

94A=18k—4(9左—4)(9左+36)=0

解得k=+，

2

22

所以当直线/与双曲线X二-Lv=1有且仅有一个公共点时，k的取值集合为[-y一/2,-彳2,2彳，V一2，

94[2332

2222

因此，“左=—或左=--”是"直线/与双曲线上-匕=1有且仅有一个公共点”的充分不必要条件.

3394

故选：A.

9.在平面直角坐标系中，已知点4-2,0),8(—2,2),若点尸为圆=i上的动点，贝修方+万।

的最大值为()

A.3B.V13C.5D.272+1

【答案】D

【解析】

【分析】设P(x,y)为圆。：/+「=1上任意一点，利用向量的坐标运算得

|28+2P|=J(x+2)2+5+2)2,进而利用J(x+2)2+〈+2)2的几何意义可求得।方+万।的最大值.

【详解】设P(x,y)为圆。：/+『=1上任意一点，

因为4-2,0),3(-2,2),所以43=(0,2),AP=(x+2,y),

所以方+N=(x+2,y+2),所以|赤+/|=J(x+2y+(y+2)2,

J(x+2)2+(y+2)2表示点尸a,j)到点。(-2,-2)的距离，

又C:/+y2=1的圆心。(o,o)到点。(-2,—2)的距离为1=J(O+2)2+(0+2)2=,

又圆=1的半径为升=1,

所以P(x,y)到点2)(-2,-2)的距离的最大值为d+r=2应+1，

所以|方+方]的最大值为2/+1.

故选：D.

10.在正方体4SCO-481GA中，动点尸在面48CD及其边界上运动，（耳7,不）=；,则动点尸的轨

迹为（）

A.椭圆的一部分B.线段

C.圆的一部分D.抛物线的一部分

【答案】D

【解析】

【分析】设正方体48CD—4与G2的棱长为1,以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别

为x、V、z轴建立空间直角坐标系，设点尸（x/,O）（O<x<l,O〈yWl）,由cos4l,不=1结合空

间数量积的坐标运算化简得出点P的轨迹方程，即可得出结论.

【详解】设正方体45CD-的棱长为1,

以点。为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、V、z轴建立空间直角坐标系，

则01(0,0,1)、4(1,0,0),设点尸(x,y,O)(O4x41,0VyVI),

A^=(l,0,-1),印=(x,y,-l),

DiADF+1_V|

cosDxA,D}P=

化简得=2x(0〈x〈l,0〈y〈l),

所以，动点P的轨迹方程为抛物线的一部分.

故选：D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知直线ax-y-3=0与2x+y=0垂直，那么。=.

【答案】|

【解析】

【分析】由斜率乘积为-1,即可求解；

【详解】2尤+尸0的斜率为_2,

因为qx—y—3=0与2x+y=0垂直，

所以ax—>—3=0的斜率为3，

所以a=—,

2

故答案为：y.

12.已知（3x-I）4=%/+%/+%X2++。0,贝九/+。2+。4=.

【答案】136

【解析】

【分析】通过赋值法即可求解；

【详解】令X=l,可得：2,=%+。3+。2+%+。0，

再令X——1,可得：4，=%—+。2—%+“o，

两式相加可得：2（4+电+。4）=272,

所以+。2+。4=136,

故答案为：136

13.某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有

缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处N8宽4cm,底部CO宽5cm,ABIICD,底部离最窄处垂直高度为

3cm,斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与平行，则其长度为cm.

【答案】V97

【解析】

【分析】以4B所在直线为X轴，垂直平分线为V轴建立平面直角坐标系，求得双曲线方程，令y=9,可

求结论.

【详解】以48所在直线为x轴，垂直平分线为V轴建立平面直角坐标系，如图所示：

由题意|4B|=2a=4,Z)(|,-3),所以a=2,

22

因双曲线的焦点在X轴上，所以设双曲线的方程为土-4=1（6〉0）,

4b2

522°

又点。g,—3）在双曲线上—1=1S〉O）上，所以2（—3）2，解得〃=16,

24b=1

4b2

所以双曲线方程为工-E=l,因为斧高12cm,

416

x29297./ay

令y=9,得上—a=1,所以一9=一，解得》=±业，

41642

所以E-平,9，尸］兽，9］，所以忸尸|=历.

故答案为：病.

14.已知曲线y=|xT|与无轴交点为。，与抛物线C:/=4x交于A、8两点，则=

/\ABD的面积为.

一71一

【答案】-②.4

【解析】

【分析】化简曲线—的方程，可得出可得出NZQ8的大小，设点N(X],%)、5(X2,J2),

联立曲线歹=|x-1|与抛物线。的方程，利用韦达定理、抛物线的焦半径公式结合三角形的面积公式可求得

/\ABD的面积.

【详解】在曲线>=|x—"的方程中，令歹=|x—1|=0,解得x=l,即点£)(1,0),如下图所示:

易知抛物线C的焦点为。(1,0),

曲线>=|x—l|的方程可化为y=,一1|=(,

7T

则幻0=-1，kB£>=1，所以，左"/应)=-1，则/405=耳，

设点N(X],yJ、8(乙,%)，联立"可得必―6x+l=0，A=(-6)2-4>0,

y=4x

由韦达定理可得%+々=6,玉、2=1，

%皿=fz外忸4=+1)(々+1)="/+y/+1=1±|±1=4,

兀

故答案为：—；4.

2

15.已知M={(x/)|y=f(x-以+2x+2,0Mfm1,"xv2}是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图形为

Q,给出下列四个结论：

①(2,10)eM；

②设点NeM,则直线ON的斜率的最大值为4；

③区丽；

④。的面积小于：.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【解析】

【分析】由题意可得M={(x/)|2x+2VyVx2+3,ivxV2},作出点集组成的图形0,再结合图象分析

各个选项即可.

［详解］M={(x,j)|j；=r(x-l)2+2x+2,0<r<l,l<x<2}

=^(x,j)|2x+2<j<x2+3,1<x<2j-,

对于①，因为10>22+3=7,所以(2,10)任/,故①错误；

7

对于②，因为左OQ=4,*=2，

由图知，当点A位于点。处时，直线04的斜率最大，最大值为4,故②正确；

对于③，由图可知归|。闵=&7?=而，故③正确；

对于④，由图知，。的面积S<S“DEF=%,故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】关键点点睛：化简M={(x/)|2x+2〈yWx2+3,i〈xW2},作出点集组成的图形。，是解决

本题的关键.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.某餐饮公司给学校学生配餐，现准备了5种不同的荤菜和〃种不同的素菜.

(1)当"=4时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？

(2)若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有200种以上的不同选择，求〃的最小值.

【答案】(1)20

(2)7

【解析】

【分析】（1）利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可求出不同的选择方法种数；

（2）利用组合计数原理可得出每位学生的不同选择方法种数，结合题意可得出关于〃的不等式，由此可

求得正整数”的最小值.

【小问1详解】

当“=4时，学校共有5种不同的荤菜和4种不同的素菜，

若每份学生餐有1荤3素，由分步乘法计数原理可知，

不同的选择方法为C；C：=5x4=20（种）.

【小问2详解】

从5种不同的荤菜和〃种不同的素菜中，任取2荤2素，不同的选择方法为C；C：（种）.

由题意，得C；C；2200,整理可得〃（〃-1）240,

因为〃eN*，所以”27,所以"的最小值为7.

17.如图，在直三棱柱幺中，AC=BC=1,44]=2,AC±BC,。是幺4的中点.

（1）求直线CD与平面所成角的正弦值；

（2）求点C到平面的距离.

【答案】（1）必

3

⑵旦

3

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，再求平面3G。的法向量结合公式求解线面角正弦即可;

（2）应用点到平面距离公式计算即可.

【小问1详解】

由CG，平面4BC,ACLCB,可得C4C8,CG两两垂直,

所以以。为原点，C4C8,CG所在直线分别为x轴，》轴，z轴,

如图建立空间直角坐标系，

则。(0,0,0),£>(1,0,1),8(0,1,0),G(0,0,2),

所以函=(1,0,1),平=(1,0,—1),率=(0,1,-2).

设平面BC\D的法向量为机=(x,y,z),

令x=l,则>=2,2=1,于是加=(1,2,1),

设直线CD与平面BCAD所成角为3,

—*—•ICD,wI\[3

则sin©=|cos<CD,根>|='―,

\CD\-\m\3

所以直线CD与平面BCQ所成角的正弦值为巨.

3

【小问2详解】

因为兀=(0,0,2),

所以点C到平面BCXD的距离为回曰=£.

18.已知圆C经过点4-2,0),8(0,2),且圆心在直线>=x上.

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C与直线后+y-6=0交于两点E,尸，

(i)求b的取值范围；

(ii)若在圆C上存在点。，使四边形。£。尸为平行四边形，其中。为坐标原点，求b的值.

【答案】(1)x2+y2=4

(2)(i)(-4,4)；(ii)b=±2

【解析】

【分析】(1)先设圆心坐标，再根据两点间距离计算求参，即可得出圆的方程；

(2)(i)根据圆心到直线的距离小于半径得出范围；(ii)根据平行四边形结合已知得出菱形，再应用点到

直线距离为1得出参数.

【小问1详解】

根据圆心C在直线>=x上，设圆心C(a,a).

因为圆C经过/(—2,0),5(0,2),所以|C4|=|CB|,

所以“a+2)2+a?=J.?+(a-2>,解得a=0.

所以圆心C(0,0),所以圆C的方程为《+/=4.

【小问2详解】

\-bI

(i)由题意，——j-<2,所以|6|<4,

即—4<6<4,所以b的取值范围是(—4,4).

(ii)因为四边形0££中为平行四边形，又因为|。£|=|。尸1，所以OEDF为菱形.

\-b\

因为|OD|=2,所以点。到直线斯的距离为j=1,

所以6=±2,符合题意.

19.已知椭圆C：工+或=1的左顶点为A,右顶点为B,点尸(须),九)在椭圆C上(与点A、3不重

43

合)，过。(4,0)且与x轴垂直的直线交直线NP于点G,交直线AP于点

(1)求椭圆C的短轴长和离心率；

(2)若线段G//的中点为。，求点P坐标.

【答案】(1)2百，1

⑵网或(>|)

【解析】

【分析】(1)根据方程可得进而可得椭圆C的短轴长和离心率；

(2)求直线/P、AP的方程，进而可得点G、〃的坐标，再根据中点坐标公式运算求解.

【小问1详解】

设椭圆的半焦距为J

0=2

22

由椭圆方程上+2=1可得｛6=相，

43,---------

C=J/=1

C1

所以椭圆的短轴长26=26，离心率e=—=二.

a2

【小问2详解】

由题意可知：直线/尸的方程为y=$7(x+2)，

x0+2

令x=4,得了=-^,即G(4,-^).

x0+2x0+2

直线BP的方程为J(x-2),

x0-2

令x=4,得了=即8(4,^^),

%-2x0-2

因为G8的中点为。(4,0),则&、=-二

若为=0,则尸(±2,0),与48重合，舍去；

若为w0，贝13(x0—2)=—(x0+2),解得x0=1,

将飞=1代入5+。=1,得％,=±3,即尸11，3或尸1，V

或遥

综上所述：点P坐标为

20.如图，在四棱锥P—48co中，尸幺，平面48CD,ADLCD,AD//BC,PA=AD=CD

=2,5c=4,E为P4的中点，尸为尸C中点.

(1)求证：PDLCD；

(2)设平面BE尸与平面尸4D的交线为/,

(i)求二面角8-7-/的余弦值；

(ii)求直线/与直线尸C所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)(i)也；(ii)叵

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【解析】

【分析】(1)由已知可得「幺LCD,又ADLCD,进而可得平面尸Z。，可证结论；

(2)(i)取8C的中点连接4W,可证4W;4D,4P两两垂直，以A为原点，所在

直线分别为x轴，7轴，z轴，立空间直角坐标系，求得平面尸4D和5所的一个法向量，利用向量法可

求二面角2-/-/的余弦值；(ii)设平面PD=G,平面3£口口尸/=石，交线/即为直线EG,

设G(0,i")/w0,利用向量法可求得G的坐标，进而利用向量的夹角公式可求得直线/与直线尸C所成角

的余弦值.

【小问1详解】

因为尸平面Z5CD,因为CDu平面幺5c3,所以尸2LCD,

又因为40LCD,ADcPA=4,40,尸2<=平面尸/。，

所以平面尸40,又PQu平面040,所以CDLPD.

【小问2详解】

(i)取8c的中点M,连接

因为5c=4,AD=2,AD//BC,ADLCD,

所以四边形ZDCM为矩形，

所以/40.

又因为/尸上平面Z5C。，

可得ZW,40,AP两两垂直，

所以以A为原点，所在直线分别为x轴，》轴，z轴，如图建立空间直角坐标系.

则40,0,0),5(2-2,0),C(2,2,0),Z>(0,2,0),P(0,0,2).

因为£,尸分别为尸4PC中点,

所以£(0,0,1),尸(1,1,1),

所以丽=(2,-2,-1),而=(1/,0),Z)C=(2,0,0),

DC=(2,0,0)是平面PAD的一个法向量.

设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),

EB-n=0[2x-2y-z=0

〈一,即〈"c，

EF-n=01x+V=0

令x=l,贝=z=4,于是〃=(1,一1,4),

n-DC_V2

所以瓦。。=

cos可词：'

因为二面角B-1-A为锐二面角，

所以二面角8-/-/的余弦值为注.

6

(ii)设平面PD=G,

因为平面跳尸与平面尸40的交线为/,平面3虾口尸/=石，

所以交线/即为直线EG.

设G(0,i,j)/=0,则的=(0,—1).

因为后不，几

所以西寄=-i+4(/-l)=0,

所以i=4C/-l)/#0,_/#ie

因为G在直线PQ上，

所以『+/=2.②

由①②解得，=《4,，=■6!，

46

所以G(0,—,y),

----41

所以EG=(O，M，R.

因为斤=(2,2,-2)，

设直线I与直线PC所成角为a,

,一一1\EG-PC

F)\以COb(JC—COSLU,15—।------k------._',•

11\EG\\PC17

所以直线/与直线尸C所成角的余弦值为叵.