广东省珠海市凤凰中学教育集团 2024-2025 学年下学期九年级学生学业质量模拟监测(数学) （解析版）

珠海市凤凰中学教育集团2024～2025学年度第二学期初三年级学生学业质量模拟监测（数学）说明：1．全卷共6页，考试时间为120分钟，满分120分．2．答题卡必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡上交，试卷自己妥善保存．一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.数学家刘徽在《九章算术》中第一次给出了正负数的概念：“正算赤，负算黑”，即用红色木棍表示正数，用黑色木棍表示负数．若4根红色木根表示，则3根黑色木根表示（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查用正负数来表示实际问题中具有相反意义的量，熟练掌握用正负数表示具有相反意义的量是解题的关键．根据正负数的表示方法解答即可．详解】解：4根红色木根表示，3根黑色木根表示，故选：．2.下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，故选：A．3.请阅读一小段约翰斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】本题是有理数运算的实际应用，就是已知两个数的和及其中一个加数，求另外一个加数，作减法列出正确的算式依题意得：故选C．4.已知，如图，∠A＝70°，∠B＝40°，CD平分∠ACE，则∠ACD＝（）A.55° B.70° C.40° D.110°【答案】A【解析】【分析】由三角形外角的性质求解∠ACE的度数，再利用角平分线的定义可求解∠ACD的度数．【详解】解：∵∠ACE是△ABC的外角，∠A＝70°，∠B＝40°，∴∠ACE＝∠A+∠B＝110°，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠ACE＝55°．故选：A．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠ACE的度数是解题的关键．5.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查整式的加减及乘除运算，根据整式的加减及乘除运算法则逐项判断即可．【详解】A、，运算错误，该选项不符合题意；B、运算正确，该选项符合题意；C、，运算错误，该选项不符合题意；D、，运算错误，该选项不符合题意．故选：B6.现有一批瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是，这批饮料中没有过期的有（）瓶．A.96 B.48 C.50 D.100【答案】B【解析】【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．直接利用概率公式求解．【详解】解：设这批饮料中没有过期的有x瓶,则，解得：，经检验，是原方程的解，故选B．7.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可．【详解】∵在中，为直径，∴，∵，∴，故选D．8.如图，已知一坡面的坡度，则坡角的度数为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查坡度坡角，根据坡度即为坡角的正切值求解即可．【详解】解：∵，∴坡角．故选：C．9.座钟的摆针摆动一个来回所需的时间T（单位：s）称为一个周期，其计算公式为，l表示摆长（单位：m）．若一台座钟的摆长为，当取3时，该摆针摆动的周期为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了求代数式的值，正确计算是解题的关键．把代入中即可求解【详解】解：把代入，得，故选：D．10.如图，已知的顶点在反比例函数的图象上，边在轴上，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了反比例函数的综合题．要求反比例函数中的值，需要先求出点的坐标，过点作轴于点，在中，利用已知的边的长度和角度信息，求出点的横、纵坐标，再代入反比例函数表达式求出．【详解】解：过点作轴于点，如图所示，，在中，，，，，，，在中，，，，，点在第二象限，点的坐标为，顶点在反比例函数的图象上，将点的坐标代入函数表达式中，可得，；故选：B．二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11.某品牌专卖店月份销售了双运动鞋，其尺码和数量统计如下表：尺码3839404142数量24563这双运动鞋尺码的众数是______．【答案】【解析】【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，故数量最多的尺码即是答案．【详解】∵尺码，数量；尺码，数量；尺码，数量；尺码，数量；尺码，数量∴∴尺码是这双运动鞋尺码的众数故答案为：．【点睛】本题考查众数的定义，数量掌握众数的定义是解题的关键．12.计算：__________．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查同分母分式加减法，原式通分后再化简即可得到答案．【详解】解：，故答案为：1．13.如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有__________个白色圆片（用含n的代数式表示）【答案】【解析】【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，∴第个图案中有个白色圆片．故答案为：．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．14.若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______．【答案】##【解析】【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由方程有两个不等的实数根结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，．故答案为：．15.如图，在菱形中，的长为4，点E，F分别是，的中点，连接，．若，则的长为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形，勾股定理等．延长，交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明，，过F点作于N点，根据三角函数的定义结合勾股定理列式计算即可得出答案．【详解】解：延长，交于点M，在菱形中，点E，F分别是，的中点，，，，，，在和中，，，和中，，，，过F点作于N点，，∴设，则，∴，，，，在中，由勾股定理得，即，解得，，故答案为：．三、解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）16.计算：【答案】【解析】【分析】本题考查了立方根、算术平方根、绝对值、乘方，先化简绝对值和运算立方根、算术平方根、乘方，再运用加减，即可作答．详解】解：．17.某商场以1200元购进一批商品，很快销售完了，由于商品畅销，商场又用1200元购进第二批这种商品，但第二批商品单价比第一批商品的单价上涨了20%，结果比第一批少购进5件这种商品，求第一批和第二批商品的购进单价分别是多少元？【答案】第一批商品的单价为40元，第二批商品的单价为48元．【解析】【分析】本题考查分式方程的应用．设第一批商品的单价为元，根据结果比第一批少购进5件这种商品列出分式方程得，解方程并检验可得答案．【详解】解：设第一批商品的单价为元，则第二批商品的单价为元；根据题意得：，解得，经检验，是原方程的解，也符合题意，，第一批商品的单价为40元，第二批商品的单价为48元．18.某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在C处立一根标杆，标杆的影子为，，．请你从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆的高度．条件①：；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，．【答案】旗杆的高度约为．【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，投影的性质，掌握投影的性质及解直角三角形的应用是解题的关键．先求得的长为．若选择条件①：根据同一时刻物高与影长成正比进行计算即可求解；若选择条件②：过点作，垂足为，则，，解可得，再根据线段的和差关系即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴的长为．若选择条件①：由题意得：，∴，∴，∴旗杆的高度为；若选择条件②：过点D作，垂足为F，则，，在中，，∴，∴，∴旗杆的高度约为．四、解答题（共3小题，满分27分）19.如图，在中，．（1）用无刻度直尺和圆规在上求作点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）．【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，交于点D，点D即为所作；（2）作，，垂足分别为和，先求得，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得，利用等积法求得，据此计算即可求解．【小问1详解】解：如图，点D即为所作；【小问2详解】解：作，，垂足分别为和，如图，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，即，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外角性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．20.某校举办中华传统文化知识大赛，该校七年级共240名学生和八年级共260名学生都参加了比赛．为了解答题情况，进行了抽样调查，从这两个年级各随机抽取20名学生，获取了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八两个年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：，，，）：b．七年级学生的成绩在这一组的是：8082848586878787878789c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数中位数众数七年级84.2mn八年级84.687.588根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m，n的值；（2）估计七、八两个年级成绩在的人数一共为______；（3）把七年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，把八年级抽取的20名学生的成绩由高到低排列，记排名第5的学生的成绩为，比较，的大小，并说明理由．【答案】（1）86.5，87；（2）126；（3），理由见解析．【解析】【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键．（1）根据中位数和众数的概念求解即可；（2）根据样本估计总体的方法求解即可；（3）根据两个年级抽取的20名学生的成绩在的人数判断出，的大小，进而比较即可．【小问1详解】∵一共抽取20名学生∴中位数为第10名学生和第11名学生成绩的平均数∴第10名学生和第11名学生成绩分别86，87∴；抽取的20名七年级学生的成绩中87出现的次数最多∴众数；【小问2详解】（人）∴估计七、八两个年级成绩在的人数一共为126人；【小问3详解】∵七年级抽取的20名学生的成绩在的有4人∴排名第5的学生的成绩中最高成绩，∴∵八年级抽取的20名学生的成绩在的有6人∴排名第5的学生的成绩∴．21.小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘得更高！”（1）请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点O与地面的距离的长度；（2）你认为小李的话对吗？请你作图分析，说明理由．（3）如果小李想把小王翘高到1米25，试说明你的方法．【答案】（1）米；（2）小李的话不对，见解析（3）见解析【解析】【分析】本题考查了相似三角形性质的应用；（1）小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1米高”，可知B在地面上时，A距离地面1米，利用是三角形的中位线可知米；（2）若将两端同时都再伸长相同的长度，依然是三角形的中位线，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍即为1米，所以不可能翘得更高；（3）①方案一：保持长度不变．将延长一半至E，即只将小王一边伸长一半．利用相似三角形的性质求解即可；②方案二：只将支架升高0.125米．同样利用相似三角形的性质求解即可．【小问1详解】解：小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示，是标准跷跷板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，是地面．，，，又此跷跷板是标准跷跷板，，，而米，得米；【小问2详解】解：小李的话不对．若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米．如图2所示，米，米∵，∴，即．∴，同理可得∽，∴，由米，得米．综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高；【小问3详解】解：①方案一：如图3所示，保持长度不变．将延长一半至E，即只将小王一边伸长一半．使，则，由∽，得，∴米．②方案二：如图4所示，只将支架升高0.125米．∵，，又米，∴，∴米．五、解答题（共2小题，满分27分）22.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在轴上，且dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为轴，高度dm．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为dm的圆，请说明理由．【答案】（1）；（2）20dm；（3）能切得半径为3dm的圆．【解析】【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m的方程进行求解；（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线小脚，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是与抛物线在y轴右侧的切点即可．【小问1详解】由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，∵对称轴为y轴，∴b=0，将A、C代入得，a=，c=8则二次函数解析式为，如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，则P点坐标可以表示为（m，2m）代入二次函数解析式得，，解得（舍去），∴2m=，则正方形的面积为；【小问2详解】如下图所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）将x=n代入二次函数解析式，得，则EF=，矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+）=，当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；【小问3详解】若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图，N为上一点，也是抛物线上一点，过点N作的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，设，由勾股定理得：，∴解得：，（舍去），∴，∴∵∴∴设QN的解析式为：∴∴∴QN的解析式为：与抛物线联立为：所以此时N为与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆．【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．23.如图，在中，，