中考必考二次函数动点问题出题方向和结题思路

中考二次函数压轴题解题通法探讨

几个自定义概念：

①三角形基本模型：有一边在X轴或Y上，或有一边平行于X轴或Y

轴的三角形称为三角形基本模型。

②动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在

函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵工

如：动点P在y=2x+l上，就可设P（t,2t+l）.若动点P在y=

3X2-2X+1,则可设为P（t,3r-2r+l）当然若动点M在X轴上，则设

为（t,0）.若动点M在Y轴上，设为（0,t）.

③动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动改变的。或至

少有一个顶点是运动，改变的三角形称为动三角形。

④动线段：其长度是运动，改变，不确定的线段称为动线段。

⑤定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三

角形。

⑥定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。

如：y=3x—6o

⑦X标，Y标：为了记忆和阐述某些问题的便利，我们把横坐标称为

x标，纵坐标称为y标。

⑧干脆动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动

点称为干脆动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“一母示”

是针对干脆动点坐标而言的。

1.求证“两线段相等”的问题：

借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来；

然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距

离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到X轴（y地）

的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分

别把它们进行化简，即可证得两线段相等。

2、“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：

由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t）,借助于两

个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的

代数式表示出来，再由两个端点的凹凸状况，运用平行于y轴的线段长度

计算公式》上-y下，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口

向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最

大值与端点坐标。

3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

先用点斜式（或称K点法）求出过已知点，且与已知直线垂直的直

线解析式，再求出两直线的交点坐标，最终用中点坐标公式即可。

4、“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题：

（方法1）先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛

物线相切的直线的解析式（留意该直线与定直线的斜率相等，因为平

行直线斜率（k）相等），再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，

用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有

△二从一4ac=0（因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以

/-4ac=0）从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物

线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用

点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。

（方法2）该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求

出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求

出其最大距离。

（方法3）先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，

当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最

大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。

5.常数问题：

（1）点到直线的距离中的常数问题：

“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”

的问题：

先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用

点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，

进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就

求出来了。

（2）三角形面积中的常数问题:

“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积

等于一个定常数”的问题：

先求出定线段的长度，再表示出动点（其坐标需用一个字母表示）到

定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出

动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线

上的动点坐标就求出来了。

（3）几条线段的齐次塞的商为常数的问题：

用K点法设出直线方程，求出与抛物线1或其它直线）的交点坐标，

再运用两点间的距离公式和根与系数的关系，把问题中的全部线段表示出

来，并化解即可。

6.“在定直线（常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线）

上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：

先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该

对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距

离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就

是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出〔利用求交点坐标的方法）。

7.三角形周长的“最值（最大值或最小值）”问题：

①“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长

最小”的问题（简称“一边固定两边动的问题）：

由于有两个定点，所以该三角形有肯定边（其长度可利用两点间

距离公式计算），只需另两边的和最小即可。

②“在抛物线上是否存在一点，使之到定直线的垂线，与y轴的平

行线和定直线，这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题（简称“三

边均动的问题）：

在图中找寻一个和动直角三角形相像的定直角三角形，在动点坐标

一母示后，运用丸=坐"，把动三角形的周长转化为一个开口向下的

C定.斜边定.

抛物线来破解。

8.三角形面积的最大值问题：

①“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积

最大”的问题（简称“一边固定两边动的问题”）：

（方法1）先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用

上面3的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最终利

用三角形的面积公式工底.高。即可求出该三角形面积的最大值，

2

同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。

（方法2）过动点向y轴作平行线找到与定线段（或所在直线）的

交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母

示后，进一步可得到s动三角形二；（y上（动）*：动右（定）-x左（定J

,转化为

一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。

②“三边均动的动三角形面积最大”的问题（简称“三边均动”的

问题）：

先把动三角形分割成两个基本模型的三角形（有一边在X轴或y轴上

的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角

形）面积之差，设出动点在X轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中

肯定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三

角形相像（常为图中最大的那一个三角形）。利用相像三角形的性质（对

应边的比等于对应高的比）可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以

表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就

轻松解决了。

9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面

积最大的问题”：

由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与

一个定三角形（连结两个定点，即可得到一个定三角形）的面积之和，所

以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面

积最大值的求法与抛物线上动点坐标求法与7相同。

10、“定四边形面积的求解”问题：

有两种常见解决的方案：

方案（一）：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；

方案（二）：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴（或y

轴）作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形（常为直角梯

形）和一些三角形的面积之和（或差），或几个基本模型的三角形面积的

和（差）

11.“两个三角形相像”的问题：

两个定三角形是否相像：

（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的

两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相像;否则不相像。

（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两

个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相像;否则不相像。

一个定三角形和动三角形相像：

（1）已知有一个角相等的情形：

先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（一母示），然后

把两个目标三角形（题中要相像的那两个三角形）中相等的那个已知角作

为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应

成比例（要留意是否有两种状况），列出方程，解此方程即可求出动点的

横坐标，进而求出纵坐标，留意去掉不合题意的点。

（2）不知道是否有一个角相等的情形：

这种情形在相像性中属于高端问题，破解方法是，在定三角形中，由

各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用视察法得出某一个角可能是特

别角，再为该角找寻一个直角三角形，用三角函数的方法得出特别角的度

数，在动点坐标“一母示”后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形

中的那个特别角相等，借助于特别角，为动点找寻一个直角三角形，求出

动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相像的问题

了，只需再验证已知角的两边是否成比例？若成比例，则所求动点坐标符

合题意，否则这样的点不存在。简称“找特角，求（动）点标，再验证”。

或称为“一找角，二求标，三验证”。

12.、“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三

角形”的问题;

首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。（若某边底，

则只有一种状况；若某边为腰，有两种状况；若只说该三点构成等腰三角

形，则有三种状况）。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐

标（一母示），按分类的状况，分别利用相应类别下两腰相等，运用两点

间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助

动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，留意去掉不合题意的点

（就是不能构成三角形这个题意）。

13、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”

问题：

这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母

示”分别设出余下全部动点的坐标（若有两个动点，明显每个动点应各选

用一个参数字母来“一母示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线

的起点，列出全部可能的对角线（明显最多有3条），此时与之对应的另

一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种状况两条对

角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对

应相等，列出两个方程，求解即可。

进一步有：

①若是否存在这样的动点构成矩形呢？先让动点构成平行四边形，

再验证两条对角线相等否？若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的

动点不存在。

②若是否存在这样的动点构成棱形呢？先让动点构成平行四边形，

再验证随意一组邻边相等否？若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样

的动点不存在。

③若是否存在这样的动点构成正方形呢？先让动点构成平行四边

形，再验证随意一组邻边是否相等？和两条对角线是否相等？若都相等，

则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。

14、”抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分

关系”的问题：（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，

后面的19实为本类型的特别情形。）

先用动点坐标“一母示”的方法设出干脆动点坐标，分别表示

（假如图形是动图形就只能表示出其面积）或计算（假如图形是定图形就

计算出它的具风光积），然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，

解之即可。（留意去掉不合题意的点），假如问题中求的是间接动点坐标，

则在求出干脆动点坐标后，再往下接着求解艮］可。

15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构

成直角三角形”的问题：

若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标（一母示），视题

目分类的状况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线

（没有与y轴平行的直线）垂直的斜率结论（两直线的斜率相乘等于-1）,

得到一个方程，解之即可。

若夹直角的两边中有一边与y轴平行，此时不能运用斜率公式。补救

措施是：过余下的那一个点（没在平行于y轴的那条直线上的点）干脆向

平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关

图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。

16、“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”

的问题。

①若定点为直角顶点，先用k点法求出另始终角边所在直线的解析

式（如斜率不存在，依据定直角点，可以干脆写出另始终角边所在直线的

方程），利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交

点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否？若等，该交点合

题，反之不合题，舍去。

②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，

再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再

分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看

其结果是否为-1?若为-1,则就说明所求交点合题；反之，舍去。

17、“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：

题中含有两角相等，则意味着应当运用三角形相像来解决，此时找寻

三角形相像中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。

18.“在相关函数的解析式已知或易求出的状况下，题中又含有某动

图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数，求相关点的坐标或线

段长”的问题：

（此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，本类型事

实上是前面14的特别情形。）

先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形（有一边在x轴或

y轴上，或者有一边平行于x轴或y轴）面积的和或差，设出相关点的坐

标（一母示），按化分后的图形建立一个面积关系的方程，解之即可C

句话，该问题简称“单动问题”，解题方法是“设点（动点）标，图形转

化（分割）,列出面积方程”。

19.“在相关函数解析式不确定（系数中还含有某一个参数字母）的

状况下，题中又含有动图形（常为动三角形或动四边形）的面积为定常数,

求相关点的坐标或参数的值”的问题：

此为“双动问题”（即动解析式和动图形相结合的问题）。

假如动图形不是基本模型，就先把动图形的面积进行转化或分割（转

化或分割后的图形须为基本模型），设出动点坐标（一母示），利用转化或

分割后的图形建立面积关系的方程（或方程组）。解此方程，求出相应点

的横坐标，再利用该点所在函数图象的解析式，表示出该点的纵坐标（留

意，此时，肯定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式，这样会把

全部字母消掉）。再留意图中另一个点与该点的位置关系（或其它关系，

方法是常由已知或利用（2）问的结论，从几何学问的角度进行推断，表

示出另一个点的坐标，最终把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析

式，得到仅含一个字母的方程，解之即可。假如动图形是基本模型，就无

须分割（或转化）了，干脆先设出动点坐标（一母式），然后列出面积方

程，往下操作方式就与不是基本模型的状况完全相同。一句话，该问题简

称“双动问题”，解题方法是“转化（分割），设点标，建方程，再代入，

得结论”。

常用公式或结论：

（1）横线段的长=横标之差的肯定值=X大4小=七左

纵线段的长二纵标之差的肯定值二y大-y小二九・，'下

（2）点轴距离：

点PJ,.）到X轴的距离为尻到Y轴的距离为同。

（3）两点间的距离公式：

若A（N，y）,B42,2），贝1J

AB二-%2）2+（y-%/

（4）点到直线的距离：

点P（不，为）到直线Ax+By+C=O（其中常数A,B,C最好化为整系数,

也便利计算）的距离为：

d_+8yo十。

VA2+B2

\kxQ-y0+b\

或一—+户

（5）中点坐标公式：

若A（%y）,B（J必），则线段AB的中点坐标为（土产，七匹）

（6）直线的斜电公式：

若A（&y）,B（生必）"工石），则直线AB的斜率为：

。金占一出,@工匕〉,（注：时，直线AB与y轴平行，斜率不存在）

王一人2

（7）两直线平行的结论:

已知直线4：y=^x+/?],/2:y=k2x+h2;

①若41%=>{=&；

②若勺二&且6产"n4II4

(8)两直线垂直的结论：

已知直线4：>=4工+伪，/2：丁二左21+2；

①若/1U=人42=-1；

②若&&=-1=>41Z2.

(9)由特别数据得到或猜想的结论：

①已知点的坐标或线段的长度中若含有血、G等敏感数字信息，

那很可能有特别角出现。

②在抛物线的解析式求出后，要高度关注交点三角形和顶点三角

形的形态，若有特别角出现，那许多问题就好解决。

③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率K的值，若

K=±y,则直线与X轴的夹角为30。；若K=±1；则直线与X轴的夹角为45。；

若K=±6，则直线与X轴的夹角为60。。这对计算线段长度或或点的坐标

或三角形相像等问题创建条件。

二次函数基本公式训练：

破解函数难题的基石

⑴横线段的长度计算:【特点：两端点的y标相等，长度

①若A(2,0),B(10,0),则AB二-------o

②若A(-2,0),B(-4,0),则AB=

③若M(-3,0),N(10,0),则MN二

④若0(0,0),A(6,0),则0A二

⑤若0(0,0),A(-4,0),则0A=-----------o

©若0(0,0),A(t,O),且A在0的右端，则0A二

⑦若0(0,0。A(t,O),且A在0的右端，则0A二

⑧若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，则AB二

⑨若A(4t,m)且B在A的左端,则AB=------------0

⑩若P(2m+3,a),M(l-m,a),且P在B的右端,则PM二------------。

留意：横线段上随意两点的y标是相等的，反之y标相等的随意两个

点都在横线段上。

(2)纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度二y大-丁小】。

©(若A(0,5),B(0,7),则AB二

②若A(0,-4),B(0,一8),,贝ijAB二

③若A(0,2),B(0,-6),则AB二一

④若A(0,0),B(0,-9),则AB二

⑤若A(0,0),B(0,-6),则AB二

⑥若0(0,0),A(0,t),且A在。的上端，则0A二

⑦若0(0,0),A(0,t),且A在0的下端，则0A二——o

⑧若A(6,-4t),B(6,3t),且A在B的上端，则AB二------------。

⑨若M(叫1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端，则MN=——。

⑩若P(t,3n+2),M(t,l-2n),且P在M的上端,则PM=——。

留意：纵线段上随意两点的x标是相等的，反之x标相等的随意两个

点都在纵线段上。

(3)点轴距离：

一个点G标，了标)到x轴的的距离等于该点的y标的肯定值(即

V标|)，到y轴的距离等于该点的x标的肯定值(即上标|)。

①点(-4,-3)到x轴的距离为--------，到y轴的距离为--------o

②若点A(1-2吐r+2.3)在第一象限，则点A到x轴的距离为一一

一一，至Uy轴的距离为o

③若点M(t,/+4/+3)在其次象限，则点M到x轴的距离为------

------,到y轴的距离为------------。

④若点A(-t,2t-1)在第三象限，则点A到x轴的距离为----------

—,到y轴的距离为------------。

⑤若点N(t,-产+2/-3)点在第四象限，则点N到x轴的距离为一

,到y轴的距离为--------。

⑥若点P(t,『+2-3)在x轴上方，则点P到x轴的距离为

⑦若点Q(t,〃一2一6)在x轴下方，则点Q到x轴的距离为

⑧若点D(t,/2+4/-5)在y轴左侧，则点Q到y轴的距离为

⑨若点E(n,2n+6)在y釉的右侧，则点E到y轴的距离为

⑩若动点P(t,r一2f+3)在x轴上方，且在y轴的左侧，则点P

到x轴的距离为--------------,到y轴的距离为----------------。

11若动点P(t,『-2/+3)在x轴上方，且在y轴的右侧，则点P

到x轴的距离为----------------,到y轴的距离为------------。

12若动点P(t,尸-2/+3)在x轴下方，且在y轴的左侧，则点P

到x轴的距离为----------------,到y轴的距离为----------------。

13若动点P(t,r-2f+3)在x轴下方，且在y轴的右侧，则点P

到x轴的距离为----------------,到y轴的距离为----------------。

留意：在涉与抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标

“一母示”后，还要高度关注动点运动改变的区域(例如：动点P在抛物

线y=d一2]一3上位于x轴下方,y轴右侧的图象上运动),以便精确写

出动点坐标中参数字母的取值范围，以与点轴距离是等于相应工标(或y标)

的相反数，还是其本身。

(4)中点坐标的计算：

若【A(不,)，B(占小),则线段AB的中点坐标为("旦,)]

①若A(-4,3),B(6,7),则AB中点为

若M(0,-6),N(6,-4),则MN的中点坐标为

③若P(L-3),Q(-J),则PQ的中点坐标为

232

-O

④若A(l,2),B(-3,4),且B为AM的中点,则M点的坐标为

O

⑤若A(-l,3),B(0,2),且A为BP中点，则P点坐标为

O

⑥点P(—5,0)关于直线x=2的对称点的坐标为

o

⑦点P(6,0)关于直线x=1的对称点的坐标为

⑧点P(6,2)关于直线x=3的对称点的坐标为

_____________________________O

⑨点Q(—4,3)关于直线x=-3的对称点的坐标为一

⑩点M(—4,—2)关于直线x=2的对称点的坐标为

O

11点P(4,—3)关于直线x=-l的对称点的坐标为

12点M(—4,2)关于直线y=-1的对称点的坐标为

13点T(4,—3)关于直线y=l的对称点的坐标为

14点Q(0,—3)关于x轴的对称点的坐标为

15点N(4,0)关于y轴的对称点的圣标为-------。

⑸由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个k

值相等；两直线垂直，则两个k值之积为T.】

①某直线与直线y=2x+3平行，且过点(1,-1),求此直线的解析式。

②某直线与直线y=--x+l平行，且过点(2,3),求此直线的解析

2

式。

③某直线与直线y二-5平行，且过点(-3,0),求此直线的解析

3

式。

某直线与y地交于点P(0,3),且与直线y=-x-］平行,求此直线

④2

的解析式。

⑤某直线与x轴交于点P(-2,0),且与直线y二-，x+4平行，求此

2

直线的解析式。

⑥某直线与直线尸2x7垂直，且过点(2,1),求此直线的解析式。

⑦某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点(3,2),求此直线的解析式。

⑧某直线与直线垂直，且过点(2,-1),求此直线的解析

3

式。

⑨某直线与直线y二-』x-4垂直，且过点(1,-2),求此直线的解析

2

式。

⑩某直线与X轴交于点P（-4,0）,且与直线尸-21+5垂直，求此

3

直线的解析式。

两点间的距离公式：

（6）___________________

若A（x,y）,B（々，%），则AB=J（Xrf+Gr%）?

①若A(-2,0),B(0,3),则AB二

②若P(-2,3),Q(1,-1),则PQ二

③若M(0,2),N(-2,5),则MN=

④若P(展°),Q则PQ二-----------------

⑤若A(，L3),B(-则AB二---------------------

⑥若P(15),B(一“r),则PB=----------------o

3111

⑦若P(1/),B(一『)，则PB二---------------------

1211

⑧若P(一"W),则PM二------------o

2112

⑨若A(一不三)，B(一二L§),则AB=------------

二।1_1

⑩若AB则AB=--------------)

11若A(―2,0),B(3,0),则AB=

12若P(0,-4),Q(0,-2),则PQ二

13若P⑶0),Q(4,0),则PQ二

14若P(l,-4),Q(2,0),则PQ二

m直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数尸kx+b中k的

值；可由两个点的坐标干脆求得：若A(XJ),B(Z，%)—尸乙)，则

k-AzA

,(y标之差除以对应的x标之差)】

例题：若A(2,-3),例-1,4),则.一

••

解：•A(2,-3),B(-l,4),

*z(-3)-4_7

・・^=2-(-1)-3

①若A((),2),B(3,O),则k”=。

若A(l,・2),B(-3,1),则k"

②。

若M(-3,l),N(-2,-4),贝

③。

若P(l,-4),Q(-l,2),则

④

若C(-l,1),Q(—,一一),则%。二

⑤23-------------o

2I1

若E(；,-1),F(--,贝狄"二

⑥332-------------。

2II

右M(-£,Q(-l,一不)，则k,w0=

⑦532------------------。

231

若P(-―Q(-l»~-)，则kp°=

⑧344-------------。

点到直线的距离公式：

(8)

点P(X。,短到直线Ax+By+C=O(为了便利计算，A,B,C最好化为整系数)

d_砂02cl

的距离公式为：VA2+B2,运用该公式时，要先把一次函数

y=kx+b化为一般式Ax+By+OO的形式(即：先写x项，再写y项，最终写

常数项，等号右边必需是0)。

12

V=­X—

例题：求点P(2「3)到直线23的距离。

I2

y=­x—

解：先把直线23化为一般式

3x-6y-4=0

</_|3x2-6x(-3)-4|_4^

所以商+(-6『3

注：4。+4%十0的值就是把点(x(),)，。)对应代入代数式Ax+By+c中。

或者把y一通过移项化为

(同样要先写x

项，再写y项，最终写常数项，等号右边必需是0)。

d=网

从而V1+P

12

y=­x-

另解：因为23,p(2,-3)

19

x2-(-3)+(-%)

d二

所以(注：由于系数中

有分数，计算比较繁杂)。

求点P(-2,1)到直线y=x+2的距离

①

求点Q(1,-4)到直线y=2x-l的距离。

求点A(1,2)到直线y=2xT的距离

③2

求点M(0,-3)到直线y=！xT的距离

@3

求点P(-2,0)到直线y='x-L的距离

⑤24

⑥求点K(-3,-2)到直线y=「3x的距离。

求点P(-3,-1)到直线尸,X-1的距离

⑦23

求点P（--,-1）到直线y=：x+，的距离

⑧232

求点Q到直线y二』x」的距离

⑨2342

求点P77到直线y二士3x」1的距离

⑩3424

求点N"16）到直线-*|的距离

7711

“求点D（-?Z）到直线厂5J的距离

求点E7?到直线y=±7」1x的距离

135324

在一个题中设计若干常见问题：

女口图示，已矢口板4物线y=/—2X_3与y轴交于点B,与X

轴交于C,D（C在D点的左侧），点A为顶点。

A

①判定三角形ABD的形态？并说明理由。

A

【通法：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】

②三角形ABD与三角形BOD是否相像？说明理由。

\A

【通法：用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长，再

用相像的判定方法】

③在X轴上是否存在点P,使PB+PA最短？若存在求出点P的坐标,

A

【通法：在两定点中任选一个点（为了简洁起见，经常取轴上的点）,

求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此

对称点与余下定点相连】

④在y轴上是否存在点P,使三角形PAD的周长最小？若存在，求出

点P的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由。

AY

o

DX

A

【通法：留意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需PA+P

D最小】

⑤在对称轴x=1上是否存在点P,使三角形PBC是等腰三角形?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

x=l

【通法：对动点P的坐标一母示（1,t）后，分三种状况，若

P为顶点，则PB=PC；若B为顶点，则BP=BC；若C为顶点，则

CP=CBO分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度】。

B

【通法：分类探讨，用两点间的距离公式】。

⑦在直线BD下方的抛物线上是否存在点P,使的面积最大？若

存在，求出点P的坐标，若不存在，请说叨理由。

0

D

•P

B

【通法：sPBD上（动）下（动））“x右（定）-x左（定））】

⑧在直线BD下方的抛物线上是否存在点P,使四边形DOBP的面积最

大？若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在,

请说明理由。

D

•p

B

【通法：S四边形003PHsDOB+SDBP或S四边形DOBP=SBOp+SDP0

©在直线BD下方的抛物线上，是否存在点P,使四边形DCBP的面积

最大？若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在,

请说明理由.

⑩在直线BD下方的抛物线上，是否存在点P,使点P到直线BD的

距离最大？若存在，求出点P的坐标，并求出最大距离；若不存在，请说

明理由。

【通法：因为BD是定线段，点P到直线BD的距离最大，意味着三

角形BDP的面积最大】

11在抛物线上，是否存在点P,使点P到直线BD的距离等于3,

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

八

Y

\0/

D

B

【通法：在动点坐标一母示后，用点到直线的距离公式，列出方程,

求解即可】。

A

【通法;在动点P的坐标一母示后，把到羽形三角形ABD的面积算出,

借助于动点坐标把动三角形PBC的面积表示出来，再代入已知中的面积等

式】。

13若点P在抛物线上,

【通法：利用与点B的坐标，求出直线PB的解析式,

再把此解析式与抛物线方程组成方程组，即可求出P点的坐标】。

14若Q是线段CD上的一个动点（不与CD重合），QE交BC于

点E,当三角形QBE的面积最大时，求动点Q的坐标。

Q

cX

\//D

E

B

【通法：三角形QBE是三边均动的动三角形，把该三角形分割成两个

三角形基本模型的差，即SQ陀=题中平行线的作用是有两个

三角形相像，从而有对应边的比等于对应高的比，最终该动三角形的面积

方可表示为，以动点Q(l,0)的坐标有关的开口向下的二次函数。】

15若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点，使B,D,E,F

构成平行四边形时，求出E点的坐标。

【通法：以其中一个已知点(如：点B)作为起点，列出全部对角线

的状况（如：BD,BE,BF）,分别设出两个动点（点E,点F）,运用中点

坐标公式，求出每一种状况下，两条对角线的中点坐标，留意到两个中点

重合，其坐标对应相等，列出方程组，求解即可】。

中考二次函数压轴题分析

（_）【2012宜宾中考】如图，抛物线丁二工2-2工+。的顶点人在直

线l:y=x-5上。

（1）求抛物线顶点A的坐标。

（2）设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C,D（C点在D点

的左侧），试推断三角形ABD的形态:

(3)在直线1上是否存在一点P,使以点P,A,B,D为顶点

的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说

明理由。

A

(-)【2012凉山州中考】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4

与x轴，y轴分别交于A,B,两点，抛物线)，=*+法+'经过A,B,两点，并

与x轴交于另一点C(点C在点A的右侧)，点P是抛物线上一动点。

(1)求抛物线的解析式与点C的坐标.

(2)若点P在其次象限内，过点P作PD，x轴于D,交AB于点E.

当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？

(3)假如平行于x轴的动直线1与抛物线交于点Q,与直线AB交

于点N,点M为OA的中

M丫

点，则是否存在这样的直线

1,使得三角形MON是等

腰三角形？若存在，恳求出

点Q的坐标；若不存在，请

说明理.

（三）［2012广安市中考】在平面直角坐标系xOy中，ABJ_x轴于点B,

AB=3,tanZA0B=3/4o将△OAB围着原点。逆时针旋转90“，得到△0AB；

再将△0AB围着线段0B,的中点旋转180“，得到△0AB,抛物线y=ax2+bx+c

（a^O）经过点B、Bi、A”

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBBi的面积最

大？求出这时点P的坐标；

（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BBi的距

离为也？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

2

y

图12

备用图

（四）12012乐山中考】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为

（m,m）,点B的坐标为（n,-n）,抛物线经过A、0、B三点，连接0A、

OB、AB,线段AB交y轴于点C.己知实数m、n（m<n）分别是方程x?-

2x-3=0的两根.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点0、B重合），直线PC

与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接0D、BD.

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求ABOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标.

（五）【2012成都中考】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数

），=3x+〃z（加为常数）的图象与x轴交于点A（-3,0）,与y轴交于点C.以

4

直线x=l为对称轴的抛物线），=依2+云+c5氏c为常数，且〃W0）经

过A,C两点，并与x轴的正半轴交于点B.

（1）求〃，的值与抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线

交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，求出点E的坐标与相应的平行四边形的面积；若

不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使4ACP的周长取得最小值的点，过点

P随意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于y）,乂式天，必）两点,

摸索究MFMF是否为定值，并写出探究过程.

M.M,

(六)【2012黄冈中考】如图，已知抛物线的方程G：)，=-，(x+2)(x-〃z)

tn

(m>0)与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧。

(1)若抛物线G过点M(2,2),求实数m的值。

(2)在(1)的条件下，求三角形BCE的面积。

(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,

并求出点H的坐标。

(4)在第四象限内，抛物线G上是否存在点F,使得以点B,C,F为

顶点的三角形与三角形BCE相像？若存在，求m的值；若不存在，请说明

理由。

Y

A

（七）【2013宜宾中考】如图，抛物线丁=o?+加一4a经过ACT,0）,

C（0,4）两点，与x轴交于另一点B。

（1）求抛物线的解析式；

（2）己知点D（m,m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对

称的点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD,点P为抛物线上一点，且NDBP=45，

求点P的坐标。

A0BX

（八）【2013山西中考】如图，抛物线），=1/一31_4与X轴交于A,B,

两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边，点

0为对称中心作棱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m,0）,

过点P作x轴的垂线1交抛物线于点Q.

（1）求点A,B,C的坐标.

（2）当点P在线段OB上运动时，直线1分别交BD,BC于点M,N.摸

索究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请推断四边形CQBM

的形态，并说明理由.

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q,使三角形BDQ为直角

三角形？若存在，请干脆写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

C

(九)【2013重庆中考】如图，对称轴为直线x=T的抛物线

2

y=cvc+bx+c(a，0)与x轴交于A,B两点，其中点A的坐标为(-3,0).

(1)求点B的包标；

(2)已知a=l,C为抛物线与y轴的交点.

①若点P在抛物线上，且S?况=4S8OC,求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD~1•"轴抛物线于点D,求线段QD

长度的最大.

(十)【2013浙江绍兴市中考】抛