安徽省合肥市2024届高三第一次教学质量检查数学试卷及答案

2024年合肥市高三第一次教学质量检测数学（考试时间：120分钟满分：150分）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.记为等差数列的前项和，若，则（）A.144B.120C.100D.803.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A.0.14B.0.62C.0.72D.0.864.双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（）A.B.C.D.5.在中，内角的对边分别为，若，且，则（）A.1B.C.D.26.已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（）A.B.C.D.7.已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（）A.B.C.D.8.已知函数的定义域为，且，记，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.现有甲､乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）.设事件表示从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是（）机构名称甲乙分值90989092959395929194A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5D.事件互为对立事件10.函数的图象可能是（）A.B.C.D.11.已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（）A.存在点，使B.C.的最小值为D.周长的最大值为8三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，若，则的取值范围是__________.13.已知函数的一条对称轴为，当时，的最小值为，则的最大值为__________.14.已知点，定义为的“镜像距离”.若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）己知函数，当时，有极大值.（1）求实数的值；（2）当时，证明：.16.（15分）如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.17.（15分）2023年9月26日，第十四届中国（合肥）国际园林博览会在合肥骆岗公园开幕.本届园博会以“生态优先，百姓园博”为主题，共设有5个省内展园､26个省外展园和7个国际展园，开园面积近3.23平方公里.游客可通过乘坐观光车､骑自行车和步行三种方式游园.（1）若游客甲计划在5个省内展园和7个国际展园中随机选择2个展园游玩，记甲参观省内展园的数量为，求的分布列及数学期望；（2）为更好地服务游客，主办方随机调查了500名首次游园且只选择一种游园方式的游客，其选择的游园方式和游园结果的统计数据如下表：游园方式游园结果观光车自行车步行参观完所有展园808040未参观完所有展园20120160用频率估计概率.若游客乙首次游园，选择上述三种游园方式的一种，求游园结束时乙能参观完所有展园的概率.18.（17分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.（1）求证：；（2）设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.19.（17分）“-数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“-数”利用“-数”可定义“-阶乘”和“-组合数”，即对任意，（1）计算：；（2）证明：对于任意，（3）证明：对于任意，2024年合肥市高三第一次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.D4.B5.A6.C7.D8.A二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.BD10.ABD11.BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.14.四､解答题：本题共5小题，共77分.15.（13分）解：函数的定义域为，且，（1）因为时，有极大值，所以，解得，经检验，当时，在时有极大值，所以；（2）由（1）知，，当时，要证，即证，即证：.设，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，即，故当时，16.（15分）解：（1）连接.因为，且，又分别是棱的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）四边形均为正方形，所以.所以平面.因为，所以平面.从而.又，所以为等边三角形.因为是棱的中点，所以.即两两垂直.以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以.设为平面的法向量，则，即，可取.因为，所以.设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角正弦值为.注：其它解法酌情给分.17.（15分）解：（1）由题意知：所有可能取值为，且所以的分布列为：012所以的数学期望为：.（2）记事件为“游客乙乘坐观光车游园”，事件为“游客乙骑自行车游园”，事件为“游客乙步行游园”，事件为“游园结束时，乙能参观完所有展园”，则..由全概率公式，得.所以游园结束时，乙能参观完所有展园的概率为0.418.（17分）解：（1）因为抛物线的焦点为，所以，即的方程为：.设点，由题意可设，由得，所以.由，得，所以，即.令，得，即，同理，，且，所以.由，得，即.所以.故.（2）设点，结合（1）知，