人教版专题38 抽象函数问题【2024年高考数学一轮复习题型突破】及试题解析

专题3.8抽象函数问题

【题型目录】

题型一抽象函数的定义域

题型二抽象函数的值域

题型三求抽象函数的解析式

题型四抽象函数的奇偶性

题型五抽象函数的周期性

题型六抽象函数求解不等式

【典型例题】

题型一抽象函数的定义域

例1.(2022秋.河北保定.高一河北省唐县第一中学校考阶段练习)已知函数,⑺

的定义域为241，则组2的定义域为()

•7x4-1

A.[-1,4]B.[-121c.(-1,4]D.

例2.(2022秋•山东德州•高三校考阶段练习)若函数“X)的定义域为[0,4],则

函数人工)=/(1+2)+七的定义域为()

A.(1,2)B.(1,4)C.(1,2]D.(1,4]

举一反三

练习1.(2023秋•陕西西安•高三统考期末)若函数/(工)的定义域为(-2,16),则函

数”岛y的定义域为()

A.(1,8)B.(1,32)

C.(L2)U(2,8)D.(1,2)U(2,32)

练习2.（2023秋・辽宁沈阳•高三统考期末）已知函数y=/"+l）的定义域为12],

则函数），=/（2x-1）的定义域为（）

A.B.1,2C.[-U]D.[3,5]

练习3.（2023秋.江苏扬州.高三期末）已知函数f（2x-3）的定义域为[-1.4],设

函数F（力追舞’则函数小）的定义域是

练习4.（2023春・江西宜春•高二校考开学考试）若函数/（2、）的定义域为[0,2],

则函数/（4-，）的定义域为.

练习5.（2022秋・河南信阳•高三校考阶段练习）已知函数苦）的定义域为

（-2,0）,则/（2.1-1）的定义域为（）

A.（一另）B.（-5,-1）C.（0,|）D.（-3,-1）

题型二抽象函数的值域

例3.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/*）对任意xeR,都有/（幻=一“*+2）,

当xe[0,2]时，/（x）=—/+2x,则函数/⑶在[-2,6]上的值域为（）

A.10,I]B.1，0JC.[-2,0]D.[-2,4]

例4.（2021.全国.高一专题练习）函数/"）的定义域为（0,内），且对任意工>0,y>0

都有/土=/（x）-/G）+i,且/⑵=2,当x>l时,有/*）>1.

\y）

（1）求”1）,/（4）的值;

（2）判断了。）的单调性并加以证明:

(3)求/*)在U,⑹上的值域.

举一反三

练习6.(2022・全国•高三专题练习)/“)是R上的奇函数，g")是R上的偶函数,

若函数/(x)+g(A)的值域为［T4］,则/(“-g(工)的值域为.

练习7.(2022秋•浙江杭州•高三杭州四中校考期中)已知函数＞=/(用的定义域

是R,值域为则值域也为［-1,2］的函数是()

A.y=2f(x)+\B.y=|/(2x+l)|

C.y=~f(x)+iD.y=1f［x)I

练习8.(2022・高一课时练习)己知函数的定义域为(1，+8),值域为R,贝I")

A.函数/(1+1)的定义域为R

B.函数/(f+1)T的值域为R

C.函数/(丁+2.1+2)的定义域和值域都是R

D.函数/(/(］))的定义域和值域都是R

练习9.(2022秋.河北保定.高三河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习)已知

函数y=/(x)的定义域是R,值域为UZ，则下列四个函数①)，=2/(力-1；②

y=/(2x-l)；③y=2"g；®y=log2/(x+l)+l,其中值域也为［1，2］的函数个数是

()

A.4B.3C.2D.1

练习10.(2022秋•湖南衡阳•高三衡阳市一中校考阶段练习)若函数)，=/*)的值

域是$3,则函数尸（幻=〃2x+1）+—^―的值域是_______.

题型三求抽象函数的解析式

例5.（2023・广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：

/5+），）=/（力+/3+的的函数解析式为.

例6.（2023・安徽•合肥一中校联考模拟预测）（多选）已知函数/（戈）的定义域为R,

且/（x+y）=/（x）/（y）+/（工）+/（、），x＞。时，/（同＞。，〃2）=3,则（）

A./（1）=1

B.函数/（X）在区间（0,y）单调递增

C.函数/（X）是奇函数

D.函数/（X）的一个解析式为=1

举一反三

练习11.（2023秋・江苏南京•高三统考期末）（多选）已知函数），=/（",对于任

,瑞=/(•"),),则(

意x，yeR)

A./(0)=1B./«)=2/(力

c./«>oD.

练习12.（2023・湖南娄底•统考模拟预测）已知函数/（“满足以下条件：①在区

间（0,+8）上单调递增;②对任意巧,巧，均有/（仪）=/（芭）+/（%）-1，则/（X）的

一个解析式为.

练习13.(2019秋•山西运城・高一校考阶段练习)已知定义在R上的函数/(X)满

足：

①对任意的都有f(M=〃x)+f(y)；

②当x>l时，/(x)>0.

(1)求证：/(1)=0;

(2)求证：对任意的xeR,都有/(£|=一/(可；

练习14.(2022・全国•高一专题练习)若函数/(外满足/(5+〃X)=2,则/(X)

可以是—.(举出一个即可)

练习15.(2022秋・江苏南京•高一南京市第十三中学校考阶段练习)写出同时满

足条件“①函数/(x)为增函数，②/(x+)，)=/(x)/()，)”的一个函数/(')=.

题型四抽象函数的奇偶性

例7.(2022秋.广西玉林.高三校联考阶段练习)已知I/G-I)是定义域为R的奇函

数，g(x)=/(2x+3)是定义域为R的偶函数，则()

A.g(2)=0B.g(3)=0C./⑶=0D."5)=0

例8.(2023・湖南长沙・雅礼中学校考一模)(多选)已知不恒为0的函数“力，

满足5…都有/(%)+/(加2/(号)/(宁｝则()

A./(0)=0B./(0)=1

c.C-为奇函数D./("为偶函数

举一反三

练习16.(2023秋・辽宁锦州•高三统考期末)已知函数y=/(x)对任意实数"，

都满足2/(x)/(y)=〃K+y)+/(x-y),且/⑴=T，则()

A.是偶函数B.〃力是奇函数

2023

C./(.r)+/(l-x)=0D.£/伏)=1

«=|

练习17.(2023春・河南高三信阳高中校联考阶段练习)己知定义在(口,()川((),y)

上的函数“X)满足Va,Z?e(v>,0)5。,8°)，/］卜/(。)-/(〃)，且当xe(0J时,

/W>0,则下列说法正确的是()

A./(x)是奇函数但不是偶函数B.7(x)是偶函数但不是奇函数

C.7")既是奇函数又是偶函数D.“X)既不是奇函数也不是偶函数

练习18.(2023秋・浙江衢州•高三统考期末)(多选)已知定义在R上的非常数函

数/(x)满足/(x+y)=/(4)+/(y)T,则()

A./(0)=1B./(x)-1为奇函数C.“X)是增函数

D./(”是周期函数

练习19.(2022秋.高三单元测试)若定义在R上的函数满足：对任意

与々eR,有/凶+々)=/(芭)+/(々)+1，则下列说法中：①/(x)7为奇函数；②

〃力-1为偶函数；③/(工)+1为奇函数；④/(工)+1为偶函数.一定正确的是

练习20.(2023春・广东广州•高三统考开学考试)(多选)若定义在(e,0)U(0,s)

上的函数/(K)满足：/R)=/(小/()，)，且/(2)=1,则下列结论中正确的是1)

A./(1)=0B./(4)=2

C./(x)+/(-x)=OD./(x)-/(-x)=O

题型五抽象函数的周期性

例9.(2023春•广西柳州•高二柳州市第三中学校考阶段练习)若定义［-2023,2023］

上的函数满足：对任意不9目-2023,2023］有〃药+9)=/(百)+/(々)-2022若

/(”的最大值和最小值分别为M,N,则M+N的值为()

A.2022B.2018C.4036D.4044

例1().(2023・山西太原・太原五中校考一模)(多选)已知定义域为R的函数f(x)

(\\

对任意实数乂y都有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(.y),且/-=o,则以下结论一定

正确的有()

A./(0)=-1B./(力是偶函数

C.八.关于go)中心中称D./(1)-/(2)+...+/(2023)=0

举一反三

练习16.(2023・河南开封・统考三模)已知函数八#的定义域为R,八)为奇函数,

/(x+1)为偶函数，且£/住)=1,则/。)=()

Jt=l

A.-1B.0C.1D.2

练习17.(2023・安徽合肥•二模)若定义域为R的奇函数73满足

/(x)=/(x+l)+/(x-l),且/(1)=2,则/(2024)=.

练习18.(2023•河南洛阳・统考模拟预测)已知〃x)是定义在R上的奇函数，若

小+图为偶函数且〃。=2,则/(2022)+/(2023)+/(2024)=()

A.-2B.0C.2D.4

练习19.(2023春•四川凉山•高二宁南中学校考阶段练习)已知定义在R上的函

数/(可满足/(1)=2-/(-力，且函数/(x+1)是偶函数，当x«T,0］时，/(同=1-/，

则/管)=()

A.4B.C.圣D.整

25252525

练习20.(2023•新疆乌鲁木齐♦统考二模)已知/㈤，g(x)都是定义在R上的函

数，对任意x,y满足〃x7)=〃x)g(y)r(x)/(，)，且〃-2)=/(1)/0,则下列说法

正确的是()

A./(0)=1B.函数g(2x+l)的图象关于点(L0)对称

2023

c.g⑴+g(—1)=0D.若/⑴=1,则£“〃)=1

题型六抽象函数求解不等式

例11.(2022.海南•校联考模拟预测)(多选)已知定义在R上的函数/(“不恒等

于零，同时满足/(x+y)=/(x)/'(y),且当x>0时，/(x)>2022,那么当x<0时，

下列结论不正确的为()

A.-l</(x)<0B.

C./W>1D.0<〃x)〈森

例12.(2023・高三课时练习)已知“X)是定义在R上的减函数，且对心，)，£/?,

/(中)=/("+/3,若/住则x的取值范围为()

A.(l,+oo)B.(0,1)C.(0,+e)D.(-1,0)

举一反三

练习21.（2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆市凤鸣山中学校考期中）己知函数

），=wR）的图象如图所示，则不等式W）＜0的解集为.

练习22.（2022秋•高三课时练习）已知函数/⑺的定义域为（。，5）,函数g（x）的定

义域为口，6].若不等式/*）＞g（x）的解集为（2,3）,则不等式/（©,,8*）的解集为

练习23.（2022秋.上海宝山.高二上海市吴淞中学校考开学考试）已知定义域为

R的奇函数在区间（。，2）上为严格减函数，且."2）=0,则不等式△邛20的

解集为.

练习24.（2022秋•甘国兰州高三西北师大附中校考期中）己知偶函数/（X）在

口+⑹上单调递减，若/（勿-1）＞/⑴，则实数。的取值范围为.

练习25.（2022秋.辽宁朝阳.高一校联考阶段练习）若定义域为R的奇函数/（力在

（一⑼上单调递减，且"2）=0,则满足立也"的x的取值范围是（）

x

A.[-2,0]u[2,+oo）B.[-3,-l]o[0,l]

C.[-2,0）u[2,+oo）D.[-2,0）U（0,2]

参考答案与试题解析

专题3.8抽象函数问题

【题型目录】

题型一抽象函数的定义域

题型二抽象函数的值域

题型三求抽象函数的解析式

题型四抽象函数的奇偶性

题型五抽象函数的周期性

题型六抽象函数求解不等式

【典型例题】

题型一抽象函数的定义域

例1.（2022秋・河北保定・高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数人工）

的定义域为则空1的定义域为（）

yjx+I

A.[-1,4]B.[-1,2]C.（-1,4]D.（-L2]

【答案】D

【分析】若函数/*）的定义域为A,则复合函数〃g（x））有意义要满足

【详解】因为函数/*）的定义域为04],则朵立有意义要满足解得

V7+T|x+i>o

xe（-l,2],

故选：D

例2.（2022秋・山东德州•高三校考阶段练习）若函数的定义域为[0,4],则

函数g（%）=.f“+2）+7三的定义域为（）

A.（1,2）B.（1,4）C.（1,2]D.（1,4]

【答案】C

【分析】根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数g（"的定义域.

【详解】解：因为函数解力的定义域为[0闾,

对于函数g(x)=/(x+2]+*,则解得]<x<2,

Vx-1[x-\>0

即函数g(%)=/(x+2)+看的定义域为。2].

故选：C

举一反三

练习1.(2023秋•陕西西安・高三统考期末)若函数J")的定义域为(-2,16),则函

数>=彘1;的定义域为()

A.(1,8)B.(1,32)

C.(1,2)U(2,8)D.(L2)U(2,32)

【答案】C

【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及-2<2]<16可求得结

果.

【详解】因为函数/(X)的定义域为(-2,16),

所以要使)'=1^%有意义，则

-2<2.v<16

1>0,解得lvx<8且1工2,

x-l#l

所以原函数的定义域为(1，2)(2,8),

故选：C.

练习2.(2023秋.辽宁沈阳.高三统考期末)已知函数y=/(x+l)的定义域为[⑶，

则函数y=/'(2x-l)的定义域为()

-]]「3

A.-JB.-,2C.[-U]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】・・•函数的定义域为[向，即1CE2,可得2。门03,

・・・函数），=/（"的定义域为[2,3],

3

令2dW3,解得尹42,

■■

故函数y=/（2x-i）的定义域为弓,2.

故选：B.

练习3.（2023秋.江苏扬州.高三期末）已知函数f（2x-3）的定义域为[-1.4],设

函数尸（力=则函数外力的定义域是_____.

V8x-x-7

【答案】0,3]

-5<1-2v<5

【分析】由〃2x-3）的定义域得出-5碗x-35,进而由-〈口:〉。得出所求.

【详解】因为函数/（2尸3）的定义域为卜1,4],所以-1瓢4,-5融x-35

即｛f,-5+<81--2r<H5解得If

故函数/x）=八心）,则函数F（x）的定义域是（1,3]

\JSx-x~-7

故答案为：（1,3]

练习4.（2023春・江西宜春•高二校考开学考试）若函数/（2、）的定义域为[0,2],

则函数/（小、）的定义域为.

【答案】[0』

【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.

【详解】对于/（2）因为0"<2,所以由尸2、的单调性得2。42Y22,即1W2飞4,

所以对于/（4I）,有即4飞4一“1

由y=4,的单调性得0«l1,解得0<x<l,

所以/（户）的定义域为[0』.

故答案为；[0』.

练习5.(2022秋・河南信阳•高三校考阶段练习)已知函数的定义域为

(-2,0),则/(2D的定义域为()

A.B.(-5,-1)C.(0,|)D.(—3,4

【答案】C

【分析】由已知条件求得了")的定义域，再由/(x)的定义域求出的定义

域即可.

【详解】,・,函数/(言)的定义域为(-2,0),即-2cv0,

12

X***-l<2x-l<-,解得0<%<葭

・・./(2xT)的定义域为(&|),

故选：C.

题型二抽象函数的值域

例3.(2022・全国•高三专题练习)已知函数对任意xeR,都有/")=-；/*+2),

当xw[O,2]时，/(X)=-X2+2X,则函数/⑺在L2,6]上的值域为()

A.10,11B.L-1,0JC.1-2,0]D.1-2,4J

【答案】D

2

【分析】当xe[。，2]时，f(x)=-x+2xf利用/(i)=-；/(x+2),将区间

卜2,0],[2,4],[4,6]的自变量x利用加减转化到区间[0,2]上，从而进行值域的求解

【详解】当7引0,2]时，/(.0=\(27)=1-3-1)26[0,1],

则当“8-2,0]时,即x+2w[0,2],所以/(x)=-?(x+2)w[-g,0]；

当xe[2,4]时,即x-2w[0,2],

由/。)=-9。+2),得/*+2)=-2/(2，从而/(x)=-2/(A2)W[-2,0]；

当xe[4,6]时，即x-2e[2,4J,则/*)=-2/(X-2)€[0,4],

综上得函数/⑶在［-2,6］上的值域为［-2,41.

故选：D.

例4(2021.全国•高一专题练习)函数人劝的定义域为(0,+00),且对任意x>0,y>0

Z\

都有/二=/*)-/⑺+1,且八2)=2,当X>1时，有

(1)求〃1),/(4)的值；

(2)判断人工)的单调性并加以证明；

(3)求/⑴在口,⑹上的值域.

【答案】(1)/(1尸1,f(4)=3；(2)八幻在(0,+◎上为增函数，证明见解析；(3)

［冏.

【分析】(1)可令X=J=1解得/⑴，再令x=4,y=2可得/(4)；

(2)函数/(X)在(。，+8)上为增函数，可令0<%<4,运用条件和单调性的定义，

即可得证；

(3)运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域.

【详解】(1)可令"=>=1时，/(l)=/(l)-/(l)+1=1；

令X=4,y=2可得f(2)=/(4)-f(2)+1,即/(4)=3；

(2)函数/*)在(。，收)上为增函数.

证明：当只>1时,有了㈤>1,

可令0<司气,即有\>1,则令互)=/(再)+

X］百

可得/(占)>/(%)，

则/(X)在(0，+8)上递增；

(3)由/⑴在(。，+句上为增函数，可得/(X)在［1,16］递增，

可得/(1)=1为最小值，〃16)为最大值，

由f(4)由(16)-f(4)+1,可得/。6)=2〃4)-1=5,

则/㈤的值域为口，5］.

举一反三

练习6.(2022・全国•高三专题练习)/("是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数,

若函数/(x)+g(x)的值域为[T4],则/(x)-g(x)的值域为.

【答案】15

【分析】利用函数奇偶性的定义结合/(M+g(x)的值域即可求出的值

域.

【详解】解：由/(工)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数

得到/(T)=-/'(X),g(-x)=g(x)

因为函数f(")+g(x)的值域为[T，4]

gp-l</(x)+^(x)<4

所以一lW/(T)+g(T)“

又/(-X)=-/(X),g(r)=g(x)

得-4W/(x)-g(x)«l

所以/(x)-g(x)的值域为：[y』.

故答案为：

练习7.(2022秋・浙江杭州•高三杭州四中校考期中)已知函数>=/(])的定义域

是R,值域为则值域也为E⑵的函数是()

A.y=2/(x)+lB.y=4f(2x+l)\

C.y=-/U)+lD.y=1fM\

【答案】C

【分析】根据/⑶的值域为T2],即-1期(幻2,即可求出根。)+1,|f(2x+%

-/(-v)+1,以及I/O)I的范围，从而可求解.

【详解】/⑴的定义域为R,值域为即一脸⑶2；

对于A,y=2/(x)+iw[T5],即y=2/(x)+l的值域为卜冏，故A错误;

对于B,y=/(2x+l)e[-l,2],即y=|/(2x+l)|的值域为[0,2],故B错误;

对于C,y=-/a)«-2,i],即y=-/(x)+l的值域为[T2],故C正确；

对于D,)Hf3归[。，2],即y=l/(必的值域为[0,2],故D错误.

故选：C.

练习8.(2022・高一课时练习)已知函数/(力的定义域为(1，+8),值域为R,则[)

A.函数/(产+1)的定义域为R

B.函数+的值域为R

C.函数/(d+2x+2)的定义域和值域都是R

D.函数/(/(工))的定义域和值域都是R

【答案】B

【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令推出/(Y+1)的定义

域判断正误；

对于B选项：因为/&)的值域为R,所以/(/+1)的值域为R,进而推导出

/(Y+1)-1的值域，判断正误；

对于C选项：令/+2/+2>1,求出函数/(f+2x+2)的定义域，即可判断正误；

对于D选项：若函数/(/(x))的值域为R,则/(力>1,即可判断正误；

【详解】对于A选项：令/+可得、工0,所以函数/(9+1)的定义域为

{木工0},故A选项错误；

对于R选项：因为的值域为R,所以/(9+1)的值域为R,可得

函数+的值域为R,故B选项正确；

对于C选项：令f+2/+2>l,得xw-l,所以函数/，+2工+2)的定义域为

{巾工7},故C选项错误；

对于D选项：若函数/(/(司)的值域为R,则/")>】，此时无法判断其定义域是

否为R,故D选项错误.

故选：B

练习9.(2022秋・河北保定•高三河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习)已知

函数>=/(X)的定义域是R,值域为UH,则下列四个函数①>=2/3-1；②

y=/(2x-l)；③y=\④>=啕/(工+1)+1，其中值域也为UH的函数个数是

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.

【详解】对于①，因为14〃力42,则)，=2/(x)-lw[l,3],①不满足条件;

对于②，对于函数y=1),2A-IGR,则函数)'=/(2x1)的值域为[1,2]：②

满足条件；

对于③，因为14/(x)W2,则y=2"Z[l,2],③满足条件；

对于④,因为1"卜)42,"(x+1)叩,2],则y=log"(x+l)+le[l,2],④满足条件.

故选：B.

练习10.(2022秋.湖南衡阳.高三衡阳市一中校考阶段练习)若函数>的值

域是匕，3],则函数「*)=f(2x+\)+—±—的值域是________.

【答案】[2,y]

【分析】由给定条件求出〃2x+l)的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.

【详解】因函数)，=/(力的值域是。3],从而得函数,=/(2»1)值域为。3],

函数“V)变为)，=/+1,re[i3],由对勾函数的性质知)，=/+1在白，”上递减，在

[1,3]上递增，

r=l时,%汕=2,而r时,y=]，，=3时，y=\,即)京=?

所以原函数值域是⑵5].

故答案为：⑵当]

题型三求抽象函数的解析式

例5.(2023・广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习)写出一个满足：

/"+封=/(力+/()，)+*的函数解析式为.

【答案】〃力=/

【分析】赋值法得到"0)=0，f(x)+f(-x)=2x\求出函数解析式.

【详解】/(x+y)=/(x)+/(y)+2孙中，令x=y=0,解得"0)=0,

令户T得/(X-X)=/(X)+/(-X)-2/,故/(X)+/(-X)=2_?,

不妨设=满足要求.

故答案为：/W=x2

例6.(2023・安徽•合肥一中校联考模拟预测)(多选)已知函数/("的定义域为R,

且/(x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y),x>0时,/(A)>0,"2)=3,则()

A./(1)=1

B.函数在区间(o,y)单调递增

C.函数/(“是奇函数

D.函数/("的一个解析式为了("二2-1

【答案】ABD

【分析[赋值法求值判断A选项，定义法判断单调性判断B选项，特殊值法判

断C选项，根据题干要求判断解析式符合题意判断D选项.

【详解】A项:因为/(x+y)=/(x)为y)+/(x)+/(y),

当x>0时，/(x)>0,/(2)=3,令X=)，=1,

则/(2)=[/⑴了+2/⑴=3,解得川)=1,A正确;

B项：任取：^<^€(0,400),

贝U/(%)=/[内+(再一%)]=/(再)/(々一%)+/(%)+/(占一M)，

因为当x>0时，/(x)>0,

所以〃9一%)>0,/(M>0,

所以/(%)/(工2-')+/(1)+/(七f)>/&)，即以％)>/()，

所以函数〃x)在区间(0,+功单调递增，B正确；

C项：令％=y=0,则”0)=[/(0)了+2〃0),

解得/(0)=。或/(0)=-1,当"0)=0,且x>0时，令尸一工，

则0=/(x)/(—)+/(x)+/(r),

若/(X)为奇函数，则〃T)=—/(X),BP0=-/2(x)+/(x)-/(x),

解得了(力=0,与题意矛盾；

当/(0)=_1时/(”不为奇函数.

综上所述，函数不是奇函数，C错误；

D项：当/3=211,

贝lj/(f)=2"7,

/(引/()，)+/("+/(h=(2­乂2，-1)+(2=1)+(21)

=2x+y-2x-2y+1+2X-1+2V-1

=2"T,

所以〃x+y)=/(力f(y)+fa)+〃y),易得在R上单调递增,

所以x>0时，/(x)=2r-l>2°-l=0,/(2)=22-1=3,

故函数/⑺的一个解析式为/(M=2J1,D正确.

故选:ABD

举一反三

练习11.（2023秋・江苏南京•高三统考期末）（多选）已知函数），=/（",对于任

意x,yeR,4^=/（”一）’），则（）

j

A."0）=1B./（白=2/（同

c./W＞0D.，"）；"[空）

【答案】ACD

【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断

即可.

【详解】令、=），=驷=/（o）=/（o）=i,故A正确；

由已知需=〃Ay)n〃x)=/(.y)/(x—y)="x+A=/a)/3,①

令/(X)="M«0,1)U(1,E)满足题干要求，2/(”=2心/卜2)=/,则/(f)w2.f(x),

故B错误；

由①可知，令＞耳，则小）=佃佃=电

又因为偌=""一"‘则/作/°,所以/（、）=/e丁＞°'

故c正确;

因为/(力＞。，所以/(x)+/(y)?24(x)f(y)=2"(x+)，),

又由①,令x=y=言■,则〃f）=/（昼）/（等）=[/（妥），

所以亨）,故D正确.

故选：ACD.

练习12.（2023・湖南娄底•统考模拟预测）已知函数“X）满足以下条件：①在区

间（。，+8）上单调递增；②对任意4，%均有/（3）=/（5）+/（电）-1，则/（X）的

一个解析式为.

【答案】/（x）=lnx+l（答案不唯一）

【分析】根据对数运算性质及对数函数性质写出一个函数解析式即可.

【详解】如：/(A-)=lnx+l,则/(%)=卜菁+1,f(%)=ln为+1,

又/(百马)=In(%占)+1=In%+In占+1,则/(内％)=/(内)+/(x2)-l,

此时/*)在区间(0,+8)上单调递增，满足题设.

故答案为：〃x)=lnx+l(答案不唯一)

练习13.(2019秋・山西运城•高一校考阶段练习)已知定义在R上的函数/W满

足：

①对任意的x”R，都有〃孙)=/("+/(.V);

②当x>l时，〃x)>0.

(1)求证：/(1)=0；

(2)求证：对任意的都有/(3二-/(X)；

【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解

【分析】⑴令x=y=L即可求得(⑴=o；

(2)令4=%工0),由/3)=/(x)+/(y)以及〃1)=0即可证得结论；

X

【详解】(1)令x=y=i,则/⑴=2/⑴，

•・J⑴=。

(2)令)」(田)，

X

则/1+)=〃x)+/(m=〃l)=0,

也)=-/(*)•

【点睛】本题主要考查抽象函数的函数值，解题的关键是根据题干赋恰当的数值,

属于基础题

练习14.(2022・全国•高一专题练习)若函数/⑴满足/(5+/(x)=2,则/(x)

可以是—.(举出一个即可)

【答案】/(x)=1(x^0)

【分析】由题意猜想/(力=1(犬。0),验证满足条件.

【详解】若/(x)=l(x/O),满足《£|+〃”=2.

若/(力=々，满足/P[+/“)=2.

故答案为：/(X)=1(XHO),答案不唯一.

练习15.(2022秋•江苏南京•高一南京市第十三中学校考阶段练习)写出同时满

足条件“①函数/(X)为增函数，②/(文+.y)=/(x)/'(y)’'的一个函数/5)=.

【答案】2,(答案不唯一)

【分析】由指数函数及基运算性质即可判断.

【详解】由题意，指数函数均满足①②.

故答案为：2,(答案不唯一)

题型四抽象函数的奇偶性

例7.(2022秋・广西玉林•高三校联考阶段练习)已知/(人-1)是定义域为R的奇函

数，g(x)=/(2x+3)是定义域为R的偶函数，则()

A.g(2)=0B.g(3)=0C./⑶=0D.“5)=0

【答案】A

【分析】由条件得到函数“X)的对称性，根据对称性求值，即可求解.

【详解】因为/G-1)是定义域为R的奇函数，

所以所以函数/(力关于点(TO)对称，且1)=0

因为g(x)=/(2x+3)是定义域为R的偶函数，

所以”-2x+3)=/(2x+3),所以函数/")关于直线x=3对称，

所以"7)=0,即g(2)=0.

故选：A

例8.(2023・湖南长沙・雅礼中学校考一模)(多选)已知不恒为0的函数/(1)，

满足Vx,yeR都有/(力+/()，)=2/(亨)/(三｝则()

A./(0)=0B./(0)=l

C./(x)为奇函数D.7(x)为偶函数

【答案】BD

【分析】令x=)，=。和片x,即可判断选项AB；令产T,即可判断选项CD.

【详解】令x=y=O,则/(0)+八0)=2/(0)•/(()),・・.f(0)=0或L

令"%,则/⑴+/(力=2/(司・/(0),若/⑼=0,则/(耳=0,与/")不恒为0

矛盾，/(。)=1,二・选项B正确选项A错误；

令户T,则/(x)+/(-x)=2〃0)./(x)=2/(x),.,・/(%)=/(-%),・・・〃x)为偶函数,

，选项D正确选项C错误.

故选：BD.

举一反三

练习16.(2023秋・辽宁锦州•高三统考期末)已知函数)=/(力对任意实数"，＞'

都满足2f(x)/(y)=FG+y)+f(x-y),且〃1)=T,则()

A./(力是偶函数B./(力是奇函数

2023

C./(x)+/(l-x)=0D.£/的=1

【答案】AC

【分析】令工=1。=0可得/(0)=1=0,从而可判断B；令x=0可判断A；令x=y=；,

可得/(；)=。，令x=g可判断C；由AC的解析可得函数/("的周期为2,从而

可判断D.

【详解】在2/(x)/(y)=/(x+y)+/(x-y)中，

令x=l,y=0,可得"(1)/(0)=2/(1),gp-2/(O)=-2,解得〃0)=100,故B错误；

令x=0可得2〃0)/(y)=/(y)+/(-)，),即〃)，)=〃-)，)，

故函数〃y)是偶函数，即"X)是偶函数，故A正确；

令x=y=；,则2尸(£|=〃1)+〃0)=0,故/Q)=o,

令%=；，可得2/出/(y)=吗+，+《->,)=0,

故〃X)+/(1T)=O,故C正确；

因为/(X)是偶函数,所以/(X)寸(T),故为T)+/(1T)=0,

B|j/(x)+/(l+A-)=O,

所以〃x+l)+/(2+x)=0,所以f(x+2)=〃工)，故函数的周期为2,

因为/(1)+/(。)=0,/⑴=一1,所以/0)+/(2)=/⑴+/(0)=0,/(2023)=/(1)=-1.

2023

所以£/'(&)=/⑴+〃2)++/(2023)=/(2023)=〃1)=一1,故D错误.

北二1

故选：AC.

练习17.(2023春・河南•高三信阳高中校联考阶段练习)已知定义在(fO)U(0,*o)

上的函数/(x)满足a8W(Y>,O)5a包)，/8=/(。)-/(”)，且当工£(。,1)时，

/W>o,则下列说法正确的是()

A.是奇函数但不是偶函数B.〃力是偶函数但不是奇函数

C./(另既是奇函数又是偶函数D./(X)既不是奇函数也不是偶函数

【答案】B

【分析】对。、〃进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断.

【详解】f(x)的定义域(T，0)U(0、y)关于原点对称，

因为Wa,/>e(-oo,0)u(0,-K»),=/(«)-/(/>),

故令〃=—〃时，f(-l)=f(a)-f(-a)f

令。=。=1时，/(1)=/(1)-/(1)=0,

令〃=1,)=-1时，/(-1)=/(1)-/(-1)=>/(-1)=0,

=即"〃)=/(-a),

.・・/(%)是偶函数,

又当工«0,1)时，/W>0,即/(x)不恒为零，故/")只能为偶函数，不能为奇函

数.

故选：B.

练习18.(2023秋・浙江衢州•高三统考期末)(多选)已知定义在R上的非常数函

数/'(%)满足〃x+y)=/(x)+/(y)-i,则()

A./(O)=IB./(司-1为奇函数C./(力是增函数

D./("是周期函数

【答案】AB

【分析】对于A项、B项，令x=y=0,令户t代入计算即可；对于C项、D

项，举反练习判断即兀.

【详解】对于A项，令工=y=。得：/(0)=2/(0)-1,解得：/(O)=1,故A项正确;

对于B项，令>得：/(())=/*)+/(—)-1,由A项知，/(())=1,所以

(/(x)-l)+(/(-x)-l)=0l所以/1)-1为奇函数，故B项正确;

对于C项，当/(X)=T+I时，/(x+y)=-x-y+l,

f(x)+/(y)-l=f+l+(-y)+l-l=-x-.y+l,满足/(》+y)=/*)+/()，)T,但

f(x)=T+l是减函数.故C项错误；

对于D项，当/(x)=x+l时，f(x+y)=x+y+\,/(x)+/(y)-l=^+l+y+l-l=x+j+l,

满足"x+»=/")+/G)-l,但/(%)=x+l不是周期函数.故D项错误.

故选：AB.

练习19.(2022秋•高三单元测试)若定义在R上的函数/(x)满足：对任意

与々eR,有/(%+々)=/0)+/*2)+1,则下列说法中：①/(力-1为奇函数；②

/(x)-l为偶函数；③/(6+1为奇函数；④/(“+1为偶函数.一定正确的是

【答案】③

【分析】令玉二工2=。，得/(0)=-1，令玉=工，〜=一工得至1」/(力+1=-[/'(一X)+1]，

根据奇偶性定义即可得答案.

【详解】对任意对fwR,有/(%+w)=/(玉)+/'(々)+1，

令%=七=。，得/(0)=T,

令M=X,W=T，得/(O)=/(X)+/(T)+1，

整理得/a)+i=-/(-x)-i=-[/(-x)+i],故〃x)+i为奇函数，

无法判断〃力-1的奇偶性.

故答案为：③.

练习20.(2023春・广东广州•高三统考开学考试)(多选)若定义在(f,0)U(0,y)

上的函数/(x)满足：f[xy)=f(x)+f(y)9且的2)=1，则下列结论中正确的是()

A./(1)=0B./(4)=2

C./(.r)4-/(-x)=0D./(-r)-/(-x)=0

【答案】ABD

【分析】根据所给抽象函数的性质，利用赋值法求解即可判断各选项.

【详解】由已知可得函数〃工)的定义域为(-8,o)u(o,w),满足/E，)=/(x)+fG，)

①，且/(2)=1,

对于选项A,可令X=y=l,代入①式，得〃1)=〃1)+可1),得/⑴=0,所以A

选项是正确的；

对于选项B可令*=y=2,代入①式,得于4)=〃2)+〃2)=1+1=2,得f(4)=2,

所以B选项是正确的；

令x=y=-i,代入①式，得/⑴=/(-1)+/(-1)=2〃-1),而/⑴=0得/(-1)=0,

可令y=T代入①式,得f(T)=f(x)+〃T)=〃*整理得〃-x)=/(x),

所以C选项是错误的，D选项是正确的.

故选：ABD.

题型五抽象函数的周期性

例9.(2023春・广西柳州•高二柳州市第三中学校考阶段练习)若定义[-2023,202引

上的函数/M满足：对任意%,々«-2023,2023］有“内+9)=/'(大)+/'(电)-2()22若

“X)的最大值和最小值分别为M,N,则M+N的值为()

A.2022B.2018C.4036D.4044

【答案】D

【分析】由赋值法可得/("+/(7)=4044,构造式力=/(力-2022,说明g(x)为

奇函数，由g(4n+g(%x=°可得结果・

【详解】对任意西,々4—2023,2023］有/&+々)=/(百)+/(*2)—2022,贝IJ令

%=毛=0,/(0)=〃0)+f⑼一2022n/(0)=2022,

令

%=北毛=x,/(O)=/(^)i/(x)2022=>/(.r)i/(x)=4044=>［f(x)2022］=〃x)2022

令g(x)=/(x)-2022,则g(x)=_g(_x),故g(x)为［—2023,2023］上的奇函数，

故

gWL+g(xK=0?/⑴由2022+/(x)g,-2022=0?MN=/(x*n+/⑴皿=4044

故选：D.

例10.(2023・山西太原・太原五中校考一模)(多选)已知定义域为R的函数f(x)

(I、

对任意实数都有/(x+)，)+/(x—)，)=2/(x)/(y),且/-=0,则以下结论一定

正确的有()

A./(0)=-1B.是偶函数

C.关于(别中心对称D./(1)-/(2)+...+/(2023)=0

【答案】BC

【分析】根据赋值法，可判断/(。)=1或/(。)=。，进而判断A,根据赋值法结合

奇偶性的定义可判断C,根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可

得函数的周期性，进而可判断CD.

【详解】令x=y=O,则/(0)+/(0)=2/(0)/(0)n/(0)=0或/'(0)=1,故A错误,

若"0)=1时,令x=0,贝IJ/(y)+/(-»=2/(y)/(0)?/()')守()，)，此时/(%)是

偶函数,若〃0)=。时，令y=。,则/(x)+/(x)=2/(x)/(。)=0?/(x)=0,此时/1(x)

既是偶函数又是奇函数；因此B正确，

令X=g,贝=2f(；)f(y)=0n/(g+)，)+/(g_)，=0,所以f")

关于(别中心对称，故C正确，

由/。)关于A