初中数学自主招生难度讲义-7年级专题02数的整除性（解析版）

专题02数的整除性

阅读与思考

设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整

除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：

1．数的整除性常见特征：

①若整数a的个位数是偶数，则2|a；

②若整数a的个位数是0或5，则5|a；

③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)；

④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)；

⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；

⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a．

2．整除的基本性质

设a，b，c都是整数，有：

①若a|b，b|c，则a|c；

②若c|a，c|b，则c|(a±b)；

③若b|a，c|a，则[b，c]|a；

④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；

⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．

例题与求解

【例1】在1，2，3，…，2000这2000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而

且不能被5整除．

(“五羊杯”竞赛试题)

解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．

【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论：

①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；

②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中()

A．只有①正确B．只有②正确

C．①，②都正确D．①，②都不正确

(江苏省竞赛试题)

解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．

【例3】已知整数13ab456能被198整除，求a，b的值．

(江苏省竞赛试题)

解题思想：198=2×9×11，整数13ab456能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，

求出a，b的值．

【例4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a＋2b＋3c的值能被13整除时，那么代数式5a＋

7b－22c的值是否一定能被13整除，为什么？

(“华罗庚金杯”邀请赛试题)

解题思想：先把5a＋7b－22c构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．

【例5】如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术

数”(例如：把86放在415左侧，得到86415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n的

最小值，使得存在互不相同的正整数，，…，，满足对任意一个正整数，在，，…，

a1a2anma1a2an

中都至少有一个为m的“魔术数”．

(2013年全国初中数学竞赛试题)

解题思想：不妨设，，，…，；，，，，，，至少有一个为的

ai7kit(i=123nt=0123456)m

“魔术数”．根据题中条件，利用k是的位数被除所得余数，分析的取值．

ai10m(km)7i

【例】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足－，

6akak1akak1|ak1ak|=1

我们把青蛙从开始，经－次跳动的位置依次记作：，，，…，．

a1n1Ana1a2a3an

⑴写出一个，使其，且＋＋＋＋；

A5a1a50a1a2a3a4a5>0

⑵若，，求的值；

a1=13a2000=2012a1000

⑶对于整数≥，如果存在一个能同时满足如下两个条件：①；②＋＋＋…

n(n2)Ana1=0a1a2a3

＋．求整数≥被除的余数，并说理理由．

an=0n(n2)4

(2013年“创新杯”邀请赛试题)

解题思想：⑴．即从原点出发，经过次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向

a1a504

左．为保证＋＋＋＋．只需将“向右”安排在前即可．

a1a2a3a4a5>0

⑵若，，从经过步到．不妨设向右跳了步，向左跳了步，则

a1=13a2000=2012a11999a2000xy

xy1999x1999

，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳．

13xy2012y0

⑶设同时满足两个条件：①；②＋＋＋…＋．由于，故从原点出发，经

Ana1=0a1a2a3an=0a1=0

过－步到达，假定这－步中，向右跳了步，向左跳了步，于是－，＋

(k1)ak(k1)xkykak=xkykxkyk=k

－，则＋＋＋…＋＋＋＋…＋＋…＋－

1a1a2a3an=0(x2y2)(x3y3)(xnyn)=2(x1x2xn)[(x2y2)

nn1

＋(xy)＋…＋(xy)]=2(x＋x＋…＋x)－．由于a＋a＋a＋…＋a=0，所以

33nn23n2123n

－＋＋…＋．即－．

n(n1)=4(x2x3xn)4|n(n1)

能力训练

A级

111

1．某班学生不到50人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则

732

有________人不及格．

2．从1到10000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．

(上海市竞赛试题)

3．一个五位数3ab98能被11与9整除，这个五位数是________．

4．在小于1997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()

A．532B．665C．133D．798

5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是()

A．1B．2C．3D．6

(江苏省竞赛试题)

6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()

A．12个B．18个C．20个D．30个

(“希望杯”邀请赛试题)

7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？

(黄冈市竞赛试题)

8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def

能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．

(上海市竞赛试题)

9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，

依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？

(“华罗庚金杯”邀请赛试题)

B级

1．若一个正整数a被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值为_________，

a的一般表达式为____________．

(“希望杯”邀请赛试题)

2．已知m，n都是正整数，若1≤m≤n≤30，且mn能被21整除，则满足条件的数对(m，n)

共有___________个．

(天津市竞赛试题)

3．一个六位数x1989y能被33整除，这样的六位数中最大是__________．

1,3,5,7,,1991,1993,1995,1997,1999

4．有以下两个数串1,4,7,10,,1987,1990,1993,1996,1999同时出现在这两个数串中的数的个

数共有()个．

A．333B．334C．335D．336

5．一个六位数a1991b能被12整除，这样的六位数共有()个．

A．4B．6C．8D．12

6．若1059，1417，2312分别被自然数n除时，所得的余数都是m，则n－m的值为()．

A．15B．1C．164D．174

7．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数abc，然后，魔术师再要求他记下五个

数：acb，bac，bca，cab，cba，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出N的大小，魔术师就

能说出原数abc是什么．如果N=3194，请你确定abc．

(美国数学邀请赛试题)

8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一

个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝

数”．

(武汉市竞赛试题)

9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6

倍，求这个三位数．

(“五羊杯”竞赛试题)

10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1999，求这个四位数，并说明理由．

(重庆市竞赛试题)

11．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们

的和能被10整除，求n的最小值．

(2013年全国初中数学竞赛试题)

专题02数的整除性

例1267提示：333－66＝267．

例2C提示：关于②的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b

都不是3的倍数，则有：(1)当a＝3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，

a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝3m＋2，b＝3n＋2时，

a－b＝3(m－n).

例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．

例4设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比较上式a，b，c

7x13y5

的系数，应当有2x13z7，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，

3x13t22

则有13(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，

则5a＋7b－22c就能被13整除．

例5考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1＜a2＜…＜an，余数必

为1，2，3，4，5，6，0，设ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m

k

的“魔术数”，因为ai·10＋m(k是m的位数)，是7的倍数，当i≤b时，而ai·t除以7的余数都是0，

k

1，2，3，4，5，6中的6个；当i＝7时，而ai·10除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数

kk

字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，ai·10与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·10＋m被7

整除，即n＝7．

例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)(2)a1000＝13＋999＝1012．(3)n被4除余数

为0或1．

A级

1．12．31433．397984．A5．C6．B

—————

7．五位数abcde＝10×abcd＋e.又∵abcd为4的倍数．故最值为1000，又因为abcde为9的倍数．故1

—

＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此abcde最小值为10008.

8．324561提示：d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d

＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，

9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．

B级

1．2521a＝2520n＋1(n∈N＋)

2．57

3．719895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能

被3整除，故x＋y能被3整除．

4．B

5．B

6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．

———————

7．由题意得acb＋bac＋bca＋cab＋cba＝3194，两边加上abc．得222(a＋b＋c)＝3194＋abc

——

∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋abc．则abc＋86是222的倍数．

——————

且a＋b＋c＞14．设abc＋86＝222n考虑到abc是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出abc的可能

——

值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故abc＝358．

8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列

————————

后，设其中最大数为abc，则最小数为cba．故N＝abc－cba＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)

＝99(a－c)．

可知N为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而

这9个数中，只有954－459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．

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9．设原六位数为abcdef，则6×abcdef＝defabc，即6×(1000×abc＋def)＝1000×def＋abc，所