初中数学自主招生难度讲义-9年级专题10最优化

专题10最优化

阅读与思考

数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些

带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之

为最值问题，解最值问题的常见方法有：

1．配方法

由非负数性质得ab20．

2．不等分析法

通过解不等式（组），在约束条件下求最值．

3．运用函数性质

对二次函数yax2bxca0，若自变量为任意实数值，则取值情况为：

b4acb2

（1）当a0，x时，y最小值；

2a4a

b4acb2

（2）当a0，x时，y最大值；

2a4a

4．构造二次方程

利用二次方程有解的条件，由判别式0确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．

例题与求解

3x26x5

【例1】当x变化时，分式的最小值是．

1

x2x1

2

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方

确定最小值．

【例2】已知y1，且2xy1，则2x216x3y2的最小值为（）

1927

A.B.3C.D.13

77

（太原市竞赛试题）

解题思路：待求式求表示为关于x(或y)的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变

量x、y的隐含限制．

x213

【例3】fx，在axb的范围内最小值2a，最大值2b，求实数对(a，b).

22

解题思路:本题通过讨论a，b与对称轴x0的关系得出结论．

1

【例4】（1）已知y1xx的最大值为a，最小值b，求a2b2的值．

2

（“《数学周报》杯”竞赛试题）

2

（2）求使x248x16取得最小值的实数x的值．

（全国初中数学联赛试题）

（3）求使9x249x212xy4y214y216y20取得最小值时x，y的值．

（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）

解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列

常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．

【例5】如图，城市A处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品，

如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费最低？

（河南省竞赛试题）

解题思路：设铁路与公路的交点为C，AC＝x千米，BC＝y千米，AD＝n千米，BD＝m千米，又设

铁路每千米的运费为a元，则从A到B的运费Sany2m22ay，通过有理化，将式子整理

为关于y的方程．

【例】（）设，，…，（），为－＋个互不相同的正整数，且＋＋…＋

61xrxr1xkkrkr1xrxr＋1

xk＝2003，求k的最大可能值．

（香港中学竞赛试题）

（2）a，b，c为正整数，且a2b3c4，求c的最小值．

（全国初中数学联赛试题）

解题思路：对于(1)，因r＝1，对k－r＋1＝k－1＋1＝k个正整数x1，x2，…，xk，不妨设x1＜x2＜…

＜xk＝2013，可见，只有当各项x1，x2，…，xk的值愈小时，才能使k愈大（项数愈多），通过放缩求k

的最大值；对于（2），从c2ac2ab2入手．

能力训练

A级

1．已知三个非负数a，b，c，满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，则m的最

小值为___________，最大值为．

2．多项式p＝2x2－4xy＋5y2－12y＋13的最小值为．

3．已知x，y，z为实数，且x＋2y－z＝6，x－y＋2z＝3，那么x2＋y2＋z2的最小值为．

（“希望杯”邀请赛试题）

4．若实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2＝9，则代数式(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值为()

（全国初中数学联赛试题）

5．已知两点A(3，2)与B(1，－1)，点P在y轴上且使PA＋PB最短，则P的坐标是（）

1111

A.(0，)B.(0，0)C.(0，)D.(0，)

264

（盐城市中考试题）

11

6．正实数x，y满足xy1，那么的最小值为（）

x44y4

155

A.B.C.1D.E.2

284

（黄冈市竞赛试题）

7．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不

高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数ykxb的

关系（如图所示）.

（1）根据图象，求一次函数ykxb的解析式；

（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S元．

①试用销售单价x表示毛利润；

②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多

少？

（南通市中考试题）

8．方程x22m1xm60有一根不大于1，另一根不小于1，

（1）求m的取值范围；

（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．

（江苏省竞赛试题）

9．已知实数a，b满足a2abb21，求a2abb2的最大值与最小值．

（黄冈市竞赛试题）

10.已知a，b，c是正整数，且二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个不同的交点A，B，若

点A，B到原点的距离都小于1，求a＋b＋c的最小值．

（天津市竞赛试题）

11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使

1

用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为x1500

4

元．

（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，

叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的函数．

（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：

该设备投入使用多少天应当报废？

（河北省竞赛试题）

B级

1．a，b是正数，并且抛物线yx2ax2b和yx22bxa都与x轴有公共点，则a2b2的

最小值是．

2．设x，y，z都是实数，且满足x＋y＋z＝1，xyz＝2，则xyz的最小值为．

3．如图，B船在A船的西偏北45°处，两船相距102km，若A船向西航行，B船同时向南航行，

且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离为km．

（全国初中数学竞赛试题）

4．若a，b，c，d是乘积为1的四个正数，则代数式a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋bc＋ac＋ad＋bd＋cd的

最小值为（）

A.0B.4C.8D.10

（天津市竞赛试题）

5．已知x，y，z为三个非负实数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2.若s＝2x＋y－z，则s的最大

值与最小值的和为（）

232735

A.5B.C.D.

444

（天津市选拔赛试题）

6．如果抛物线yx2k1xk1与x轴的交点为A，B，顶点为C，那么△ABC的面积的最

小值为（）

A.1B.2C.3D.4

7．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做

了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5

个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最

大利润，此商品售价应定为每个多少元？

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p（万元）和q（万元），它们

13

与投入资金x（万元）的关系有经验公式：px,qx.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，

55

为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？

（绍兴市竞赛试题）

9．已知为x，y，z为实数，且xyz5，xyyzzx3，试求z的最大值与最小值．

bc

10．已知三个整数a，b，c之和为13，且，求a的最大值和最小值，并求出此时相应的b与

ab

c值．

（四川省竞赛试题）

11．设x1，x2，…，xn是整数，并且满足：

①－1≤xi≤2，i＝1，2，…，n

②x1＋x2＋…＋xn＝19

222

③x1＋x2＋…＋xn＝99

333

求x1＋x2＋…＋xn的最大值和最小值．

（国家理科实验班招生试题）

222

12．已知x1，x2，…，x40都是正整数，且x1＋x2＋…＋x40＝58，若x1＋x2＋…＋x40的最大值为A，

最小值为B，求A＋B的值．

（全国初中数学竞赛试题）

专题10最优化

2

例1.4提示：原式=6-.

（x1）21

1

例2.B提示：由-1≤y≤1有0≤x≤1，则z=2x2+16x+3y2=14x2+4x+3是开口向上，对称轴为x的抛

7

物线.

例3.分三种情况讨论：①0≤a<b，则f(x)在a≤x≤b上单调递减，∴f(a)=2b，f(b)=2a，

a213

2ba1

即22解得

b213b3

2a

22

②a<b≤0，则f(x)在a≤x≤b上单调递增，∴f(a)=2a，f(b)=2b，

a213

2a

即22此时满足条件的（a，b）不存在.

b213

2b

22

1313

③a<0<b，此时f(x)在x=0处取得最大值，即2b=f(0)=,b=,而f(x)在x=a或x=b处取最小值

24

1311313a213

2a.∵a<0，则2a<0，又∵f(b)=f()=-（）20，∴f(a)=2a，即2a=-，则

424222

a217

13

b

4

13

综上，（a，b）=(1，3)或（-2-17，）

4

11313

例4.（1）x1，y2=+2（-x）2.当x=时，y2取得最大值1，a=1；

224164

1123

当x或x=1时，y2取得最小值，b=.故a2+b2=.

2222

(2)如图，AB=8，设AC=x，则BC=8-x，AD=2，CD=x24，BE=4，CE=(8-x)216

BF=AD=2.

x24(8x)216CDCEDEDF2EF282(42)210

BCEB4

当且仅当D，C，E三点共线时，原式取最小值.此时△EBC∽△DAC，有2,

CADA2

188

从而x=AC=AB.故原式取最小值时，x=.

333

(3)如图，

2

原式=0（--2）2（3x0）2(10)2(2y3x)2(31)2(42y)2

=AB+BC+CD≥AD，其中A（-2,0），B（0，3x）,C(1,2y),D(3,4),并且当点B，C在线段AD上时，原式取

3x42y4

得最小值，此时，.

2535

例5.由S=a(ny2m2)2ay，得an-S+2ay=ay2n2，两边平方，经整理得

3a2y24a(anS)y(anS)2a2m20.因为关于y的一元二次方程有实数解，所以

2

4a(anS)43a2(anS)2a2m20，可化为（S-an）23a2m2.

∵S>an，∴S-an3am，即San3am，故S最小=an3am.

k(k1)

例6（1）设x1≥1，x2≥2，xk≥k，于是1+2+…+k≤x1+x2+…+xk=2003，即2003

2

k(k+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k≤62.当x1=1，x2=2，…x61=61，x62=112时，原等式

成立，故k的最大可能值为62.

c2abb(b1)b(b1)

（2）若取，则2由小到大考虑b，使为完全平方数.当b=8时，c2=36，

22c

cab22

则c=6，从而a=28.下表说明c没有比6更小的正整数解.显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数，故c

的最小值为6.

cC4x3(x3<c4)C4-x3

2161，817,8

3811,8,27,6480,73,54,17

42561,8,27,64,125,216255,248,229,192,131,40

56251,8,27,64,125,216,343,512624,617,598,561,500,409,282,113

51

A级1．2．13．14提示：y=5－x,z=4－x，原式=3(x－3)2+14．4．A提示：

711

原式=27－(a+b+c)2．5．D6．C7．(1)y=－x+1000(500≤x≤800)(2)①S=(x－500)(－x+1000)=

－x2+1500x－500000(500≤x≤800);②S－(x－750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润

22323

62500元，此时销量为250件．8．（1）－4≤m≤2（2）设方程两根为x1，x2，则x1+x2=4(m－)+10，

44

22322221

由此得x1+x2最小值为10，最大值为101．9．设a－ab+b=k，又a+ab+b=1②，由①②得ab=(1

42

13k3k1k

－k)，于是有（a+b)2=(3－k)≥0，∴k≤3，从而a+b=．故a，b是方程t2t+=0

2222

12

的两实根，由Δ≥0，得k3．10．设A（x1,0)，B（x2，0)，其中x1，x2是方程ax+bx+c=0的两

3

bc2

根，则有x1+x2=<0，x1x2=>0，得x1<0，x2<0，由Δ=b－4ac>0，得b>2ac．∵|OA|=|x1|<1，|OB|=|x2|<1，

aa

c

∴－1<x1<0，－1<x2<0，于是=x1x2<1，c<a．由于a是正整数，已知抛物线开口向上，且当x=－1时，

a

对应的二次函数值大于0，即a－b+c>0，a+c>b．又a，b，c是正整数，有a+c≥b+1>2ac+1，从而

a+c>2ac+1，则(ac)21,ac1,ac12，于是a>4，即a≥5，故b>2ac≥

25125，即b≥5．因此，取a=5，b=5，c=1，y=5x2+5x+1满足条件，故a+b+c的最小值为

11．11．（1）该设备投入使用x天，每天平均损耗为

1111x111x(x1)

y=[500000(0500)(1500)(2500)(500)]=[500000500x]

x4444x42

500000x7500000x7500000x77500000x

=499．(2)y=4992499999．当且仅当，

x88x88x888x8

即x=2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．

B级1．20提示：a2－8b≥0，4b2－4a≥0，从而a4≥64b2≥64a，a≥4，b2≥4．2．4提示：构造

方程．3．25提示：设经过t小时后，A，B船分别航行到A1，B1，设AA1=x，则BB1=2x，

22222222222

B1A1=|10x||102x|=5(x6)20．4．D提示：a+b≥2ab，c+d≥2cd，∴a+b+c+d

≥2(ab+cd)≥4abcd=4．∴ab+cd≥2，同理bc+ad≥2，ac+bd≥2．5．A提示：x=s－2≥0,y=5－

41

s≥0，z=1－s≥0，解得2≤s≤3，故s的最大值与最小值的和为5．6．A提示：|AB|=k22k5，

33

k1k22k51

C(,），S(k22k5)3，而k2+2k+5=(k+1)2+4≥4．7．设此商品每个售价

24ABC8

为x元，每日利润为S元．当x≥18时，有S=[60－5（x－18)](x－10)=－5(x－20)2+500，即当商品提价

为20元时，每日利润为500元；当x≤18时，S=[60+10（18－x)](x－10)=－10(x－17)2+490，即当商品

降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元．8．设对

1313

甲、乙两种商品的资金投入分别为x，(3－x)万元，设获取利润为s，则sx3x，s－x=3x，

5555

两边平方，经整理得x2+(9－10s)x+25s2－27=0，∵关于x的一元二次方程有实数解，∴（9－10s)2－4×

189

（25s2－27)≥0，解得s1.05，进而得x=0.75（万元），3－x=2.25(万元）．即甲商品投入0.75万

180

元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大．9．y=5－x－z，代入xy＋yx＋zx=3，得x2

13

＋(z－5)x＋(z2－5z＋3)=0．∵x为实数，∴Δ=(z－5)2－4(z2－5z＋3)≥0，解得－1≤z≤,故z的最大值

3

13bc

为，最小值为－1．10．设x，则b=ax，c=ax2，于是，a＋b＋c=13，化为a(x2＋x＋1)=13．∵

3ab

1352

a≠0，∴x2＋x＋1－=0①．又a，b，c为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=－3>0，得到

aa

522

1≤a≤，且为有理数，故1≤a≤16．当a=1时，方程①化为x＋x－12=0，解得x1=－4，x2=3．故

3

233

amin=1，b=－4，c=16或amin=1，b=3，c=9．当a=16时，方程①化为x＋x＋=0．解得x1=－，x2=

16