上海市建平世纪中学2025届高三下学期阶段测试一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市建平世纪中学2025届高三下学期阶段测试一数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知两条不同的直线l，m，两个不同的平面α，β，则下列命题正确的是(

)A.若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l//m B.若α//β，l//α，m//β，则l//m

C.若α//β，m⊥α，l⊥β，则l//m D.若α⊥β，l⊥α，m//β，则l⊥m2.已知两个变量x和y之间具有线性相关关系，5次试验的观测数据如下：x100120140160180y4554627592那么变量y关于x的线性回归方程只可能是(

)A.y=0.575x−14.9 B.y=0.572x−13.9

C.y=0.575x−12.9 D.y=0.572x−14.93.已知直线l:y=3x与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A.2+1 B.3+1 C.4.设数列an的前n项和为Sn，若存在非零常数c，使得对任意正整数n，都有2Sn=an+c，则称数列an具有性质p：①存在等差数列an具有性质A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.已知集合A=xx−2x≤0，B=xx26.若sinα=13，则cos2α=7.若复数z满足1−iz=2+3i(其中i是虚数单位)，则z=

．8.已知随机变量X服从正态分布N8,σ2，且PX<5=0.3，则P9.已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为16π，则球的表面积为

．10.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=711.已知向量a=(2,3)，b=(−1,2)，则a在b方向上的投影向量的坐标为

．12.已知函数fx=lnx+1,x≥0,−2x13.在2x+ax5(a<0)的二项式展开式中x2的系数为2880，则14.已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是

．15.在▵ABC中，过中线AD的中点E作一条直线分别交AB,AC于M,N两点，若AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，则2x+4y16.若关于x的方程mex=−x2+x+1有三个不等实数根，则实数三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，PA⊥平面ABCD，且二面角P−BC−A的大小为45(1)求点A到平面PBD的距离；(2)求直线AC与平面PCD所成的角．18.(本小题12分)已知fx=(1)求函数fx(2)在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若fA2−π6=3，c=219.(本小题12分)2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占45，并将这200人按年龄分组，第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65](1)求a，并估计参与调查者的平均年龄；(2)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？关注民生问题不关注民生问题合计青少年中老年10合计200(3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为Y，求随机变量Y=2时的概率和随机变量Y的数学期望EY附：χ2α0.0500.0100.0050.001x3.8416.6357.87910.82820.(本小题12分)椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点是F6(1)求椭圆C1(2)当直线AB的斜率为2时，求AB的长度；(3)若过原点的直线m与椭圆C1交于C，D两点，且OC=tOA+21.(本小题12分)已知实数a>0，设fx(1)若a=3，求函数y=fx，x∈R的图象在点1,−1(2)若a=13，求函数y=fx(3)若对于任意的x1∈2,+∞，总存在x2∈1,+∞，使得参考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.x0<x≤16.79

7.262

或8.0.2

9.16π

10.95

11.−412.−∞,−2∪13.−6

14.82715.3216.−517.解：(1)因为四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AB,AD⊂平面ABCD，所以AP,AB,AD两两垂直，以A为原点，AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，设PA=a，a>0，则P0,0,a，B1,0,0，C1,1,0，所以PB=1,0,−a，BC=设平面PBC的法向量n1则n1⋅PB取平面BCA的法向量n2因为二面角P−BC−A的大小为45所以cosn1,n2所以PB=1,0,−1，PD=设平面PBD的法向量n=则n⋅PB=所以点A到平面PBD的距离d=AP(2)由(1)得PC=设平面PCD的法向量m=则m⋅PC=x+y−z=0设直线AC与平面PCD所成的角为θ，θ∈0,所以sinθ=所以直线AC与平面PCD所成的角为π6

18.解：(1)∵f∴T=令2kπ+π2故fx的单调递减区间为(2)∵f∴S∴b=4又∵∴a2∴a=23

19.解：(1)∵0.010×10+0.015×10+0.030×10+a×10+0.010×10=1，∴a=0.035，x=0.01×10×20+0.015×10×30+0.035×10×40+0.03×10×50+0.010×10×60=41.5∴估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁；(2)选出的200人中，各组的人数分别为：第1组：200×0.010×10=20人，第2组：200×0.015×10=30人，第3组：200×0.035×10=70人，第4组：200×0.030×10=60人，第5组：200×0.010×10=20人，∴青少年组有20+30+70=120人，中老年组有200−120=80人，∵参与调查者中关注此问题的约占80%,∴有200×(1−80%)=40人不关心民生问题，∴选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，∴2×2列联表如下；关注民生问题不关注民生问题合计青少年9030120中老年701080合计16040200零假设H0χ2∴根据独立性检验，可以认为零假设H0即能依据小概率值α=0.050的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关；(3)由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为30120将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为14因为每次抽取的结果是相互独立的，所以Y～B4,所以P(Y=k)=C所以P(Y=2)=C42

20.解：(1)焦点F为62,0，则c=点E1,1在椭圆C1：x2解得a2=3或a2=1所以椭圆C1的方程为x(2)直线AB设其方程为y=2x+m，Ax1,联立x23+则Δ=64m又x1+以AB为直径的圆过原点即OA=5x将x1+x2=−解得m2AB=(3)当直线AB斜率存在时，设其方程为y=kx+m，Ax1,联立x23+则Δ=46又x1+以AB为直径的圆过原点即OA⋅化简可得k2代入②③两式，整理得k2即m2将④式代入①式，得Δ=44k2设线段AB中点为M，由OC=tOA+又S▵OAB又由OC=tOA+OB，则化简可得t(代入椭圆方程可得8m2t则S=当直线AB斜率不存在时，AB方程为x=±1，直线CD过AB中点，即为x轴，易得AB=2，CD=2综上，四边形ACBD面积的取值范围为6

21.解：(1)因为a=3，fx=x所以f′x=2x−6x故点1,−1处的切线方程为y−−1=−4(2)a=13，ff′x=−23x当x∈2,3时，f′x>0当x∈3,+∞时，f′x<0所以f所以函数y=fx，x∈2,+∞的值域为(3)由已知有f′(x)=2x−2ax2(a>0).令f′(x)=0，解得x=0x(−∞,0)0(0,1(f′(x)−0+0−f(x)↘0↗1↘所以f(x)的单调增区间是(0,1a)，单调减区间是(−∞,0)当x=0时，f(x)取极小值0，当x=1a时，由f(0)=f(32a)=0知，当x∈(0,32a)因为对于任意的x1∈2,+∞，总存在x当fx1=0时，不成立，故fx1设集合A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合B={1f(x)|x∈(1,+∞),f(x)≠0},则“